常用邏輯用語
目標認知
考試大綱要求：
1. 理解命題的概念；了解邏輯聯結詞「或」、「且」、「非」的含義.
2. 了解命題「若p,則q」的形式及其逆命題、否命題與逆否命題，分析四種命題相互關係.
3. 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.
4. 理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確地對含有乙個量詞的命題進行否定.
重點：充分條件與必要條件的判定
難點：根據命題關係或充分(或必要)條件進行邏輯推理。
知識要點梳理
知識點一：命題
1. 定義：
一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫做命題.
（1）命題由題設和結論兩部分構成. 命題通常用小寫英文本母表示，如p,q,r,m,n等.
（2）命題有真假之分，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題. 數學中的定義、公理、定理等都是真命題
（3）命題「」的真假判定方式：
① 若要判斷命題「」是乙個真命題，需要嚴格的邏輯推理；有時在推導時加上語氣詞「一定」能幫助判斷。如：一定推出.
② 若要判斷命題「」是乙個假命題，只需要找到乙個反例即可.
注意：「不一定等於3」不能判定真假，它不是命題.
2. 邏輯聯結詞：
「或」、「且」、「非」這些詞叫做邏輯聯結詞.
（1）不含邏輯聯結詞的命題叫簡單命題，由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題叫復合命題.
（2）復合命題的構成形式：
①p或q；②p且q；③非p（即命題p的否定）.
（3）復合命題的真假判斷（利用真值表）：
①當p、q同時為假時，「p或q」為假，其它情況時為真，可簡稱為「一真必真」；
②當p、q同時為真時，「p且q」為真，其它情況時為假，可簡稱為「一假必假」。
③「非p」與p的真假相反.
注意：（1）邏輯鏈結詞「或」的理解是難點，「或」有三層含義，以「p或q」為例：一是p成立
且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以模擬於集合中「或」.
（2）「或」、「且」聯結的命題的否定形式：
「p或q」的否定是「p且q」； 「p且q」 的否定是「p或q」.
（3）對命題的否定只是否定命題的結論；否命題，既否定題設，又否定結論。
知識點二：四種命題
1. 四種命題的形式：
用p和q分別表示原命題的條件和結論，用p和q分別表示p和q的否定，則四種命題的形式為：
原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；
否命題：若p則q； 逆否命題：若q則p.
2. 四種命題的關係
①原命題逆否命題.它們具有相同的真假性，是命題轉化的依據和途徑之一.
②逆命題否命題，它們之間互為逆否關係，具有相同的真假性，是命題轉化的另一依據和途徑.
除①、②之外，四種命題中其它兩個命題的真偽無必然聯絡.
命題與集合之間可以建立對應關係，在這樣的對應下，邏輯聯結詞和集合的運算具有一致性，命題的「且」、「或」、「非」恰好分別對應集合的「交」、「並」、「補」，因此，我們就可以從集合的角度進一步認識有關這些邏輯聯結詞的規定。
知識點三：充分條件與必要條件
1. 定義：
對於「若p則q」形式的命題：
從邏輯觀點上，關於充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件的判定在於區分命題的條件與結論之間的關係．
①若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
②若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；
③若且，則是成立的必要不充分條件；
④若既有pq，又有qp，記作pq，則p 是q的充分必要條件（充要條件）.
⑤若且，則是成立的既不充分也不必要條件．
從集合的觀點上，關於充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件的判定在於判斷、相應的集合關係．
建立與、相應的集合，即成立，成立．
若，則是的充分條件，若，則是成立的充分不必要條件；
若，則是的必要條件，若，則是成立的必要不充分條件；
若，則是成立的充要條件；
若ab且ba，則是成立的既不充分也不必要條件．
2. 理解認知：
（1）在判斷充分條件與必要條件時，首先要分清哪是條件，哪是結論；然後用條件推結論，
再用結論推條件，最後進行判斷.
（2）充要條件即等價條件，也是完成命題轉化的理論依據.「當且僅當」.「有且僅有」.
「必須且只須」.「等價於」「…反過來也成立」等均為充要條件的同義詞語.
3. 判斷命題充要條件的三種方法
（1）定義法：
（2）等價法：由於原命題與它的逆否命題等價，否命題與逆命題等價，因此，如果原
命題與逆命題真假不好判斷時，還可以轉化為逆否命題與否命題來判斷．即利用
與；與；與的等價關係，對於
條件或結論是不等關係（或否定式）的命題，一般運用等價法.
(3) 利用集合間的包含關係判斷，比如ab可判斷為ab；a=b可判斷為ab，且
ba，即ab.
如圖：「」「，且」是的充分不必要條件.
「」「」是的充分必要條件.
知識點四：全稱量詞與存在量詞
1. 全稱量詞與存在量詞
全稱量詞及表示：表示全體的量詞稱為全稱量詞。表示形式為「所有」、「任意」、「每乙個」等，通常用符號「」表示，讀作「對任意」。
含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。全稱命題「對m中任意乙個x，有p(x)成立」可表示為「」，其中m為給定的集合，p(x)是關於x的命題.
（ii）存在量詞及表示：表示部分的量稱為存在量詞。表示形式為「有乙個」，「存在乙個」,
「至少有乙個」，「有點」,「有些」等，通常用符號「」表示，讀作「存在」。含有
存在量詞的命題，叫做特稱命題特稱命題「存在m中的乙個x，使p(x)成立」可表示
為「」，其中m為給定的集合，p(x)是關於x的命題.
2. 對含有乙個量詞的命題進行否定
（i）對含有乙個量詞的全稱命題的否定
全稱命題p：，他的否定： 全稱命題的否定是特稱命題。
（ii）對含有乙個量詞的特稱命題的否定
特稱命題p：，他的否定： 特稱命題的否定是全稱命題。
注意：（1）命題的否定與命題的否命題是不同的.命題的否定只對命題的結論進行否定（否定一
次），而命題的否命題則需要對命題的條件和結論同時進行否定（否定二次）。
（2）一些常見的詞的否定：
規律方法指導
1. 解答命題及其真假判斷問題時，首先要理解命題及相關概念，特別是互為逆否命題的真
假性一致.
2. 要注意區分命題的否定與否命題.
3. 要注意邏輯聯結詞「或」「且」「非」與集合中的「並」「交」「補」是相關的，將二
者相互對照可加深認識和理解.
4. 處理充要條件問題時，首先必須分清條件和結論。對於充要條件的證明，必須證明充分
性，又要證明必要性；判斷充要條件一般有三種方法：用集合的觀點、用定義和利用命
題的等價性；求充要條件的思路是：先求必要條件，再證明這個必要條件是充分條件.
5. 特別重視數形結合思想與分類討論思想的運用。
總結昇華：
1. 判斷復合命題的真假的步驟：
①確定復合命題的構成形式；
②判斷其中簡單命題p和q的真假；
③根據規定（或真假表）判斷復合命題的真假.
2. 條件「或」是「或」的關係，否定時要注意.
型別二：四種命題及其關係
2. 寫出命題「已知是實數，若ab=0，則a=0或b=0」的逆命題，否命題，逆否命題，並判斷其真假。
解析：逆命題：已知是實數，若a=0或b=0, 則ab=0, 真命題；
否命題：已知是實數，若ab≠0，則a≠0且b≠0，真命題；
逆否命題：已知是實數，若a≠0且b≠0，則ab≠0，真命題。
總結昇華：
1.「已知是實數」為命題的大前提，寫命題時不應該忽略；
2. 互為逆否命題的兩個命題同真假；
3. 注意區分命題的否定和否命題.
型別三：全稱命題與特稱命題真假的判斷
總結昇華：
1. 要判斷乙個全稱命題是真命題，必須對限定的集合m中每乙個元素，驗證成立；
要判斷全稱命題是假命題，只要能舉出集合m中的乙個，使不成立可；
2. 要判斷乙個特稱命題的真假，依據：只要在限定集合m中，至少能找到乙個，使
成立，則這個特稱命題就是真命題，否則就是假命題.
型別四：充要條件的判斷
總結昇華：
1. 處理充分、必要條件問題時，首先要分清條件與結論；
2. 正確使用判定充要條件的三種方法，要重視等價關係轉換，特別是與關係.
型別五：求引數的取值範圍
總結昇華：由p或q為真，知p、q必有其一為真，由p且q為假，知p、q必有乙個為假，所以，「p假且q真」或「p真且q假」.可先求出命題p及命題q為真的條件，再分類討論．
總結昇華：從認知已知條件切入，將四種命題或充要條件問題向集合問題轉化，是解決這類問題的基本策略。
型別六：證明
總結昇華：
1. 利用反證法證明時，首先正確地作出反設（否定結論）.從這個假設出發，經過推理論證，
得出矛盾，從而假設不正確，原命題成立，反證法一般適宜結論本身以否定形式出現，
或以「至多…」、「至少…」形式出現，或關於唯一性、存在性問題，或者結論的反面是
比原命題更具體更容易研究的命題.
2. 反證法時對結論進行的否定要正確，注意區別命題的否定與否命題．
總結昇華：
1. 對於充要條件的證明，既要證明充分性，又要證明必要性，所以必須分清條件是什
麼，結論是什麼。
2. 充分性：由條件結論；必要性：由結論條件.
3.敘述方式的變化（比如是的充分不必要條件」等價於「的充分不必要要條件是」）.
三、典型例題選講
例1 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，並判斷它們的真假．
（1）已知，，為實數，若，則有兩個不相等的實數根；
（2）兩條平行線不相交；
（3）若，則，全為零．
分析：寫出乙個命題的四種命題形式，關鍵是分清命題的條件與結論，把命題寫成「如果…那麼…」的形式，再根據四種命題的定義寫出其他三種命題即可．
解：（1）原命題是真命題；
逆命題：若有兩個不相等的實數根，則，（假）；
否命題：若，則沒有兩個不相等的實數根，（假）；
逆否命題：若沒有兩個不相等的實數根，則，（真）．
（2）原命題形式可寫成：若兩條直線平行，則它們不相交，（真）；
常用邏輯用語知識點
1 命題 定義 一般地，我們把用語言 符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫做命題.二 全稱量詞與存在量詞 全稱量詞表示形式為 所有 任意 每乙個 等，通常用符號 表示，讀作 對任意 含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。全稱命題 對m中任意乙個x，有p x 成立 可表示為 其中m為給定的集合，p x ...
高中數學常用邏輯用語知識點教師
高中數學常用邏輯用語 目標認知 考試大綱要求 1.理解命題的概念 了解邏輯聯結詞 或 且 非 的含義.2.了解命題 若p,則q 的形式及其逆命題 否命題與逆否命題，分析四種命題相互關係.3.理解必要條件 充分條件與充要條件的意義.4.理解全稱量詞與存在量詞的意義 能正確地對含有乙個量詞的命題進行否定...
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