泊松括號
一． 泊松括號：
意義：哈密頓正則方程具有許多優點，因此，它在分析力學中占有非常重要的地位，並發展了一些不同的求解方法。泊松定理就是其中之一。
設：任何乙個物理量：
這些物理量有的是隨時間變化的，有的是運動積分，不隨時間變化，以前我們討論的中心問題之一是如何尋找迴圈座標，即，如何建立運動積分。
現在反過來：對於乙個給定的力學體系，如何來判斷力學量是否為運動積分。
因為有了哈密頓量，我們就可以：
正則方程解正則方程力學體系的力學性質
因此，設想是否為運動積分，一定可以從與的關係中做出判斷。
利用正則方程：
得到：定義泊松括號：
所以：上式給出了任意乙個力學量隨時間的變化與哈密頓量之間的關係，我們稱上式為的運動方程。
如果是運動積分，則：
因為當力學體系運動時，由正則變數組成的某一函式為一常數，即：
可以反映體系的運動規律，即運動積分。因此：
特別是當不顯含時間時， 則：
以前判斷乙個力學量是否是運動積分：
（1） 解出運動方程；
（2） 得到正則變數;
（3） 帶回到函式中，看是否與時間有關。
現在可以直接判斷.即從與的關係中直接得到。
例如：若：
上式是為運動積分的條件。
泊松代數
由於都是相互獨立的，任意乙個對另外乙個的偏微商都等於零，即：
結合上面的公式得：
由泊松括號：
令得：同理：
泊松括號的性質：
（3）式的證明：
利用泊松括號：
（4）式的證明：
上式中和對易！
（5）式的證明：
（9）式的證明：
應用泊松括號展開左邊三項就可以證明上式。詳細證明略。
（10）式的證明：
是以為正則變數的力學量的泊松括號，
做正則變換，經過變換後得到的力學量的泊松括號仍然為：。
上式初看起來似乎是理所當然的，但是仔細想起來其中有乙個泊松括號非常重要的性質，因為泊松括號： 這是對對求導後所定義的乙個新的函式，
前面的研究中，我們知道，正則變換不能保證任意乙個函式在變換後都保持不變，例如：
。若都是運動積分，則也一定是運動積分，這是因為：
應用：得，對於
應用雅可比恒等式得：
若都是運動積分，則： 所以：。
泊松定理：若都是運動積分，則也一定是運動積分。
例：平面諧振子的角動量的守恆性
角動量：
由於不顯含時間，則
因此，是否是運動積分則由：來決定，
討論：（1） 當時，角動量守恆
因為：當時，平面館諧振子在中心勢場中運動，所以角動量守恆。
（2） 當時，角動量不守恆
因為此時勢能為：，已經不是中心勢場了，故角動量不守恆。
例2．已知乙個質點對軸和軸的角動量守恆，證明這個質點對軸的角動量也守恆。
證明：則：
令：則：
因此：令：
因為：所以：
同理：所以：
即：若為運動積分，由泊松定理，也是運動積分。
由例1可知，由泊松定理不一定得到新的運動積分，因為運動積分的總數是有限的，在許多情況下，由兩個運動積分所做出的泊松括號是乙個恒等式，或者等於乙個常數，這就得不出新的運動積分了。
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