──上好數學課的兩個基本條件
關於怎樣上好初中數學課其實是乙個非常難的話題，不同的人有不同的認識。其根源在於不同的人對「好課」的認識不同，有時甚至差別很大。於是討論怎樣上好初中數學課，前提是討論什麼樣的課是好課？
或者好課的標準是什麼？
關於什麼樣的課是好課的討論，常見於各種場合，但往往都很片面。原因是，多數人列舉的要麼是好課的充分條件，要麼是好課的必要條件。而事實上，既然是好課的標準，那就一定是充分必要條件。
我對這個問題思考多年，始終不得答案。於是只能籠統概述。我認為一節好課的標準是：目標正確、方法得當、效果好。
師生上一堂課就是在完成一項任務。我們在完成一項任務時，首先就必須明確這項任務的目標是什麼，即通過教學讓學生發生哪些變化。所以，衡量一堂課是否好課的標準首先是目標是否正確。
在目標正確的情況下，才能談方法是否得當，才能談效果好不好。退一步講，目標正確時，即使方法不當，也可以逐步提公升。人們常說，儘管我們做的不好，但是我們做對了，就是強調目標的重要性；目標正確的時候，就要看達到目標的方法是否得當。
比如是否突出學生的主體地位，教學流程是否科學，資源利用是否合理，啟發是否到位，行動的開展是否有效，激勵評價是否恰當等；第三是教學效果，即預期目標是否達到。如果效果不好，那就說明要麼目標不正確，要麼方法不得當。
有了以上討論，我認為目標正確、方法得當是上好一節數學課的兩個基本條件。
一、目標正確
上好課的第乙個基本條件就是目標正確。
影響教學目標制定的因素有很多，比如，課程標準、教材、學生、教師、環境等，但是，最重要的還是課程標準和學生。
日常教學中目標不正確的表現主要有三方面：一是老師不看課程標準，憑自己的經驗和興趣確定目標；二是把課程標準的目標不加細化地當成一節課的目標；三是沒有考慮學生因素；四是只關心知識與技能目標，不關心過程與方法、情感態度價值觀目標。這四種傾向都要引起我們足夠的重視，並在實踐中加以克服。
（一）要根據課程標準確定目標。
教學有三種境界：基於標準的教學、基於教材的教學、基於經驗的教學。我們應該追求基於標準的教學。
只有做到基於標準的教學，我們才可能能深刻地理解教材，體會教材在這裡要達到什麼目的；才會積極地去改造教材，看看怎樣組織教材才能更好地達到這個目的。
例1：平方差公式。
老師確定的教學目標是：
（1）通過面積圖得出平方差公式；
（2）體會數形結合的思想。
顯然，這是老師出於自己的偏好。對平方差公式，課程標準規定的教學目標是：「能推導乘法公式：
(a+b)( a-b) = a 2- b 2，了解公式的幾何背景，並能利用公式進行簡單計算」。①這裡對於公式的幾何背景只是要求了解，而通過平方差公式的推導，讓學生經歷乙個從具體到抽象，從特殊到一般的過程。這才是教學的真正意圖。
（二）把課程標準的總目標分解成單元和每節課的目標。
課程標準中規定的目標是乙個學段完成後的目標，在實際教學中，我們要把它分解為乙個學期、乙個單元、一節課的目標。
一般而言，制定目標時可以遵照下表進行分解：
例2：平方差公式（第一課時）。
老師確定的教學目標是：
「能推導乘法公式：(a+b)( a-b) = a 2- b 2，了解公式的幾何背景，並能利用公式進行簡單計算」。而事實上，這是課程標準中的規定的總目標。
具體到這一節課可以細化為：
1.知識與技能目標：
（1）掌握平方差公式及其結構特徵；
（2）理解公式中字母的廣泛含義；
（3）會運用此公式進行運算。
2.過程與方法目標：
（1）學生經歷由具體到抽象、特殊到一般的過程，歸納出平方差公式，從中體會抽象、歸納的思想；
（2）通過變式練習，理解公式中字母的含義，領會代數思想，提高觀察、分析和總結能力；
3.情感態度價值觀目標：
通過自主學習、合作**、展示交流等環節，積累成功的心理體驗。
（三）制定目標時要考慮學生因素
制定課程標準時，已經考慮到了學生因素，分學段(初中7-9年級為第三學段)闡明了內容標準。但是由於我國地域遼闊，東西部差別很大，農村和城市差別很大，況且，標準只是乙個最低的要求，所以在實際教學時還需要考慮我們面對的學生的具體情況。
例3：平行四邊形的性質。
對於平行四邊形，在小學的第二學段4-6年級，課程標準的要求是：「通過觀察、操作，認識平行四邊形，探索並掌握平行四邊形的面積公式，並能解決簡單的實際問題」；第二學段7-9年級，課程標準的要求是：「探索並證明平行四邊形的性質定理：
平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分」。②
在實際教學時發現，初中學生對探索平行四邊形的性質並不感興趣。覺得用刻度尺和量角器去度量對邊是否相等、對角是否相等、對角線是否互相平分太小兒科。在這種情況下，我們就可以把「探索」改為「直覺」，而把重點放在性質的證明上。
（四）不但重視知識與技能目標，更要重視過程與方法、情感態度價值觀目標。
課題學習（屬於綜合與實踐領域）是數學教學中的一塊重要內容，然而卻往往不被重視（甚至不講）。為什麼呢？是因為我們總是從知識與技能的角度審視它的教育價值。
可是課題學習這類內容它的主要教學目標就不是知識技能的範疇，而是過程方法以及情感態度價值觀。主要在於積累數學活動經驗、培養學生應用意識和創新意識。也就是說，學生做了這類課題以後，它提出的方案很可能沒有實用價值，或者問題沒有得到解決。
但這並不重要，重要的是學生在解決問題的過程中的體驗。
義務教育數學課程標準（修改稿）對綜合與實踐領域的教學建議是：
1．結合實際情境，引導學生獨立思考、合作研究，設計解決具體問題的方案，並加以實施，體驗建立模型、解決問題的過程，並在此過程中，嘗試發現和提出問題。
2．反思參與活動的全過程，將研究的過程和結果形成報告或小**，交流成果，總結參與數學活動的收穫，進一步積累數學活動經驗。
3．通過對有關問題的**，了解所學過知識（包括其他學科知識）之間的關聯，加深對有關知識的理解，發展應用意識和能力。
例4 包裝盒中的數學。
（1）讓學生分組收集一些商品的空包裝紙盒，請大家分別計算出他們的體積和表面積。
（2）請學生將這些盒子拆開，看一看它們是怎樣裁剪和粘接出來的。
（3）給乙個矩形紙板（如a4紙大小），讓學生根據上面的發現，裁剪、摺疊出乙個無蓋長方體的盒子，並計算出它的體積。
（4）同組同學之間比較結果，分析誰的體積比較大？分析怎樣能作乙個體積更大（最大）的盒子？（只是實驗、比較，不要求證明）。
（5）結合一種具體的待包裝物體 (如5本書或2個茶杯) 設計乙個包裝盒，使這個盒子恰能包容它們，如有可能實際做出這個盒子。
[說明] 這是乙個過程比較長的活動，可以引導學生體驗乙個比較完整的問題解決過程。讓學生收集包裝盒、拆開觀察是乙個很有益的過程，能很好地啟發學生如何尋求解決後面問題的思路。問題（5）是乙個實際應用，它的結果不唯一，可以交流展示學生的成果，請學生說明製作過程中的關鍵資料是如何得到的和裁剪方案是如何形成的。
③二、方法得當
上好一節課的第二個基本條件就是方法得當。
方法是什麼？方法就是乙個中介結構。
課堂教學就目的而言，就是掌握「真」而實現「善」。何為「真」？課堂教學有著自身的規律，包括教材、學生、教師、教學活動都如此，這就是真；何為「善」？
通過教學活動培養人，這就是善。前者合規律，後者合目的。然而，合規律的不一定合目的，合目的的也不一定合規律。
掌握「真」是技術，實現「善」是價值。掌握「真」而實現善，需要乙個中介結構，這中介結構就是教學方法（我在有些場合稱教學模式）。
影響教學方法選擇的主要因素有目標、內容、學生、教師、資源等。這裡我主要選擇目標來談，即如何根據目標選擇方法。
按照三維目標的表達方式，知識與技能屬於較低階的目標，過程與方法屬於較高階的目標，情感態度價值觀屬於更高階的目標。較低階的目標往往對應較低階的方法。對於較高階的目標對應較高階的方法。
有時用較高階的方法去達成較低階的目標反而效果不好。
（一）知識技能目標的達成。
1.注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。
數學教學的根本目的是學生的理解。數學概念有自身的特點，學生對數學概念的理解存在於他自己的頭腦中，雖然可以通過一些外部的行為特徵去診斷學生頭腦中的理解，但學生對數學概念的內部理解無論在質量上還是在數量上都超過其外部的行為特徵。學生的理解是按水平發展的，不同學生的理解有不同的水平，而適當的教學可以改進學生的理解水平。
一般認為，促進學生概念理解的途徑有三條
（1）腳手架
（2）通過搭建腳手架降低任務的難度，使得在沒有完成低層次任務的情況下也可以從事高層次的任務。
（3）變式練習
通過直觀或具體的變式引入概念；通過非標準變式突出概念的本質屬性；通過非概念變式明確概念的外延。
（4）概念圖
概念圖也叫思維導圖，近年來被廣泛應用於對知識間的相互聯絡的理解。
例5：銳角三角函式。
教師用書上對這一章的教學目標的闡述中有這樣一句話：「通過銳角三角函式的學習，進一步認識函式，體會函式的變化與對應的思想。」（人教社九年級下教學參考書第124頁），可是在教學銳角三角函式時，往往就忘了這是學一種特殊的函式，從而也就忘記了與前面學過的一次函式、二次函式等進行聯絡。
為了突出這種聯絡，在教學三角函式時，就要從「平鋪直敘」的教材中概括出函式所具有的三個特徵：
(1)在某一變化過程中有兩個變數∠a、比值；
(2)∠a變化時，比值也隨著變化；
(3)對於∠a的某個確定的值，比值就有唯一確定的值與之對應。
所以，我們就把比值叫做銳角∠a的函式。這樣就把三角函式與過去學過的函式聯絡起來。也就加深了對函式概念的理解。
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