數值積分與數值微分實驗報告

實驗三數值積分程式設計演算法

1）實驗目的

通過本次實驗熟悉並掌握各種數值積分演算法及如何在matlab中通過設計程式實現這些演算法，從而更好地解決實際中的問題。

2）實驗題目

給出積分

1.用simpson公式和n=8的復合simpson公式求積分的近似值.

2.用復合梯形公式、復合拋物線公式、龍貝格公式求定積分，要求絕對誤差為，將計算結果與精確解做比較，並對計算結果進行分析。

3）實驗原理與理論基礎

simpson公式

復化梯形公式

將定積分的積分區間分隔為n等分，各節點為復合梯形(trapz)公式為

如果將分隔為2n等分，而不變，則其中，

n=1時，，則

若，記，

，則可得如下遞推公式

k=1,2,

即為梯形遞推公式。

由復化遞推公式的餘項

即為復化simpson公式。

romberg公式

由復合cotes公式的餘項得

令由此綜合可得

4）實驗內容

本次實驗需要通過在matlab中程式設計實現復化梯形及romberg等各種數值積分演算法，從而更加熟練的掌握這幾種演算法，也通過在matlab中的實現來比較這幾種演算法之間的優劣性，從而在實際應用中更好地選擇演算法，以利於解決實際中的問題。

5）實驗結果

simpson演算法

function z=simpson(a,b)

c=(a+b)/2;

z1=1/(a^2-1);z2=1/(b^2-1);z3=1/(c^2-1);

z=(b-a)*(z1+4*z3+z2)/6;

a=2;b=3;simpson(a,b)

ans =

0.2034

復合simpson演算法

function y=comsimpson(a,b,n)

z1=1/(a^2-1);z2=1/(b^2-1);

h=(b-a)/n;s1=0;x1=a+h/2;

s2=0;x2=a+h;

for i=0:1:(n-1)

x1=x1+h;

s1=s1+1/(x1^2-1);

endfor i=1:1:(n-1)

x2=x2+h;

s2=s2+1/(x2^2-1);

endy=h*(z1+4*s1+2*s2+z2)/6;

>> a=2;b=3;n=8;comsimpson(a,b,n)

ans =

0.1804

復合梯形公式

function y=comti(a,b,e)%復合梯形公式求解

z1=1/(a^2-1);z2=1/(b^2-1);

c=(a+b)/2;z3=1/(c^2-1);

t=abs(z3-z2-z1);z4=z3;n=2;

while (t>e)

n=n+1;

h=(b-a)/n;

x=a;

s1=z1+z2;

for i=1:n-1

x=a+i*h;

s1=s1+1/(x^2-1);

ends1=s1*h;

t=abs(s1-z4);z4=s1;

endy=s1;

復合拋物線公式求解

%復合拋物線公式求解

function y=compwx(a,b,e)

s=1/(a^2-1)+1/(b^2-1);c=(b-a)/2+a;z=1/(c^2-1);

s3=(s+4*z)*(b-a)/6;

r=abs(s3-s*(b-a)/6);

n=0;

while(r n=n+1;

h=(b-a)/(2*n);

x=a;

s1=s;

for i=1:2:(2*n-1)

x=x+h;

s1=s1+4*1/(x^2-1);

x=x+h;

s1=s1+2*1/(x^2-1);

ends2=s1*h/3;

r=abs(s2-s3);

s3=s2;

endy=s3;

romberg求積演算法

%龍貝格演算法

function[s,n]=romberg(a,b,eps)

if nargin<3,eps=1e-6;

endz1=1/(a^2-1);z2=1/(b^2-1);

s=10;s0=0;k=2;t(1,1)=(b-a)*(z1+z2)/2;

while (abs(s-s0)>eps)

h=(b-a)/2^(k-1);

w=0;

if(h~=0)

for i=1:(2^(k-1)-1)

x=a+i*h;

w=w+1/(x^2-1);

endt(k,1)=h*(z1/2+w+z2/2);

for l=2:k

for i=1:(k-l+1)

t(i,l)=(4^(l-1)*t(i+1,l-1)-t(i,l-1))/(4^(l-1)-1);

end end

s=t(1,k);

s0=(t(1,k-1));

k=k+1;

n=k;

else s=s0;

n=-k;

endend實驗結果

6）實驗結果分析與小結

通過本次實驗，在matlab中編寫程式實現復合simpson,復合梯形，復合拋物線及romberg演算法等，進一步熟悉了這幾種數值積分演算法，通過比較發現simpson演算法不穩定，而梯形法簡單但收斂慢，由梯形法遞推而得到的romberg演算法具有更高的收斂速度。

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