第七章第七節立體幾何中的向量方法 [理]
課下練兵場
一、選擇題
1．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是
a．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0b．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
c．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1d．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解析：若l∥α，則a·n＝0.
而a中a·n＝－2，
b中a·n＝1＋5＝6，
c中a·n＝－1，只有d選項中a·n＝－3＋3＝0.
答案：d
2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a與b的夾角余弦值為，則λ等於( )
a．2 b．－2 c．－2或d．2或－
解析：cos〈a，b〉＝＝＝，λ＝－2或.
答案：c
3．在正方體abcd－a1b1c1d1中，m為dd1的中點，o為底面abcd的中心，p為稜a1b1上任意一點，則直線op與直線am所成的角是
abcd.
解析：(特殊位置法)將p點取為a1，作oe⊥ad於e，連線a1e，則a1e為oa1在平面ad1內的射影，又am⊥a1e，∴am⊥oa1，即am與op成90°角．或建系利用向量法．
答案：d
4．(2009·全國卷ⅱ)已知正四稜柱abcd－a1b1c1d1中，aa1＝2ab，e為aa1中點，則異面直線be與cd1所成角的余弦值為
abcd.
解析：如圖鏈結a1b，則有a1b∥cd1，
∠a1be就是異面直線be與cd1所成角，設ab=1，
則a1e=ae=1，∴be=，a1b=.
由餘弦定理可知：cos∠a1be=
答案：c
5．(2009·濱州模擬)在正方體abcd－a1b1c1d1中，點e為bb1的中點，則平面a1ed與平面abcd所成的銳二面角的余弦值為
abcd.
解析：以a為原點建系，設稜長為1.
則a1(0,0,1)，e(1,0，)，
d(0,1,0)，
∴＝(0,1，－1)，
＝(1,0，－)，
設平面a1ed的法向量為
n1＝(1，y，z)
則∴∴n1＝(1,2,2)，
∵平面abcd的乙個法向量為n2＝(0,0,1)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝.
即所成的銳二面角的余弦值為.
答案：b
6．(2009·浙江高考)在三稜柱abc－a1b1c1中，各稜長相等，側稜垂直於底面，點d是側面bb1c1c的中心，則ad與平面bb1c1c所成角的大小是
a．30b．45c．60d．90°
解析：如圖，取bc中點e，鏈結de、ae、ad，依題意知三稜柱為正三稜柱，易得ae⊥平面bb1c1c，故∠ade為ad與平面bb1c1c所成的角．
設各稜長為1，則ae＝，
de＝，tan∠ade＝＝＝，
∴∠ade＝60°.
答案：c
二、填空題
7．長方體abcd－a1b1c1d1中，ab＝aa1＝2，ad＝1，e為cc1的中點，則異面直線bc1與ae所成角的余弦值為________．
解析：建立座標系如圖，
則a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)，
＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，
cos〈〉＝＝.
答案：8．正四稜錐s－abcd中，o為頂點在底面上的射影，p為側稜sd的中點，且so＝od，則直線bc與平面pac所成的角是
解析：如圖，以o為原點建立空間直角座標系o-xyz.
設od=so=oa=ob=oc=a，
則a(a,0,0)，b(0，a,0)，
c(-a,0,0)，p(0，)，
則＝(2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)，
設平面pac的法向量為n，可求得n＝(0,1,1)，
則cos〈，n〉＝＝＝，
∴〈，n〉＝60°，
∴直線bc與平面pac所成的角為90°－60°＝30°
答案：30°
9．正三稜錐的乙個側面的面積與底面積之比為2∶3，則這個三稜錐的側面和底面所成二面角的度數為________．
解析：設乙個側面面積為s1，底面面積為s，則這個側面在底面上射影的面積為，由題設得＝，設側面與底面所成二面角為θ，則cosθ＝＝＝，
∴θ＝60°.
答案：60°
三、解答題
10．(2009·包頭模擬)如圖，四稜錐p－abcd的底面是矩形，側面pad是正三角形，且側面pad⊥底面abcd，e為側稜pd的中點．
(1)求證：pb∥平面eac；
(2)若ad＝ab，試求二面角a－pc－d的正切值．
解：法一：(1)證明：連線bd交ac於點o，連線oe，在△pdb中，oe∥pb，又oe平面aec，
pb平面aec，故pb∥平面aec.
(2)設ad=ab=pd=pa=a，
∵側面pad⊥底面abcd，
又cd⊥ad，∴cd⊥側面pad，∴ae⊥dc，
又△pad為正三角形，且e為pd中點，
∴ae⊥pd，故ae⊥平面pdc
在等腰△pdc中，作dm⊥pc，則m為pc的中點，
再作en∥dm交pc於點n，則en⊥pc，連線an，
則∠ane為二面角a-pc-d的平面角，
在rt△pdc中，dm=a，所以en=a，
在等邊△pad中，ae=a，所以tan∠ane=
法二：(1)證明：如圖建立空間直角座標系o-xyz，其中o為ad的中點．設pa=ad=pd=a，ab=b，
則p(0,0， a)，d(－，0,0)，e(－，0， a)，b(，b,0)，
連線bd交ac於點f，則f(0，，0)．
＝(，，－ a)，＝(，b，－ a)＝2，
∴∥，又ef平面aec，且pb平面aec，
∴pb∥平面eac.
(2)設pa＝ad＝pd＝ab＝a，
則p(0,0， a)，a (，0,0)，c(－，a,0)，d(－，0,0)．
＝(－a，a,0)，＝(－，a，－ a)，
＝(－，0，－ a)，
設n1＝(x1，y1，z1)是平面pac的法向量，
則即令z1＝1，解得x1＝y1＝，∴n1＝(，，1)，
設n2＝(x2，y2，z2)是平面pcd的法向量，
則即令z2＝1，解得x2＝－，y2＝0，∴n2＝(－，0,1)，
cos〈n1，n2〉＝＝－，
設所求二面角的平面角為α，
則cosα＝，sinα＝，tanα＝.
11．(2010·江蘇蘇北三市模擬)如圖，在四稜錐p—abcd中，底面abcd為直角梯形，ab∥cd，∠bad＝90°，pa⊥平面abcd，ab＝1，ad＝2，pa＝cd＝4.
(1)求證：bd⊥pc；
(2)求二面角b—pc—a的余弦值．
解析：(1)證明：以a為原點，建立如圖所示空間直
角座標系，
則b(0,1,0)，c(-2,4,0)，d(-2,0,0)，p(0,0,4)，
∴ (－2,4，－4)，＝(－2，－1,0)，
∴＝4－4＝0，
所以pc⊥bd
(2)易證為平面pac的法向量，＝(－2，－
1,0)．
設平面pbc的法向量n＝(a，b，c)，
＝(0,1，－4)，＝(－2,3,0)，
所以所以平面pbc的法向量n＝(6,4,1)，
∴cosθ＝＝＝－.
因為平面pac和平面pbc所成的角為銳角，
所以二面角b—pc—a的余弦值為
12．(2009·湖北五市調研)如圖甲，直角梯形abcd中，ab∥cd，∠dab＝，點m、n分別在ab，cd上，且mn⊥ab，mc⊥cb，bc＝2，mb＝4，現將梯形abcd沿mn折起，使平面amnd與平面mncb垂直(如圖乙)．
(1)求證：ab∥平面dnc；
(2)當dn的長為何值時，二面角d－bc－n的大小為30°？
解：法一：(1)證明：∵mb∥nc，mb平面dnc，nc平面dnc，
∴mb∥平面dnc.
同理ma∥平面dnc，又ma∩mb=m，且ma、mb
ab∥平面dnc.
(2)過n作nh⊥bc交bc延長線於h，
∵平面amnd⊥平面mncb，dn⊥mn，
∴dn⊥平面mbcn，從而dh⊥bc，
∴∠dhn為二面角d-bc-n的平面角．
由mb=4，bc=2，∠mcb=90°知∠mbc=60°，
cn=4-2cos60°=3，∴nh=3sin60°=.
由條件知：tan∠nhd=
∴dn=nh
法二：如圖，以點n為座標原點，以nm，nc，nd所在直線分別作為x軸，y軸和z 軸，建立空間直角座標系n-xyz，易得nc=3，mn=，
設dn=a，則d(0,0，a)，c(0,3,0)，b(,4,0)，m(,0,0)，a(,0，a)．
(1)證明：∵＝(0,0，a)，＝(0,3,0)，＝(0,4，－a)．
∴＝－(0,0，a)＋(0,3,0)＝－＋，
∵nd，nc平面dnc，且nd∩nc＝n，
∴與平面dnc共面，又ab平面dnc，
∴ab∥平面dnc.
(2)設平面dbc的法向量n1＝(x，y， z)，
＝(0,3，－a)，＝(，1,0)
則，令x＝－1，則y＝，z＝.
∴n1＝(－1，，)．
又平面nbc的法向量n2＝(0,0,1)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.
即：＝.∴a2＝，
又a＞0，∴a＝，
即dn＝.
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