2023年高考數學複習系列資料之—
思想方法篇
一、中學數學重要數學思想
一、 函式方程思想
函式方程思想就是用函式、方程的觀點和方法處理變數或未知數之間的關係，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數學思想。
1.函式思想：把某變化過程中的一些相互制約的變數用函式關係表達出來，並研究這些量間的相互制約關係，最後解決問題，這就是函式思想；
2.應用函式思想解題，確立變數之間的函式關係是一關鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：（1）根據題意建立變數之間的函式關係式，把問題轉化為相應的函式問題；（2）根據需要建構函式，利用函式的相關知識解決問題；（3）方程思想：
在某變化過程中，往往需要根據一些要求，確定某些變數的值，這時常常列出這些變數的方程或（方程組），通過解方程（或方程組）求出它們，這就是方程思想；
3.函式與方程是兩個有著密切聯絡的數學概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函式的知識和方法解決，很多函式的問題也需要用方程的方法的支援，函式與方程之間的辯證關係，形成了函式方程思想。
二、 數形結合思想
數形結合是中學數學中四種重要思想方法之一，對於所研究的代數問題，有時可研究其對應幾何的性質使問題得以解決（以形助數）；或者對於所研究的幾何問題，可借助於對應圖形的數量關係使問題得以解決（以數助形），這種解決問題的方法稱之為數形結合。
1.數形結合與數形轉化的目的是為了發揮形的生動性和直觀性，發揮數的思路的規範性與嚴密性，兩者相輔相成，揚長避短。
3.數形結合的本質是：幾何圖形的性質反映了數量關係，數量關係決定了幾何圖形的性質。
4.華羅庚先生曾指出：「數缺性時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非。
」數形結合作為一種數學思想方法的應用大致分為兩種情形：或借助於數的精確性來闡明形的某些屬性,或者借助於形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關係.
6.我們要抓住以下幾點數形結合的解題要領：
(1) 對於研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可；
(2) 對於研究函式、方程或不等式（最值）的問題，可通過函式的圖象求解（函式的零點，頂點是關鍵點），作好知識的遷移與綜合運用；
(3) 對於以下型別的問題需要注意： 可分別通過構造距離函式、斜率函式、截距函式、單位圓x2+y2=1上的點及餘弦定理進行轉化達到解題目的。
三、 分類討論的數學思想
分類討論是一種重要的數學思想方法，當問題的物件不能進行統一研究時，就需要對研究的物件進行分類，然後對每一類分別研究，給出每一類的結果，最終綜合各類結果得到整個問題的解答。
1.有關分類討論的數學問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：
（1）涉及的數學概念是分類討論的；
（2）運用的數學定理、公式、或運算性質、法則是分類給出的；
（3）求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性；
（4）數學問題中含有參變數，這些參變數的不同取值導致不同的結果的；
（5）較複雜或非常規的數學問題，需要採取分類討論的解題策略來解決的。
2.分類討論是一種邏輯方法，在中學數學中有極廣泛的應用。根據不同標準可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標準出發，做到不重複，不遺漏 ，包含各種情況，同時要有利於問題研究。
四、 化歸與轉化思想
所謂化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時採用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將複雜的問題通過變化轉化為簡單的問題，將難解問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題轉化為已解決的問題。
立體幾何中常用的轉化手段有
1.通過輔助平面轉化為平面問題，把已知元素和未知元素聚集在乙個平面內，實現點線、線線、線面、面面位置關係的轉化；
2.平移和射影，通過平移或射影達到將立體幾何問題轉化為平面問題，化未知為已知的目的；
3.等積與割補；
4.模擬和聯想；
5.曲與直的轉化；
6.體積比，面積比，長度比的轉化；
7.解析幾何本身的建立過程就是「數」與「形」之間互相轉化的過程。解析幾何把數學的主要研究物件數量關係與幾何圖形聯絡起來，把代數與幾何融合為一體。
二、中學數學常用解題方法
1. 配方法
配方法是指將一代數形式變形成乙個或幾個代數式平方的形式，其基本形式是：ax2+bx+c=.高考中常見的基本配方形式有：
（1） a2+b2= (a + b)2- 2a b = (a -b) 2+ 2 ab;
（2） （2） a2+ b2+ ab =;
（3） （3）a2+ b2+c2= (a＋b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc;
（4） (4) a2+ b2+ c2- a b – bc – a c = [ ( a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2];
（5）;
配方法主要適用於與二次項有關的函式、方程、等式、不等式的討論，求解與證明及二次曲線的討論。
2.待定係數法
㈠ 待定係數法是把具有某種確定性時的數學問題，通過引入一些待定的係數，轉化為方程組來解決。待定係數法的主要理論依據是：
（1）多項式f(x)=g(x)的充要條件是：對於任意乙個值a，都有f（a）＝g(a);
（2）多項式f(x) ≡g(x)的充要條件是：兩個多項式各同類項的係數對應相等；
㈡ 運用待定係數法的步驟是：
（1）確定所給問題含待定係數的解析式（或曲線方程等）；
（2）根據恒等條件，列出一組含待定係數的方程；
（3）解方程或消去待定係數，從而使問題得到解決；
㈢ 待定係數法主要適用於：求函式的解析式，求曲線的方程，因式分解等。
3.換元法
（1）整體換元：以「元」換「式2）三角換元 ，以「式」換「元」；
（3）此外，還有對稱換元、均值換元、萬能換元等；換元法應用比較廣泛。如解方程，解不等式，證明不等式，求函式的值域，求數列的通項與和等，另外在解析幾何中也有廣泛的應用。運用換元法解題時要注意新元的約束條件和整體置換的策略。
4.向量法
向量法是運用向量知識解決問題的一種方法，解題常用下列知識：
（1）向量的幾何表示，兩個向量共線的充要條件；（2）平面向量基本定理及其理論；
（3）利用向量的數量積處理有關長度、角度和垂直的問題；
（4）兩點間距離公式、線段的定比分點公式、平移公式；
5.分析法、綜合法
（1）分析法是從所求證的結果出發，逐步推出能使它成立的條件，直至已知的事實為止；分析法是一種「執果索因」的直接證法。
（2）綜合法是從已經證明的結論、公式出發，逐步推出所要求證的結論。綜合法是一種「由因導果」，敘述流暢的直接證法。
（3）分析法、 綜合法是證明數學問題的兩大最基本的方法。分析法「執果索因」的分析方法，思路清晰，容易找到解題路子，但書寫格式要求較高，不容易敘述清楚，所以分析法、綜合法常常交替使用。分析法、 綜合法應用很廣，幾乎所有題都可以用這兩個方法來解。
6.反證法
反證法是數學證明的一種重要方法，因為命題p與它的否定非p的真假相反，所以要證乙個命題為真，只要證它的否定為假即可。這種從證明矛盾命題（即命題的否定）為假進而證明命題為真的證明方法叫做反證法。
㈠ 反證法證明的一般步驟是：
（1）反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；
（2）歸謬：從命題的條件和所作的結論出發,經過正確的推理論證,得出矛盾的結果；
（3）結論：有矛盾判定假設不正確，從而肯定的結論正確；
㈡ 反證法的適用範圍：（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結論很少時的命題；
（2）結論的反面是比原結論更具體、更簡單的命題，特別是結論是否定形式（「不是」、「不可能」、「不可得」）等的命題；（3）涉及各種無限結論的命題；（4）以「最多（少）、若干個」為結論的命題；（5）存在性命題；（6）唯一性命題；（7）某些定理的逆定理；
（8）一般關係不明確或難於直接證明的不等式等。
㈢ 反證法的邏輯依據是「矛盾律」和「排中律」。
7.另外:還有數學歸納法、同一法、整體代換法等.
2023年高考數學複習
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2023年高考數學複習1
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