二、數學思想方法的三個層次
數學思想方法可分為三個層次，其主要內容如下表
三、近三年浙江高考試題對數學思想考查的分布情況
四、用數學思想指導問題解決
1、函式與方程思想
考試中心對考試大綱的說明中指出：「高考把函式與方程的思想作為七種思想方法的重點來考查，使用選擇題和填空題考查函式與方程思想的基本運算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識的網路的交匯處，從思想方法與相關能力相綜合的角度進行深入考查。」
什麼是函式和方程思想？簡單地說，就是學會用函式和變數來思考，學會轉化已知與未知的關係,在解題時，用函式思想做指導就需要把字母看作變數，把代數式看作函式，利用函式的性質做工具進行分析，或者構造乙個函式把表面上不是函式的問題化歸為函式問題．用方程思想做指導就需要把含字母的等式看作方程,研究方程的根有什麼要求.
著名數學家克萊因說「一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變數和函式來思考」．乙個學生僅僅學習了函式的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函式思想，才能主動地去思考一些問題．
建立函式思想是中學數學教學的重要課題，因為函式思想是中學數學，特別是高中數學的主線，函式思想的建立使常量數學進入了變數數學，中學數學中的初等函式、三角函式、數列以及解析幾何都可以歸結為函式,尤其是導數的引入為函式的研究增添了新的工具．因此，在數學教學中注重函式思想是相當重要的．
對函式和方程思想的考查,主要是考查能不能用函式和方程思想指導解題,在用函式和方程思想指導解題時要經常思考下面一些問題:
---是否需要把乙個代數式看成乙個函式?
---是否需要把字母看作變數？
---如果把乙個代數式看成了函式，把乙個或幾個字母看成了變數，那麼這個函式有什麼性質？
----如果乙個問題從表面上看不是乙個函式問題，能否構造乙個函式來幫助解題？
----是否需要把乙個等式看作為乙個含未知數的方程？
----如果是乙個方程，那麼這個方程的根（例如根的虛實，正負，範圍等）有什麼要求？
(1)在解題中形成方程意識
將所求的量（或與所求的量相關的量）設成未知數，用它表示問題中的其它各量，根據題中的等量關係，列出方程，通過解方程或對方程進行研究，以求得問題的解決。
例1（天津理10）設兩個向量和其中為實數.若則的取值範圍是 ( )
a. b. c. d.
例2、（全國1理12）函式的乙個單調增區間是
abcd．
例3、（上海文8）某工程由四道工序組成，完成它們需用時間依次為天．四道工序的先後順序及相互關係是：可以同時開工；完成後，可以開工；完成後，可以開工．若該工程總時數為9天，則完成工序需要的天數最大是 3 ．
例4、（浙江理9文10）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是準線上一點，且，，則雙曲線的離心率是（ ）
該等量關係轉換成等於a、b、c的關係等式，即可轉換得關於未知量e的方程，解方程即得e的取值。
(2)在解題中形成函式意識
在解題中，要對所給的問題觀察、分析、判斷並善於挖掘題目中的條件，構造出恰當的函式解析式、妙用函式的性質。
例6、對於滿足0≤p≤4的一切實數，不等式x2＋px＞4x＋p－3恆成立，試求x的取值範圍一例，我們習慣上把x當作自變數，建構函式y＝x2＋(p－4)x＋3－p,於是問題轉化為：當p∈[0,4]時，y＞0恆成立，求x的取值範圍．解決這個等價的問題需要應用二次函式以及二次方程的區間根原理，可想而知，這是相當複雜的．
如果把p看作自變數，x視為引數，建構函式y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，則y是p的一次函式，就非常簡單．即令 f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函式f(p)的圖象是一條線段，要使f(p)＞0恆成立，當且僅當f(0)＞0，且f(4)＞0，解這個不等式組即可求得x的取值範圍是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本題看上去是乙個不等式問題，但是經過等價轉化，我們把它化歸為乙個非常簡單的一次函式，並借助於函式的圖象建立了乙個關於x的不等式組來達到求解的目的．又如，已知（3x4＋7x3＋4x2－7x－5）5·（3x4－7x3＋4x2＋7x－5）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a40x40，試求a0＋a2＋a4＋…＋a40的值．此題的第一感覺，可能會聯想到二項式定理，但是仔細觀察會發現左邊並不是某兩個二項式的展開式．但比較一下對應項的係數，不難發現，它們的偶次冪項的係數都相等，而x的奇次冪項的係數互為相反數，聯想到函式的奇偶性便不難解決．
例5、（浙江文21)(本題15分)如圖，直線y＝kx＋b與橢圓交於a、b兩點，記△aob的面積為s．
(i)求在k＝0，0＜b＜1的條件下，s的最大值；
（ⅱ)當｜ab｜＝2，s＝1時，求直線ab的方程．
(3)、在求變數取值範圍中形成不等式的意識
數學中很多變數的範圍往往可將它們間的關係建立乙個不等式通過解
不等式即可求得。
例7、雙曲線（a＞0,b＞0）離心率e=,過點a（0,-b）和b（a,0）
的直線與原點間距離為。
(1)求雙曲線方程；
(2)若直線l:y=kx+m(k，m)與雙曲線交於不同的兩點c、d，且c、d兩點都在以a為圓心的圓上，求函式m=f(k)的解析式及值域。
分析：第二問只要利用韋達定理找出cd的中點m，連線ma的直線與cd 互相垂直得關於mk的等量關係，再把這個等量關係轉換成關於m的式子代入組成等量關係和不等量關係式組解這個不等式組即得m的範圍。
方程問題、不等式問題、和某些代數問題都可以轉化為函式知識。且涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，是高考中考查的重點，所以在教學中我們應高度重視。
例8、（山東理）設函式，其中．
（ⅰ）當時，判斷函式在定義域上的單調性；
（ⅱ）求函式的極值點；
（ⅲ）證明對任意的正整數，不等式都成立．
【分析】函式的單調性、導數的應用、不等式的證明方法。(i)通過判斷導函式的正負來確定函式的單調性是是和定義域共同作用的結果；（ii）需要分類討論，由（i）可知分類的標準為（iii）構造新函式為證明不等式「服務」，建構函式的依據是不等式關係中隱含的易於判斷的函式關係。用導數解決函式的單調性問題一直是各省市高考及各地市高考模擬試題的重點，究其原因，應該有三條：
這裡是知識的交匯處，這裡是導數的主陣地，這裡是思維的制高點.此類問題的一般步驟都能掌握，但重要的是求導後的細節問題------引數的取值範圍是否影響了函式的單調性？因而需要進行分類討論判斷：
當引數給出了明確的取值範圍後，應根據導函式的特點迅速判斷或。引數取某些特定值時，可直觀作出判斷，單列為一類；不能作出直觀判斷的，再分為一類，用通法解決.另外要注意由求得的根不一定就是極值點，需要判斷在該點兩側的異號性後才能稱為 「極值點」.
例9、（福建理）已知函式
（ⅰ）若，試確定函式的單調區間；
（ⅱ）若，且對於任意，恆成立，試確定實數的取值範圍；
（ⅲ）設函式，求證：．
本小題主要考查函式的單調性、極值、導數、不等式等基本知識，考查運用導數研究函式性質的方法，考查分類討論、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．
2、數形結合思想
數形結合思想是一種很重要的數學思想，數與形是事物的兩個方面，正是基於對數與形的抽象研究才產生了數學這門學科，才能使人們能夠從不同側面認識事物，華羅庚先生說過:「數與形本是兩依倚,焉能分作兩邊飛. 數缺形時少直觀, 形少數時難入微.
」.把數量關係的研究轉化為圖形性質的研究，或者把圖形性質的研究轉化為數量關係的研究，這種解決問題過程中「數」與「形」相互轉化的研究策略，就是數形結合的思想。數形結合思想就是要使抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來。
在使用的過程中，由「形」到「數」的轉化，往往比較明顯，而由「數」到「形」的轉化卻需要轉化的意識，因此，數形結合的思想的使用往往偏重於由「數」到「形」的轉化。
考試中心對考試大綱的說明中強調：「在高考中，充分利用選擇題和填空題的題型特點，為考查數形結合的思想提供了方便，能突出考查考生將複雜的數量關係轉化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識，而在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，對數量關係問題的研究仍突出代數的方法而不提倡使用幾何的方法，解答題中對數形結合思想的考查以由『形』到『數』的轉化為主。」
例10（浙江，5）已知隨機變數服從正態分佈，，則（ ）
a． b． c． d，
例11（浙江，7）若非零向量滿足，則（ ）
例12（浙江，8）設是函式的導函式，將和的圖象畫在同乙個直角座標系中，不可能正確的是（ ）
例13（湖南理14）設集合，．
（1）的取值範圍是 ；
（2）若，且的最大值為9，則的值是
3、分類討論思想
在解題時,我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之後，不能再以統一的方法，統一的式子繼續進行了，因為這時被研究的問題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區域內，正確劃分若干個子區域，然後分別在多個子區域內進行解題，這裡集中體現的是由大化小,由整體化為部分,由一般化為特殊的解決問題的方法,其研究方向基本是「分」，但分類解決問題問題之後，還必須把它們總合在一起，這種「合－分－合」的解決問題的過程，就是分類與整合的思想方法．
分類討論的思想是以概念的劃分，集合的分類為基礎的思想方法，對分類與整合的思想的考查,有以下幾個方面。
一是考查有沒有分類意識,遇到應該分類的情況,是否想到要分類,什麼樣的問題需要分類？例如
（1）有些概念就是分類定義的，如絕對值的概念，又如整數分為奇數、偶數，把三角形分為銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形等等；
高考複習中數學思想方法教學的必要性
一 高考複習中數學思想方法教學的必要性。高考試題重在考查對知識理解的準確性 深刻性，重在考查知識的綜合靈活運用。它著眼於知識點新穎巧妙的組合，試題新而不偏，活而不過難 著眼於對數學思想方法 數學能力的考查。高考試題這種積極導向，決定了我們在教學中必須以數學思想指導知識 方法的運用，整體把握各部分知識...
2023年高考數學複習系列之 思想方法篇
2011年高考數學複習系列資料之 思想方法篇 一 中學數學重要數學思想 一 函式方程思想 函式方程思想就是用函式 方程的觀點和方法處理變數或未知數之間的關係，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數學思想。1.函式思想 把某變化過程中的一些相互制約的變數用函式關係表達出來，並研究這些量間的相互制約關...
數學思想與方法模擬考試題及答案
模擬題一 一 填空題 每題5分，共25分 1 演算法的有效性是指 如果使用該演算法從它的初始資料出發，能夠得到這一問題的正確解 3 所謂數形結合方法，就是在研究數學問題時，由數思形 見形思數 數形結合考慮問題 的一種思想方法。5 古代數學大體可分為兩種不同的型別 一種是崇尚邏輯推理，以 幾何原本 為...