武漢邦德藝考教育2023年高考數學複習資料（二）型別二：函式中的分類討論
2、設為實數，記函式的最大值為，
（ⅰ）設，求的取值範圍，並把表示為的函式；
（ⅱ）求；
（ⅲ）試求滿足的所有實數.
解析：（i）∵，
∴要使有意義，必須且，即
∵，且……①
∴的取值範圍是 ，
由①得：，
∴，，（ii）由題意知即為函式，的最大值，
∵時，直線是拋物線的對稱軸，
∴可分以下幾種情況進行討論：
（1）當時，函式，的圖象是開口向上的拋物線的一段，由知在上單調遞增，故；
（2）當時，，，有=2；
（3）當時，，函式，的圖象是開口向下的拋物線的一段，若即時，，
若即時，，
若即時，，
綜上所述，有=
（iii）當時，；
當時，，，∴，
∴，故當時，；
當時，，由知：，故；
當時，，故或，從而有或，
要使，必須有，，即，
此時，，
綜上所述，滿足的所有實數為：或.
舉一反三：
【變式1】函式的圖象經過點(-1，3)，且f(x)在(-1，+∞)上恒有f(x)＜3，求函式f(x).
解析：f(x)圖象經過點(-1，3)，則，整理得：，解得或
(1)當時，則，此時x∈(-1，+∞)時，f(x)＞3，不滿足題意；
(2)當，則，此時，x∈(-1，+∞)時，即f(x)＜3，滿足題意為所求.
綜上，.
【變式2】已知函式有最大值2，求實數的取值.
解析：令，則().
(1)當即時，，
解得:或（舍）；
(2)當即時，,
解得:或（舍）；
(3)當即時，，解得（全都捨去）.
綜上，當或時，能使函式的最大值為2.
3、已知函式（）.
（1）討論的單調性；
（2）求在區間上的最小值.
解析：（1）函式的定義域為（0，+∞）
對求導數，得
解不等式，得0＜x＜e
解不等式，得x＞e
故在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減（2）①當2a≤e時，即時，由（1）知在（0，e）上單調遞增，所以
②當a≥e時，由（1）知在（e，+∞）上單調遞減，所以
③當時，需比較與的大小
因為所以，若，則，此時
若2＜a＜e，則，此時
綜上，當0＜a≤2時，；當a＞2時
總結昇華：對於函式問題，定義域要首先考慮，而（２）中③比較大小時，作差應該是非常有效的方法.
舉一反三：
【變式1】設，
（1）利用函式單調性的意義，判斷f(x)在（0，+∞）上的單調性；
（2）記f(x)在0＜x≤1上的最小值為g(a)，求y=g(a)的解析式.
解析：（1）設0＜x1＜x2＜+∞
則f(x2)-f(x1)=
由題設x2-x1＞0，ax1·x2＞0
∴當0＜x1＜x2≤時，，∴f(x2)-f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，則f(x)在區間[0，]單調遞減，當＜x1＜x2＜+∞時，，∴f(x2)-f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，則f(x)在區間（，+∞）單調遞增.
（2）因為0＜x≤1，由（1）的結論，
當0＜≤1即a≥1時，g(a)=f()=2-;
當＞1，即0＜a＜1時，g(a)=f(1)=a綜上，所求的函式y=g(a)＝.
【變式2】求函式在上的值域.
解析：令，則
(1)當0＜a≤1時，
∵0≤x≤a，∴f′(x)≥0(只有a=1且x=1時f′(x)=0)∴f(x)在[0,a]上單增，從而，值域為；
(2)當a＞1時，
∵0≤x≤a，∴f(x)在單增，在上單減，並且，∴，值域為；
(3)當-1≤a＜0時，
∵0≤x≤|a|，∴f(x)在[0,|a|]上遞減從而即，值域為
(4)當a＜-1時，
∵0≤x≤|a|，∴f(x)在單減，在上單增，∴，又，
∴，值域為.
武漢邦德藝考教育2023年高考數學複習 二十五
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