【本講教育資訊】
一. 教學內容：
合情推理
二. 本週學習目標
結合已學過的數學例項和生活中的例項，了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬的方法進行簡單的推理，體會並認識合情推理在數學發現中的作用，提高學生學習數學的興趣.
三. 考點分析
1、推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實（或假設），叫做前提；一部分是由已知判斷推出的新判斷，叫做結論。
2、前提為真時，結論可能為真的推理，叫做合情推理。歸納推理和模擬推理是數學中常用的合情推理。
3、由某類事物的部分物件具有某些特徵（或性質），推出該類事物的全部物件都具有這些特徵（或性質）的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）. 歸納推理是由特殊到一般、部分到整體的推理；歸納推理的基礎是觀察，分析；歸納推理的作用是發現新事實，得出新結論；要注意的是歸納推理的結論不一定成立。
注：歸納推理的一般步驟是：
（1）通過觀察個別情況發現某些相同特徵；
（2）從已知的相同特徵中推出乙個明確表述的一般性命題（猜想）.
4、由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理，叫做模擬推理（簡稱模擬）. 模擬推理是由特殊到特殊的推理，模擬推理是以舊的知識為基礎，推測新的結果，具有發現的功能，模擬推理的結論不一定成立。
注：模擬推理的一般步驟是：
（1）找出兩類物件之間的類似特徵；
（2）用一類事物的特徵去推測另一類事物的特徵，得出乙個明確命題（猜想）.
【典型例題】
例1、數一數圖中的凸多面體的面數f、頂點數v和稜數e,然後探求面數f、頂點數v和稜數e之間的關係.
猜想凸多面體的面數f、頂點數v和稜數e之間的關係式為：
f＋v－e＝2
例2、通過計算可得下列等式：
……將以上各式分別相加得：
即： 模擬上述求法：請你求出的值。
解： ……
將以上各式分別相加得：
所以：例3、在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗裡用同樣的桌球堆成若干堆「正三稜錐」形的展品，其中第一堆只有一層，就乙個桌球；第2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放乙個桌球，以表示第n堆的桌球總數，則答案用n表示）
分析：解決本題的關鍵之一是找出相鄰兩項的關係，即下一堆的個數是上一堆的個數加上其第一層的個數；其次是求出第一層的通項公式。
解：f（1）＝1，觀察圖象可知f（2）＝4，f（3）＝10，f（4）＝20，下一堆的個數是上一堆的個數加上其第一層的個數，而第一層的個數滿足1，3，6，10，……，通項公式是，所以f（n）＝f（n－1）＋，
所以有：f（2）－f（1）＝
f（3）－f（2）＝
f（4）－f（3）＝
f（n）－f（n－1）＝
以上各式相加得：f（n）＝f（1）＋＝＝
＝所以應該填：10；
點評：求f（n）的通項公式時運用累差法思想求解。可見高考題多數依據課本知識、思想或方法的設計題目。解決問題的關鍵是找到相鄰兩項的關係。
例4、半徑為r的圓的面積，周長，若將r看作上的變數，則， ①，①式可用語言敘述為：圓的面積函式的導數等於圓的周長函式。對於半徑為r的球，若將r看作上的變數，請你寫出類似於①的式子式可用語言敘述為
解：由提供的形式找出球的兩個常用量體積、表面積公式，類似寫出恰好成立，
.答案：① ②球的體積函式的導數等於球的表面積函式。
點評：主要考查模擬意識，考查學生分散思維，注意將圓的面積與周長與球的體積與表面積進行模擬。
例5、在平面上有n條直線，任何兩條都不平行，並且任何三條都不交於同一點，問這些直線把平面最多分成多少部分？
解析：設n條直線分平面為部分，先試驗觀察特例有如下結果：
與之間的關係發現如下規律：－
這是因為在n－1條直線後新增第n條直線被原n－1條直線截得的n段中的任何一段都將它所在的原平面一分為二，相應地增加n部分，所以＝，即－
從而－，－，－，…，－
將上面各式相加有－， 所以
＝＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋（1＋2＋…＋n）＝1＋
【注意】也可由如下觀察發現，由上表知：，，
，＝1＋1＋2＋3＋4，依此類推，便可猜想到：
＝1＋2＋3＋…＋n＝1＋
點評：運用歸納推理需要考查部分物件的情形，從而歸納猜想出一般規律，這樣往往有時計算量大，易出偏差，且內部潛在的規律性有時難於看出來，就用「遞推法」取代「經驗歸納法」轉向考查問題每遞進一步所反映的規律，即探求遞推關係，最後用初始值及遞推關係來尋找一般規律。
【模擬試題】
一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
1. 數列…中的等於（ ）
abcd.
2. 觀察下列數:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是( )
a. 42,41,123b. 13,39,123c. 24,23,123d. 28,27,123.
3. 一同學在電腦中打出如下若干個圈:
若將此若干個圈依此規律繼續下去,得到一系列的圈,那麼在前120個圈中的●有( )個
a. 12b. 13c. 14d. 15
4. 下面使用模擬推理正確的是（ ）
a.「若，則」類推出「若，則」
b.「若」類推出「」
c.「若」 類推出「 （c≠0）」
d.「」 類推出「」
5. 設， ，n∈n，則
abcd.－
6. 在十進位制中，那麼在5進製中數碼2004折合成十進位制為（ ）
a. 29b. 254c. 602d. 2004
二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
7. 從中得出的一般性結論是
8. 若數列中，則
9. 觀察（1）；
（2）。
通過觀察上述兩等式的規律，則一般性的命題為
10. 若數列的通項公式，記
，試通過計算的值，推測出
三、解答題（本大題共4題，共50分）
11. 已知：
通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出一般性的命題，並給出證明。
12. 自然狀態下魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從巨集觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用表示某魚群在第年年初的總量，，且＞0。不考慮其它因素，設在第年內魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例係數依次為正常數。
（ⅰ）求與的關係式；
（ⅱ）猜測：當且僅當，滿足什麼條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）
13. 在def中有餘弦定理：. 拓展到空間，模擬三角形的餘弦定理，寫出斜三稜柱abc-的3個側面面積與其中兩個側面所成二面角之間的關係式，並予以證明.
14. 已知數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列；是公差為的等差數列；是公差為的等差數列（）.
（1）若，求；
（2）試寫出關於的關係式，並求的取值範圍；
（3）續寫已知數列，使得是公差為的等差數列，……，依次類推，把已知數列推廣為無窮數列. 提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），並進行研究，你能得到什麼樣的結論？
【試題答案】
1. b
解：推出
2. a
3. c
4. c
5. d
6. b
7.注意左邊共有項
8. 前項共使用了個奇數，由第個到第個奇數的和組成，即
9. 若都不是，且，則
10.11. 解：一般性的命題為
證明：左邊
所以左邊等於右邊
12. 解：（i）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，**撈量為bxn，死亡量為
（ii）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恆等於x1， n∈，從而由（*）式得
因為x1>0，所以a>b。
猜測：當且僅當a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變。
13. 分析：根據模擬猜想得出.
其中為側面為與所成的二面角的平面角.
證明： 作斜三稜柱的直截面def，則為面與面所成角，在中有餘弦定理：
，同乘以，得
即14. 解：（1）
（2），
當時，.
（3）所給數列可推廣為無窮數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列，當時，數列是公差為的等差數列.
研究的問題可以是：試寫出關於的關係式，並求的取值範圍.
研究的結論可以是：由，
依次類推可得
當時，的取值範圍為等.
高二數學合情推理與演繹證明測試題
數學 2.1 合情推理與演繹證明 測試 新人教a版選修 2 2 一 選擇題 1 分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使結論成立的 充分條件必要條件充要條件等價條件 答案 2 結論為 能被整除，令驗證結論是否正確，得到此結論成立的條件可以為 且為正奇數為正偶數 答案 3 在中，則一定是 銳角三角形直角...
新課標人教A版高二數學練習題 選修2 4 4 5
高二數學練習題 一 選擇題 每小題5分，共60分 1.設 是虛數單位 則 a b c d 2 曲線上一點處的切線平行於直線，則點乙個的座標是 a 0，2 b.1,1 c.1,4 d.1,4 3 設為正數,則的最小值為 a.6b.9c.12d.15 4 若函式f x 的導數為f x sinx，則函式影...
高一數學函式的影象人教實驗B版知識精講
本講教育資訊 一 教學內容 函式的影象 二 學習目標 1 熟練掌握基本函式的影象 2 能正確地從函式的影象特徵去討論函式的主要性質 3 能夠正確運用數形結合的思想方法解題，熟練掌握基本函式的影象並掌握影象的初等變換 三 知識要點 一 常見函式的影象 一次函式y kx b k 0 二次函式y ax2 ...