高考數學基礎知識複習：不等式的性質
知識清單：
1．不等式的性質：
⑴(對稱性或反身性);
⑵(傳遞性);
⑶(可加性),此法則又稱為移項法則;
(同向可相加)
⑷(可乘性) .
(正數同向可相乘)
⑸(乘方法則)
⑹(開方法則)
⑺(倒數法則)
注意：條件與結論間的對應關係，是「」符號還是「」符號；運用不等式性質的關鍵是不等號方向的把握，條件與不等號方向是緊密相連的。
運用不等式的性質可以對不等式進行各種變形,雖然這些變形都很簡單,但卻是我們今後研究和認識不等式的基本手段.
2．定理1：
如果a,b∈，那麼≥（當且僅當a=b時取「=」號）.
注：該不等式可推出:當a、b為正數時,
（當且僅當a = b時取「=」號）
即:平方平均數≥算術平均數≥幾何平均數≥調和平均數
2.含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數）： ⑴⑵由
可推出(,);
⑶如果a,b,c∈，那麼.
（當且僅當a=b=c時取「=」號）
3.絕對值不等式：
注：均值不等式可以用來求最值(積定和小，和定積大),
特別要注意條件的滿足：一正、二定、三相等.
課前預習
1．（06上海文，14）如果，那麼，下列不等式中正確的是（ ）
（a） （b） （cd）
2．（06江蘇，8）設a、b、c是互不相等的正數，則下列等式中不恆成立的是
（a） （b）
（c） （d）
3．（2003京春文，1）設a，b，c，d∈r，且a>b，c>d，則下列結論中正確的是
>b+d >b－d >bdd.
4．（1999上海理，15）若aa和均不能成立
b.和均不能成立
c.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立
d.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立
5．（06浙江理，7）「a＞b＞0」是「ab＜」的（ ）
(a)充分而不必要條件 (b)必要而不充分條件
(c)充分必要條件 (d)既不允分也不必要條件
6．（1）（2001京春）若實數a、b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（ ）
a.18b.6c.2d.2
7．（2000全國，7）若a＞b＞1，p＝，q＝（lga＋lgb），r＝lg（），則（ ）
高考數學基礎知識複習：不等式證明
知識清單：
一、常用的證明不等式的方法
1．比較法
比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結論；為了判斷作差後的符號，有時要把這個差變形為乙個常數，或者變形為乙個常數與乙個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負。
2．綜合法
利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數的定理）和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質時要注意它們各自成立的條件。
綜合法證明不等式的邏輯關係是：，及從已知條件出發，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結論。
3．分析法
證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那麼就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。
注意：（1）「分析法」是從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，即「執果索因」；
（2）綜合過程有時正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然後用綜合法的形式寫出證明過程。
二、不等式的解法
解不等式是求定義域、值域、引數的取值範圍時的重要手段，與「等式變形」並列的「不等式的變形」，是研究數學的基本手段之一。
高考試題中，對解不等式有較高的要求，近兩年不等式知識佔相當大的比例。
1．不等式同解變形
（1）同解不等式（(1)與同解；
（2）與同解，與同解；
（3）與同解）；
2．一元一次不等式
解一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）是解其他各類不等式的基礎，必須熟練掌握，靈活應用。
情況分別解之。
3．一元二次不等式
或分及情況分別解之，還要注意的三種情況，即或或，最好聯絡二次函式的圖象。
4．分式不等式
分式不等式的等價變形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。
5．簡單的絕對值不等式
絕對值不等式適用範圍較廣，向量、複數的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對值不等式。高考試題中，對絕對值不等式從多方面考查。
解絕對值不等式的常用方法：
①討論法：討論絕對值中的式於大於零還是小於零，然後去掉絕對值符號，轉化為一般不等式；
②等價變形：
解絕對值不等式常用以下等價變形：
|x|0)，
|x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)。
一般地有：
|f(x)||f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)6．指數不等式 ；
；7．對數不等式
等，（1）當時，；
（2）當時，。
8．線性規劃
（1）平面區域
一般地，二元一次不等式在平面直角座標系中表示某一側所有點組成的平面區域。我們把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線。當我們在座標系中畫不等式所表示的平面區域時，此區域應包括邊界直線，則把直線畫成實線。
說明：由於直線同側的所有點的座標代入，得到實數符號都相同，所以只需在直線某一側取乙個特殊點，從的正負即可判斷表示直線哪一側的平面區域。特別地，當時，通常把原點作為此特殊點。
（2）有關概念
引例：設，式中變數滿足條件，求的最大值和最小值。
由題意，變數所滿足的每個不等式都表示乙個平面區域，不等式組則表示這些平面區域的公共區域。由圖知，原點不在公共區域內，當時，，即點在直線：上，作一組平行於的直線：
，，可知：當在的右上方時，直線上的點滿足，即，而且，直線往右平移時，隨之增大。
由圖象可知，當直線經過點時，對應的最大，
當直線經過點時，對應的最小，所以，，。
在上述引例中，不等式組是一組對變數的約束條件，這組約束條件都是關於的一次不等式，所以又稱為線性約束條件。是要求最大值或最小值所涉及的變數的解析式，叫目標函式。又由於是的一次解析式，所以又叫線性目標函式。
一般地，求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域。
其中可行解和分別使目標函式取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解。
課前預習
1．已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求證 (a+)(b+)≥。
2．（06上海理，12）三個同學對問題「關於的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恆成立，求實數的取值範圍」提出各自的解題思路。
甲說：「只須不等式左邊的最小值不小於右邊的最大值」；
乙說：「把不等式變形為左邊含變數的函式，右邊僅含常數，求函式的最值」；
丙說：「把不等式兩邊看成關於的函式，作出函式影象」；
參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值範圍是 。
3．（2002京皖春，1）不等式組的解集是（ ）
a．｛x｜－1＜x＜1b．｛x｜0＜x＜３
c．｛x｜0＜x＜1d．｛x｜－1＜x＜３
4．不等式》0的解集為（ ）
a. b.c. d.{x|15．不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ）
a．｛x｜0≤x＜1b.｛x｜x＜0且x≠－1
c．｛x｜－1＜x＜1d.｛x｜x＜1且x≠－1
6．不等式組的解集是（ ）
a.｛x｜0＜x＜2 b.｛x｜0＜x＜2.5c.｛x｜0＜x＜ d.｛x｜0＜x＜3
7．不等式（）＞3－2x的解集是_____。
8．在（0，2π）內，使sinx＞cosx成立的x取值範圍為（ ）
ab.（，π）
cd.（，π）∪（，）
9．（06山東理，3）設f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為（ ）
(a)（1，2）（3b)（，+∞）
(c)（1，2d)（1，2）
10．（1）（06安徽，10）如果實數滿足條件， 那麼的最大值為（ ）
a． b． cd．
11．（06天津理，3）設變數、滿足約束條件，則目標函式的最小值為（ ）
a． b． c． d．
12．（06四川理，8）某廠生產甲產品每千克需用原料和原料分別為，生產乙產品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進本月用原料各千克，要計畫本月生產甲產品和乙產品各多少千克才能使月利潤總額達到最大；在這個問題中，設全月生產甲、乙兩種產品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那麼，用於求使總利潤最大的數學模型中，約束條件為（ ）
（ab）
（cd）
13．（06浙江理，3）在平面直角座標系中，不等式組表示的平面區域的面積是（ ）
(abcd)
14．（06北京理，13）已知點 p（x，y）的座標滿足條件點o為座標原點，那麼|po |的最小值等於，最大值等於。
典型例題
eg1、已知，求證：.
變式1：（1）如果，那麼，下列不等式中正確的是（ ）
a. b. c. d.
變式2：設a，b，c，d∈r，且a>b，c>d，則下列結論中正確的是（ ）
>b+d >b－d >bdd.
高考數學複習知識清單 不等式
知識清單 1 不等式的性質 對稱性或反身性 傳遞性 可加性 此法則又稱為移項法則 同向可相加 可乘性 正數同向可相乘 乘方法則 開方法則 倒數法則 注意 條件與結論間的對應關係，是 符號還是 符號 運用不等式性質的關鍵是不等號方向的把握，條件與不等號方向是緊密相連的。運用不等式的性質可以對不等式進行...
高考數學基礎知識總結 第6章 不等式
高中數學第六章 不等式 考試內容 不等式 不等式的基本性質 不等式的證明 不等式的解法 含絕對值的不等式 考試要求 1 理解不等式的性質及其證明 2 掌握兩個 不擴充套件到三個 正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的定理，並會簡單的應用 3 掌握分析法 綜合法 比較法證明簡單的不等式 4 掌握簡單...
高考文科數學複習知識清單不等式
知識清單 1 不等式的性質 對稱性或反身性 傳遞性 可加性 此法則又稱為移項法則 同向可相加 可乘性 正數同向可相乘 乘方法則 開方法則 倒數法則 注意 條件與結論間的對應關係，是 符號還是 符號 運用不等式性質的關鍵是不等號方向的把握，條件與不等號方向是緊密相連的。運用不等式的性質可以對不等式進行...