1、如圖，角mon=20度，a為om上一點，oa=4倍根號3，d為on上一點，od=8倍根號3，c是am上任意一點 ，b是od上任意一點，求ab+bc+cd最小值。
解：以om為軸，作d點關於om的對稱點d1，鏈結od1，則∠mod1 = 20 o，
作a關於on對稱點a1，鏈結oa，則∠a1on = 20 o，
所以 ∠a1od1 = 60 o．
鏈結a1d1 、a1b 、cd1 ，則a1 b = ab，cd1 = cd，
而 ab＋bc＋cd = a1 b＋bc＋cd1 ≥a1d1（鏈結定點a1、d1 的各種線中以直線段最短）
在△a1od1中，∠a1od1 = 60 o，oa1 = oa = 4= × 8= od = od1
∴ △a1od1為rt△．
∴ a1d1 = = = 12
∴ a1 b＋bc＋cd1 ≥ 12．
故 ab＋bc＋cd的最小值是12．
2、在平行四邊形abcd中，∠a=∠dbc，過點d作de=df，且∠edf=∠abd，連線ef、ec，
n、p分別為ec、bc的中點，連線np.
（1）如圖1，若點e在dp上，ef與dc交於點m，試**線段np與線段nm的數量關係及∠abd與∠mnp滿足的等量關係，請直接寫出你的結論；
（2）如圖2，若點m**段ef上，當點m在何位置時，你在（1）中得到的結論仍然成立，寫出你確定的點m的位置，並證明（1）中的結論.
答案：窗體頂端
窗體底端
解:（1） np=mn, ∠abd +∠mnp =180° (或其它變式及文字敘述,各1分). ………2分
（2）點m是線段ef的中點(或其它等價寫法).
證明：如圖, 分別連線be、cf.
∵ 四邊形abcd是平行四邊形，
∴ ad∥bc，ab∥dc，∠a=∠dcb，
∴∠abd=∠bdc.
∵ ∠a=∠dbc，
∴ ∠dbc=∠dcb.
∴ db=dc3分
∵∠edf =∠abd,
∴∠edf =∠bdc.
∴∠bdc-∠edc =∠edf-∠edc .
即∠bde =∠cdf. ②
又 de=df， ③
由①②③得△bde≌△cdf4分
∴ eb=fc, ∠1=∠2.
∵ n、p分別為ec、bc的中點，
∴np∥eb, np=.
同理可得 mn∥fc，mn=.
∴ np = nm5分
∵ np∥eb,
∴∠npc=∠4.
∴∠enp=∠ncp+∠npc=∠ncp+∠4.
∵mn∥fc，
∴∠mne=∠fce=∠3+∠2=∠3+∠1.
∴ ∠mnp=∠mne+∠enp=∠3+∠1+∠ncp+∠4
=∠dbc+∠dcb=180°-∠bdc=180°-∠abd.
∴ ∠abd +∠mnp =1807分
、3、已知直線y=-1/2x+1,交座標軸於a，b兩點，以直線ab為邊向上作正形abcd，過點a，d，c的拋物線與直線另一交點為e。
（1）求拋物線的解析式
（2）若正方形以每秒√5個單位長度的速度沿射線ab下滑，直至頂點d落在x軸上時停止，設正方形在x軸下方部分面積為s，求s關於滑行時產t的函式關係式，並寫出相應自變數t的取值範圍
（3）在（2）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時d停止，求拋物線上c，e兩點間的拋物線弧所掃過的面積
解：（1）c（3，2）d（1，3）；
（2）設拋物線為y=ax2+bx+c，拋物線過（0，1）（3，2）（1，3），
{c=1a+b+c=39a+3b+c=2
解得 {a=-56b=176c=1，
∴y=- 56x2+ 176x+1；
（3）①當點a運動到點f時，t=1，
當0＜t≤1時，如圖1，
∵∠ofa=∠gfb′，
tan∠ofa= oaof=12，
∴tan∠gfb′= gb′fb′=gb′5t=12，
∴gb′= 52t
∴s△fb′g= 12fb′×gb′
= 12× 5t× 5t2= 54t2；
②當點c運動到x軸上時，t=2，
當1＜t≤2時，如圖2，
a′b′=ab= 22+12=5，
∴a′f= 5t- 5，
∴a′g= 5t-52，
∵b′h= 5t2，
∴s梯形a′b′hg= 12（a′g+b′h）×a′b′
= 12(5t-52+5t2)×5= 52t- 54；
③當點d運動到x軸上時，t=3，
當2＜t≤3時，如圖3，
∵a′g= 5t-52，
∴gd′= 5-5t-52=35-5t2，
∵s△aof= 12×1×2=1，oa=1，△aof∽△gd′h
∴ s△gd′hs△aof=(gd′oa)2，
∴ s△gd′h=(35-5t2)2，
∴s五邊形ga′b′c′h=（ 5）2-（ 35-5t2)2
=- 54t2+ 152t- 254；
（4）∵t=3，bb′=aa′=3 5，
∴s陰影=s矩形bb′c′c=s矩形aa′d′d
=ad×aa′= 5×3 5=15
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