學習思路:
通過應力狀態、應變狀態和本構關係的討論，已經建立了一系列的彈性力學基本方程和邊界條件。本節的主要任務是將基本方程和邊界條件作綜合總結，並且對求解方法作初步介紹。
彈性力學問題具有15個基本未知量，基本方程也是15個，因此問題求解歸結為在給定的邊界條件下求解偏微分方程。
由於基本方程與15個未知量的內在聯絡，例如已知位移分量，通過幾何方程可以得到應變分量，然後通過物理方程可以得到應力分量；反之，如果已知應力分量，也可通過物理方程得到應變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量，不過這時的應變分量必須滿足一組補充方程，即變形協調方程。基於上述的理由，為簡化求解的難度，可以選取部分未知量作為基本未知量求解。
根據基本未知量，彈性力學問題可以分為應力解法、位移解法和混合解法。
上述三種求解方法對應於偏微分方程的三種邊值問題。
學習要點：
1. 彈性力學基本方程；
2. 本構方程；
3. 邊界條件；
4. 彈性力學邊值問題；
首先將彈性力學基本方程綜合如下：
1. 平衡微分方程
用張量形式描述
2. 幾何方程
用張量形式描述
變形協調方程
當然，具體求解彈性力學問題時，並不需要同時求解十五個基本未知量，可以而且必須做出必要的簡化。根據幾何方程和本構方程可見，位移、應力和應變分量之間不是相互獨立的。
假如已知位移分量，通過幾何方程可以得到應變分量，然後通過物理方程可以得到應力分量。反之，如果已知應力分量，也可通過物理方程得到應變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量，不過這時的應變分量必須滿足一組補充方程，即變形協調方程。
基於上述的理由，為簡化求解的難度，選取部分未知量作為基本未知量。
若以位移函式作為基本未知量求解，稱為位移解法；
若以應力函式作為基本未知量，稱為應力解法；
若以部分位移分量和部分應力分量作為基本未知量，稱為混合解法。
在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問題， 數學上稱為偏微分方程的邊值問題。
按照不同的邊界條件，彈性力學有三類邊值問題。
第一類邊值問題： 已知彈性體內的體力fbx，fby，fbz和其表面的面力fsx，fsy，fsz，求平衡狀態的彈性體內各點的應力分量和位移分量，這時的邊界條件為面力邊界條件。
第二類邊值問題：已知彈性體內的體力分量fbx，fby，fbz以及表面的位移分量， 求平衡狀態的彈性體內各點的應力分量和位移分量， 這時的邊界條件為位移邊界條件。
第三類邊值問題：已知彈性體內的體力分量fbx，fby，fbz，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，求平衡狀態的彈性體內各點的應力分量和位移分量。這時的邊界條件在面力已知的部分，用面力邊界條件，位移已知的部分用位移邊界條件，稱為混合邊值問題。
以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實際工程問題。若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問題的解是唯一的。
4．邊界條件：
如果物體表面的面力fsx，fsy，fsz為已知，則邊界條件應為：
稱為面力邊界條件，用張量符號表示為
如果物體表面的位移已知，則邊界條件應為
稱為位移邊界條件。除了面力邊界條件和位移邊界條件，還有混合邊界條件。
綜上所述，彈性力學的基本未知量為三個位移分量，六個應力分量和六個應變分量，共計十五個未知量。基本方程為三個平衡微分方程，六個幾何方程和六個物理方程，也是十五個基本方程。
這裡沒有考慮變形協調方程，原因是位移已經作為基本未知量。對於任意的單值連續的位移函式，如果設其有三階的連續導數，則變形協調方程僅僅是幾何方程微分的結果，自然地滿足，所以位移作為基本未知量時，不需要考慮變形協調方程。
要使基本方程有確定的解，還要有對應的面力或位移邊界條件。
彈性力學的任務就是在給定的邊界條件下，就十五個未知量求解十五個基本方程。
位移解法是以位移函式作為基本未知函式求解的，所以需要通過幾何方程將位移函式表達為應變分量，再通過物理方程將其表達為應力分量，代入平衡微分方程即可得到位移解法的基本方程。
首先，根據物理方程和幾何方程，可以得到由位移分量表達的應力分量，即
其中 將上述位移表示的應力分量代入平衡微分方程，整理後可得
這裡是拉普拉斯運算符號，即
上述方程是以位移表示的平衡微分方程，稱為拉梅（lamé）方程，它可以表示為張量形式
或表達為向量形式
上式中為拉普拉斯算符向量。
對於邊界條件， 如果物體表面的位移已知，則直接由位移形式給定，即使用位移邊界條件。
如果給定的邊界條件是物體表面的面力， 則面力邊界條件式需用位移分量表示， 將應力分量代入物理方程，整理可得位移分量表示的面力邊界條件：
或表達為張量形式
顯然，如果給定的邊界條件是面力邊界條件，那麼位移解法的邊界條件表示式十分複雜，因此求解的難度將是比較大的。
總之，如果以位移函式作為基本未知函式求解彈性力學問題，歸結為在給定的邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。
位移分量求解後，則可通過幾何方程和物理方程求出相應的應變分量和應力分量。
以應力作為基本未知函式求解彈性力學問題時，應力分量必須滿足平衡微分方程和面力邊界條件。
但是僅此還不夠，僅僅滿足上述條件的應力分量並不是真正的應力。因為這組應力分量求出的應變分量代入幾何方程，將可能得到一組矛盾方程，不可能求出單值連續的位移分量。要使這組方程不矛盾，則要求應力分量不僅滿足平衡微分方程和面力邊界條件，而且應力分量對應的應變分量必須滿足變形協調方程。
這個問題也可以從物理上解釋，應力分量滿足平衡微分方程和面力邊界條件，只能保證物體的平衡，但是不能保證物體的連續。只有這組應力分量求出的應變分量滿足變形協調方程時，才能保證變形後的物體是連續的。
當位移分量作為基本未知函式求解時，變形協調方程是自然滿足的。如果位移表示基本未知量，只有應力作為基本未知函式求解時，變形協調方程作為一組補充方程是必須的。
因此，對於應力解法，應力分量必須滿足平衡微分方程和變形協調方程。
由於變形協調方程是由應變分量表達的，在應力解法中，需要將其轉換為由應力分量表達。
將物理方程改寫為
其中 將上式代入變形協調方程的第一，四兩式，可得
輪換x，y，z可得其餘四個方程。由此可得應力表達的變形協調方程。
下面我們對應力分量表示的變形協調方程的第二式作簡化。
首先對平衡微分方程的第二和第三兩式分別對z，y求偏導數，然後相加可以得到
將上式與變形協調方程的第二式相加後並整理，可得
上式為簡化後的方程，輪換x，y，z以後，可得另外兩個類似的公式。
綜上所述，我們一共得到以下六個關係式：
上述方程即為應力分量表達的變形協調方程，通常稱為貝爾特拉公尺--公尺切爾方程。
如果彈性體體力為常量，則應力分量表達的變形協調方程可以簡化為
上述方程為應力分量表達的變形協調方程，通常簡稱為應力協調方程。但是應該注意：應力是不需要協調的，其實質仍為應變分量所滿足的變形協調關係。
如果用張量形式表達，則上述公式可寫作
總而言之，在以應力函式作為基本未知量求解時，歸結為在給定的邊界條件下，求解平衡微分方程和應力表達的變形協調方程所組成的偏微分方程組。
混合解法以六個應力分量和三個位移分量作為基本未知量求解彈性力學問題。通過物理方程中消去應變分量，其基本方程為平衡微分方程和由應力分量表達的幾何方程，即
這裡有三個平衡微分方程和六個幾何方程，共計九個方程對應九個未知函式，加上給定的邊界條件，則可得到唯一的解。
彈性力學的基本求解方法的應用要根據問題性質，主要是根據邊界條件選擇使用。
對於面力邊界條件問題，使用應力解法；
位移邊界條件應用位移解法；
混合解法主要應用於混合邊界條件，即彈性體的部分邊界位移已知，部分邊界面力已知的問題。
本節將從位移表達的平衡微分方程和應力表達的變形協調方程入手，推導體力為常量時的應力分量，應變分量，位移分量，以及體積應力和體積應變所遵循的規律，為進一步分析和理解彈性力學問題作必要的準備。
將位移分量表示的平衡微分方程的三個公式分別對x，y，z 求偏導數， 然後相加可得
由於 所以
即 由體積應力和體積應變的關係，可得
由上述公式可知，如果體力為常量，體積應力和體積應變均滿足拉普拉斯（laplace)方程，即體積應力函式和體積應變函式均為調和函式。
為了證明彈性力學解的唯一性定理，首先證明乙個重要的定理，即應變能定理。
應變能定理是指：彈性體在外力作用下處於平衡狀態時，物體內儲存的彈性勢能，即應變能，等於外力由原始位置到平衡位置所做的功。假如外力是由零連續變化到其最終數值的，則在載入的過程中，物體始終是處於平衡狀態的。
以下證明彈性體的應變能定理。設彈性體處於體力fbx, fby, fbz和面力fsx, fsy, fsz的作用下，彈性體內產生位移u，v，w。則外力在位移過程中作功為
將面力邊界條件代入上式的第二個積分，並利用高斯積分公式，可得
因此 由此可以證明，外力所做的功等於彈性體儲存的彈性勢能。
對於一般的工程構件，即彈性體，由於偏微分方程邊值問題在數學上求解的困難，因此直接根據給定的邊界條件求解彈性力學的基本方程是十分困難的。
為了避開偏微分方程邊值問題直接求解的困難，在彈性力學問題的求解中，經常採用的方法是逆解法和半逆解法。
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