實驗一訊號、系統及系統響應2
實驗二應用fft對訊號進行頻譜分析6
實驗三用雙線性變換法設計iir濾波器11
實驗四用窗函式設計fir濾波器16
附錄a c語言實現數字訊號處理演算法21
附錄b matlab的訊號表示和處理32
附錄c matlab 下的數字訊號處理實現示例56
附錄d matlab 下的數字濾波器設計示例64
一．實驗目的
1． 熟悉理想取樣的性質，了解訊號取樣前後的頻譜變化，加深對取樣定理的理解。
2． 熟悉離散訊號何系統的時域特性。
3． 熟悉線性卷積的計算程式設計方法：利用卷積的方法，觀察、分析系統響應的時域特性。
4． 掌握序列傅氏變換的計算機實現方法，利用序列的傅氏變換對離散訊號、系統及系統響應進行頻域分析。
二．實驗原理
（一）連續時間訊號的取樣
取樣是從連續訊號到離散時間訊號的過渡橋梁，對取樣過程的研究不僅可以了解取樣前後訊號時域何頻域特性發生的變化以及訊號內容不丟失的條件，而且有助於加深對拉氏變換、傅氏變換、z變換和序列傅氏變換之間關係的理解。
對乙個連續時間訊號進行理想取樣的過程可以表示為訊號與乙個週期衝激脈衝的乘積，即：
（1-1）
其中，是連續訊號的理想取樣，是週期衝激脈衝
（1-2）
此時，取樣訊號的拉氏變換可以表示為：,其中是訊號的拉氏變換
作為拉氏變換的一種特例，訊號理想取樣的傅利葉變換為：
（1-3）
由（1-3）式可知，訊號理想取樣後的頻譜式原來訊號頻譜的週期延拓，其延拓週期等於取樣頻率。根據夏農定理，如果原訊號是帶限訊號，且取樣頻率高於原訊號最高頻率的2倍，則取樣後的離散序列不會發生頻譜混疊現象。
在計算機處理時，不採用時計算訊號的頻譜，而是利用序列的傅利葉變換計算訊號的頻譜，定義序列：
（1-4）
根據z變換的定義，可以得到序列的z變換為：
（1-5）
以代替上式中的z，就可以得到序列的傅利葉變換：
（1-6）
式（1-3）和式（1-6）具有如下關係：
（1-7）
由式可知，在分析乙個連續時間訊號的頻譜時，可以通過取樣將有關的計算轉化為序列傅利葉變換的計算。
（二）有限長序列的分析
一般來說，在計算機上不可能、也不必要處理連續的曲線，通常，我們的做飯時只要觀察、分析在某些頻率點上的值。對於長度為n的有限長序列：
（1-8）
一般只需要在之間均勻的取m個頻率點，計算這些點上的序列傅利葉變換：
（1-9）
其中，，。是乙個復函式，它的模就是幅頻特性曲線。
（三）訊號卷積
乙個線性時不變離散系統的響應可以用它的單位衝激響應和輸入訊號的卷積來表示：
（1-6）
根據傅利葉變換和 z變換的性質，應該有：
（1-7）
（1-8）
上兩式告訴我們：可以通過對兩個序列的移位、相乘和累加計算訊號響應；卷積運算可以在頻域通過乘積實現。
三．實驗內容及步驟
(一) 編制設計用主程式及相應子程式
1．訊號產生子程式，包括：
（1）理想取樣訊號序列：對訊號進行理想取樣，可以得到乙個理想的取樣訊號序列，其中為幅度因子，是衰減因子，是頻率，為取樣週期。根據設計內容的需要，這些參量請設計為在程式執行過程中輸入。
（2）單位脈衝序列
（3）矩形序列
, 其中取：n=10
2．系統單位衝激響應序列產生子程式，本實驗中用到兩種fir系統：
（1）（2）
3．有限長序列線性卷積子程式，用於計算兩個給定長度（分別為m和n）的序列的卷積，輸出序列長度為l=m+n-1。
（二）上機設計內容
在編制以上各部分程式以後，編制主程式呼叫各個功能模組實現對訊號、系統和系統響應的時域和頻域分析，完成以下設計內容。
1．分析理想取樣訊號序列的特性產生理想取樣訊號序列，使：
（1）首先選用取樣頻率為1000hz，t=1/1000，觀察所得理想取樣訊號的幅頻特性，在摺疊頻率以內和給定的理想幅頻特性無明顯差異，並作記錄。
（2）改變取樣頻率為300hz，t=1/300，觀察所得理想取樣訊號的幅頻特性曲線的變化，並作記錄。
（3）進一步減小取樣頻率為200hz，t=1/200，觀察頻譜混疊現象是否明顯存在，說明原因，並記錄此時的幅頻特性曲線。
2．離散訊號、系統和系統響應的分析
（1）觀察訊號和系統的時域和頻域特性；利用線性卷積求訊號通過系統以後的響應。比較系統響應和系統的時域和幅頻特性。注意它們之間有無差異，繪出圖形。
（2）觀察訊號和系統的時域和幅頻特性，利用線性卷積求系統響應。判斷響應序列圖形及序列非零值長度是否與理論結果一致，說出一種定性判斷響應序列圖形正確與否的方法（提示：）。
利用序列的傅利葉變換數值計算子程式求出，觀察響應序列的幅頻特性。定性判斷結果是否正確。改變訊號的矩形寬度，使n=5,重複以上動作，觀察變化，記錄改變引數前後的差異。
（3）將（2）中的訊號換為，其中，，，，重複（2）中的設計各步；改變引數再重複（2）中的設計各步；改變引數重複（2）中的設計各步。觀察引數的改變對訊號與系統響應的時域和幅頻特性的影響，繪製相應的圖形。
3．卷積定律的驗證。利用式（1-8）將和系統的傅氏變換相乘，直接求得
，將得到的幅頻特性曲線和設計2－（3）中得到的曲線進行比較，觀察二者有無差異，驗證卷積定律。
（三）matlab上機內容
1．閱讀本設計指導書中有關matlab進行數字訊號處理部分，熟悉matlab下訊號處理的過程和方法。
2．在matlab下重複（二）上機內容的所有要求，將matlab的輸出結果同自己程式的輸出結果進行比較。
3．改變訊號中的衰減因子，先定性估計頻譜可能發生的變化，然後觀察其頻譜的變化，記錄結結果，變化是否與你所想的一致？著這說明了什麼？
4．乙個lti系統的衝激響應為，輸入序列為，求系統響應和輸出訊號及其頻譜；如果，結果又如何呢？
5．編寫乙個程式，將分解為奇偶序列，繪製奇偶序列時域圖形並求出它們頻譜和，同的頻譜進行比較，可以得出什麼結論？
四．思考題
1．回答上機內容2－（2）中的問題。
2．在分析理想取樣訊號序列的特性設計中，利用不同取樣頻率所得到的取樣訊號序列的傅氏變化頻譜，數字頻率度量是否相同？它們所對應的模擬頻率是否都相同？
3．在卷積定律的驗證設計中，如果選用不同的m值，例如選m=50和m=30，分別作序列的傅氏變換，並求得，所得的結果之間有何差異，為什麼？
五．實驗報告要求
1．在實驗報告中簡述實驗目的和實驗原理要點。
2．總結在上機實驗內容中要求比較時域、幅頻曲線差異部分內容的結果，定性分析它們正確與否，並簡要說明這些結果的含義。
3．總結實驗中的主要結論。
4．回答思考題。
5．總結一下你在用matlab進行數字訊號處理實驗專案的時候常用的函式及其功能。
6．在用matlab 處理時和你自己的程式設計時結果是否一致？對不一致的情況進行乙個簡要的分析。
一．實驗目的
1．在理論學習的基礎上，通過本次實驗，加深對fft的理解，熟悉fft演算法及其程式的編寫。
2．熟悉應用fft對典型訊號進行頻譜分析的方法。
3．了解應用fft進行訊號頻譜分析過程中可能出現的問題，以便在實際中正確應用fft。
二、實驗原理與方法
乙個連續訊號的頻譜可以用它的傅利葉變換表示為
2-1)
如果對該訊號進行理想取樣，可以得到取樣序列
2-2)
同樣可以對該序列進行z變換，其中t為取樣週期
2-3)
當的時候，我們就得到了序列的傅利葉變換
2-4)
其中為數字角頻率，和模擬域頻率的關係為
2-5)
式中的是取樣頻率。上式說明數字角頻率是模擬頻率對取樣速率的歸一化。同模擬域的情況相似，數字角頻率代表了序列值變化的速率，而序列的傅利葉變換稱為序列的頻譜。
序列的傅利葉變換和對應的取樣訊號頻譜具有下式的對應關係：
2-6)
即序列的頻譜是取樣訊號頻譜的週期延拓。從式(2-6)可以看出，只要分析取樣序列的頻譜，就可以得到相應的連續訊號的頻譜。
在各種訊號序列中，有限長序列在數字訊號處理中占有很重要的地位。無限長的序列也往往可以用有限長序列來逼近。對於有限長的序列我們可以使用離散傅利葉變換（dft），這一變換可以很好的反映序列的頻域特性，並且容易利用快速演算法在計算機上實現。
當序列的長度為n時，定義dft為：
2-7)
其中，它的反變換定義為：
2-8)
令，則有2-9)
可以得到，，是z平面單位圓上幅角為的點，就是將單位圓進行n等分以後第k個點。所以，x(k)是z變換在單位圓上的等距取樣，或者說是序列傅利葉變換的等距取樣。時域取樣在滿足nyquist定理時，就不會發生頻譜混疊。
dft是對序列傅利葉變換的等距取樣，因此可以用於序列的頻譜分析。如同理論課教材所討論的，在運用dft進行頻譜分析的時候可能有三種誤差，即：
（1）混疊現象
從中可以看出，序列的頻譜時取樣訊號頻譜的週期延拓，週期是，因此當取樣速率不滿足定理nyquist，經過取樣就會發生頻譜混疊。這導致取樣後的訊號序列頻譜不能真實的反映原訊號的頻譜。所以，在利用dft分析連續訊號頻譜的時候，必須注意這一問題。
避免混疊現象的唯一方法是保證取樣的速率足夠高，使頻譜交疊的現象不出現。這告訴我們，在確定訊號的取樣頻率之前，需要對頻譜的性質有所了解。在一般的情況下，為了保證高於摺疊頻率的分量不會出現，在取樣之前，先用低通模擬濾波器對訊號進行濾波。
（2）洩漏現象
實際中的訊號序列往往很長，甚至是無限長。為了方便，我們往往用截短的序列來近似它們。這樣可以使用較短的dft來對訊號進行頻譜分析。
這種截短等價於給原訊號序列乘以乙個矩形窗函式。值得一提的是，洩漏是不能和混疊完全分離開的，因為洩漏導致頻譜的擴充套件，從而造成混疊。為了減少洩漏的影響，可以選擇適當的窗函式使頻譜的擴散減到最小。
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