習題三（a）1．根據導數定義求下列函式的導數：
（12）
（34）
解：(1)
(2)(3)
(4)2．求下列曲線在指定條件下的切線方程；
（1）曲線的與直線平行的切線；
（2）余弦曲線在點處的切線；
（3）雙曲線的經過點（2，0）的切線.
解：(1) 則直線可得
或。斜率為5，且經過或的斜率為或
(2) -1 當時
斜率為且經過的斜線為
(3)得直線為過
則在上,代入
3．如一直線運動的運動方程為求在時運動的瞬時速度.
解： 當時，
4．設函式在點可導，求：
（12）
（3），如已知
解：(1)
(2)(3)5．設可導，求. 解
6．設函式在點連續，且極限問函式在點處是否可導？若可導，求
解： 在點連續，
7．求函式的不可導點.
解：當時，即或
當時，即，
為的為不可導點
8．設在什麼條件下可使在點處
（1）連續；
（2）可導；
（3）導數連續.
解：為有界函式函式
1）連續
2）可導
存在此時3）導數連續
若再處連續，
則 9．設可導且證明在點可導，並求
解： 10．對於函式如存在，是否必存在？
解：不一定，如，此極限在處為，但不存在
11．設，
(1)若在點連續，求；
(2)若點是的間斷點，是否在處必不可導，為什麼？
解：1)
2) 如，則.如不存在，則不存在.
12．設函式
則下列結論正確的是（ ）.
a．在點間斷
b．在點連續，但不可導
c．在點可導，但在點間斷
d．在點連續
解：d. ，
，時在點連續
13．設為可導函式，且滿足
求曲線在點處切線的方程.
解：則4+f(1)=0 f(1)=4
所以k=2且經過則切線為
14．設是偶函式，且在點可導，證明：
解：f(x)為偶函式,所以f(-x)=f(x),兩邊求導為:
所以當x=0時，等式變為所以
15．求下列函式的導數：
（12）
（34）
（56）
（78）
（910）
（1112）
（1314）
（1516）
解：1)
2)3) 4)
5) 6)
7)8)9)10)11)12)13)14)15)16)=16．應用反函式求導法則證明：
（12）
解：1)
2)17．設函式有反函式，且曲線在點（2，1）處的切線方程為，求常數a，b.
解：因為函式有反函式，且曲線在點（2，1）處的切線方程為，所以函式f(x)過點(1,2),又因為曲線在點（2，1）處的切線方程為，所以a= 1,b = 2.
18．求下列分段函式的，
（12）
解：1) =
2)19．求下列函式的導數：
（12）
（34）
（56）
（78）
（910）
（1112）
（1314）
（1516）
（1718）
（19（20）常數可導）；
（2122）
（2324）
（2526）
（2728）
解：1)
2)3)4).
5)6)7) 8)
9)10)11)12)13)14)15)16)17)18)19)20)21)22)23)24)25)，即，
所以，即
所以26)
27)28),即,所以
,即所以
20．設可導，求下列函式的導數：
（12）
（34）
解：1）
2）3）4）21．設求
解： 22．設在點可導，求.
解：因為在處可導，所以在處一定連續.所以有
，即，所以
23．設曲線與相切，求.
解：因為曲線與在處相切，所以，即,所以,此時.所以,所以.
24．設是可導週期函式，證明也是週期函式.
解：因為是可導週期函式，設為的週期，所以,所以,所以也是週期函式。
25．證明雙曲線上任意一點的切線與軸圍成的三角形的面積為一常數.
解：，,任取一點,則有，則切線方程為，與軸的交點為，與軸的交點為，則圍成的三角形面積為,為一常數。
26．求下列函式的二階導數：
（12）
（34）
（56）有二階導數）.
解：1）23）
45）627．求下列函式的階導數：
（12）
（34）
解：1）23）
4），令，則
即28．設的階導數求
解：因為的階導數，所以
所以29．設函式在上滿足，求
解：因為，令,則(式1),令,則(式2)。(式1)*2- (式2)=>.所以,即
30．求出函式在依次等於時的改變量與微分的差，並比較所得結果.
解：，當依次等於時，依次等於，所以愈小則愈小，後者為前者的2階無窮小
31．求下列函式的微分：
（12）
（34）
（56）
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