一、填空題（1-7每空2%*10，8-9每空3%*10）1、數值的近似值，若滿足（），則稱有4位有效數字.
2、已知,則範數=5， =(28).
3、解非線性方程的牛頓迭代法在3重根附近是（線性）收斂的。
4、若，則其10階差商10
5、求解常微分方程初值問題的梯形公式為或。
6、若係數矩陣是（嚴格對角佔優）陣，則求解線性方程組的雅可比迭代法和高斯－賽德爾迭代法都收斂。
7、復化拋物線公式的收斂階是（4）。
8、給定矩陣，則其雅可比迭代矩陣為（），高斯－賽德爾迭代矩陣為（）。
9、利用romberg序列，近似計算，若，，則=(0).
二、（10分）使用lu分解求解方程
解：lu分解6分，l和u各3分，個別資料錯誤酌情扣分每個解1分
三、（10分）已知正弦函式表:
用newton插值求sin23的近似值，並估計誤差。（注）解：（1）
每個差商1分，共6分
插值2分 其中
注意到誤差 或誤差分析2分
注實際值
（2）每個差商1分，共6分
插值2分 其中
注意到誤差 或誤差分析2分
注實際值
四、（10分）使用牛頓迭代法求解方程在區間上的解，要求精確到小數點後3位。
解：迭代公式迭代公式2分
選擇初始點需要
下面每步迭代2分（基本上僅需四次迭代）共8分（1）取
（2）取
（3）取
五、（12分）找出合適的使求積公式
代數精度盡可能高。並給出此最高代數精確度。
解：令令 =0
令 令
令 令
若原求積公式有4次以上的代數精確度，需要
上述三個方程每個2分
由（1）得 （4）
將代入（2）（3）
得和即和
所以求解得(1分) 所以 (1分) (2分)即由前面的分析求解過程知當時等式左右均相等而時， 而所以
在，和時達到最高代數精確度5。
驗證最高精度2分
六、（10分）找出合適的四次多項式，使得
且，。解：（方法一）因為
所以 (2分)
又為四次多項式，所以為一次多項式，設，（1分）則 （1分）
（1分）
1分) (1分)
解得 (2分)
所以 (1分)
（方法二）設則
每個方程1分
解得 a=0,b=-3,c=8,d=-5,e=1 每個係數1分(方法3)使用基函式
其中求得
每個基函式1分
七、(10分)取h=0.1, 用改進尤拉法求初值問題在x=0.1, 0.2，0.3處的近似值. 計算過程保留4位小數.
解： （2分）
（2分）
（3分）
（3分）
八、（13分）用二次多項式最小二乘擬合如下資料(1)利用正交化方法求這些結點的前三個正交多項式。
(2)利用正交多項式求出最小二乘擬合的二次多項式，並計算出其平方誤差。
解：（1） （1分）
，。 （2分）
，，。 4， 。（2分）
（2）（每個係數2分）
（1分）
平方誤差=
（1分）
注:若使用分數計算
平方誤差=
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