一、 實驗目的
1.通過進行不同型別的插值，比較各種插值的效果，明確各種插值的優越性；
2.通過比較不同次數的多項式擬合效果，了解多項式擬合的原理；
3.利用matlab程式設計，學會matlab命令；
4.掌握拉格朗日插值法；
5.掌握多項式擬合的特點和方法。
二、 實驗題目
1.、插值法實驗
將區間[-5,5]10等分，對下列函式分別計算插值節點的值，進行不同型別的插值，作出插值函式的圖形並與的圖形進行比較：
(1) 做拉格朗日插值；
(2) 做分段線性插值；
(3) 做三次樣條插值.
2、擬合實驗
給定資料點如下表所示：
分別對上述資料作三次多項式和五次多項式擬合，並求平方誤差，作出離散函式和擬合函式的圖形。
三、 實驗原理
1.、插值法實驗
2、擬合實驗
四、 實驗內容
1.、插值法實驗
1.1實驗步驟：
開啟matlab軟體，新建乙個名為的m檔案，編寫程式（見1.2實驗程式），執行程式，記錄結果。
1.2實驗程式：
x=-5:1:5;
xx=-5:0.05:5;
y1=1./(1+x.^2);
l=malagr(x,y1,xx);
l1=interp1(x,y1,x,'linear');
s=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);
hold on;
plot(x,y1,'b*');
plot(xx,l,'r');
plot(x,l1,'g');
plot(xx,s,'k');
figure
x=-5:1:5;
xx=-5:0.05:5;
y2=atan(x);
l=malagr(x,y2,xx);
l1=interp1(x,y2,x,'linear');
s=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);
hold on;
plot(x,y2,'b*');
plot(xx,l,'r');
plot(x,l1,'g');
plot(xx,s,'k');
figure
x=-5:1:5;
xx=-5:0.05:5;
y3=x.^2./(1+x.^4);
l=malagr(x,y3,xx);
l1=interp1(x,y3,x,'linear');
s=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);
hold on;
plot(x,y3,'b*');
plot(xx,l,'r');
plot(x,l1,'g');
plot(xx,s,'k');
1.3實驗裝置： matlab軟體。
2、擬合實驗
2.1．實驗步驟：
新建乙個名為的m檔案，編寫程式（見2.2實驗源程式），執行程式，記錄結果。
2.2實驗程式：
x=[-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5];
y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55];
a1=mafit(x,y,3)
x1=[-1.5:0.05:1.5];
y1=a1(4)+a1(3)*x1+a1(2)*x1.^2+a1(1)*x1.^3;
hold on
plot(x,y,'b*');
plot(x1,y1,'r');
p1=polyval(a1,x);
s1=norm(y-p1)
figure
a2=mafit(x,y,5)
x2=[-1.5:0.05:1.5];
y2=a2(6)+a2(5)*x2+a2(4)*x2.^2+a2(3)*x2.^3+a2(2)*x2.^4+a2(1)*x2.^5;
hold on
plot(x,y,'b*');
plot(x2,y2,'r');
p2=polyval(a2,x);
s2=norm(y-p2)
2.3實驗裝置： matlab軟體。
五、 實驗結果
1.、插值法實驗
（1）（2）
（3）2、擬合實驗
（1）平方誤差：s1 =0.0136
輸入程式得到：
a1 =
2.0000 -0.0014 -1.5007 0.0514
s1 =
0.0136
（2）平方誤差：s2 = 0.0069
輸入程式得到：
a2 =
0.0120 0.0048 1.9650 -0.0130 -1.4820 0.0545
s2 =
0.0069
>>六、 實驗結果分析
1.、插值法實驗
結果分析：
（1） 由插值結果曲線圖可見，拉格朗日插值在節點附近誤差很小，但在兩端有振盪現象；分段線性插值具有良好的收斂性，但在節點處不光滑；而三次樣條插值在直觀上與原函式曲線吻合得最好；
（2）分析可知，均勻插值時（拉格朗日插值），會出現多項式插值的runge現象，當進行非等距節點插值時（分段線性插值、三次樣條插值），其近似效果明顯要比均勻插值要好，原因是非均勻插值時，在遠離原點處的插值節點比較密集，所以其插值近似效果要比均勻插值時的效果要好。
2、擬合實驗
結果分析：
可能是原始資料太少的問題，在擬合結果曲線圖看不出三次和五次有什麼差別，但由於三次多項式擬合的平方誤差大於五次多項式擬合的平方誤差，因此五次多項式擬合比三次多項式擬合效果要好。
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