高數求極限的方法
⒈利用函式極限的四則運算法則來求極限
定理1①：若極限和都存在，則函式，
當時也存在且 ①②
又若，則在時也存在，且有
利用極限的四則運算法則求極限，條件是每項或每個因子極限存在，一般所給的變數都不滿足這個條件，如、等情況，都不能直接用四則運算法則，必須要對變數進行變形，設法消去分子、分母中的零因子，在變形時，要熟練掌握飲因式分解、有理化運算等恒等變形。
例1：求
解：原式=
⒉用兩個重要的極限來求函式的極限
①利用來求極限
的擴充套件形為：
令，當或時，則有
或例2：
解：令t=.則sinx=sin(t)=sint, 且當時
故 例3：求
解：原式=
②利用來求極限
的另一種形式為.事實上，令所以
例4: 求的極限
解：原式=
。一般常用的方法是換元法和配指數法。
⒊利用等價無窮小量代換來求極限
所謂等價無窮小量即稱與是時的等價無窮小量，記作
定理2②：設函式在內有定義，
且有1 若則
2 若則
證明：①
②可類似證明，在此就不在詳細證明了！
由該定理就可利用等價無窮小量代換來求某些函式的極限
例5：求的極限
解：由而；
（）； （）
故有=注：由上例可以看出，欲利用此方法求函式的極限必須熟練掌握一些常用的
等價無窮小量，如：由於，故有又由於故有arctanx，(x).
另註：在利用等價無窮小代換求極限時，應該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。
如上式中，若因有tanx， 而推出則得到的結果是錯誤的。
⒋ 利迫斂性來求極限
定理3③：設f(x)= g(x)=a,且在某內有f(x) h(x) g(x),
則h(x)=a
例6：求x的極限
解： 1x<1-x. 且由迫斂性知
x=1 做此型別題目的關鍵在於找出大於已知函式的函式和小於已知函式的函式，並且所找出的兩個函式必須要收斂於同乙個極限。
⒌利用函式的連續性求極限
利用函式的連續性求極限包括：如函式在點連續，則及若
且f(u)在點a連續，則
例7：求的極限
解：由於及函式在處連續，故==。
⒍利用洛比達法則求函式的極限
在前面的敘述中，我們已經提到了利用等價無窮小量來求函式的極限，在此筆者敘述一種牽涉到無窮小（大）量的比較的求極限的方法。我們把兩個無窮小量或兩個無窮大量的比的極限統稱為不定式極限，分別記作型或型的不定式極限。現在我們將以導數為工具研究不定式極限，這個方法通常稱為洛比達法則。
下面就給出不定式極限的求法。
(1) 對於型不定式極限，可根據以下定理來求出函式的極限
定理4④：若函式f(x)和函式g(x)滿足：
①==0。
②在點的某空心鄰域內兩者都可導，且
③=a。（a可為實數，也可為或）
則==a。
注：此定理的證明可利用柯西中值定理，在此，筆者就不一一贅述了。
例8：求
解：容易檢驗
f(x)=1+與g(x)=在的鄰域裡滿足定理的條件①和②，又因== -
故由洛比達法則求得，
==在此類題目中，如果仍是型的不定式極限，只要有可能，我們可再次利用洛比達法則，即考察極限是否存在。當然，這是和在的某鄰域內必須滿足上述定理的條件。
例9：求
解：利用 （），則得
原式===
在利用洛比達法則求極限時，為使計算更加快捷減少運算中的諸多不便，可用適當的代換，如下例，
例10：求
解：這是型不定式極限，可直接運用洛比達法則求解，但是比較麻煩。如作適當的變換，計算上就會更方便些，故
令當時有，於是有
=(2)型不定式極限
若滿足如下定理的條件，即可由如下定理計算出其極限。
定理5⑤：若函式f(x)和函式g(x)滿足：
①==②在點的某空心鄰域內兩者都可導，且
③=a，（a可為實數，也可為或）。
則==a。
此定理可用柯西中值定理來證明，在此，筆者就不一一贅述了。
例11：求
解：由定理4得，
注1：若不存在，並不能說明不存在。
注2：不能對任何比式極限都按洛比達法則來求解。首先必須注意它是不是不定式極限；其次是觀察它是否滿足洛比達法則的其它條件。
下面這個簡單的極限
=1雖然是型的，但若不顧條件隨便使用洛比達法則：
=就會因右式的極限不存在而推出原式的極限不存在這個錯誤的結論。
(3)其它型別不定式極限
不定式極限還有，，，，等型別。這些型別經過簡單的變換，都可以化為型和型的不定式極限。
例12：求
解：這是乙個型的不定式極限，作恒等變形=，將它轉化為型的不定式極限，並用洛比達法則得到
===例13：求
解：這是乙個型的不定式極限，作恒等變形
=其指數部分的極限是型的不定式極限，可先求得==
從而得=
例14: 求（k為常數）
解：這是乙個型的不定式極限，按上例變形的方法，先求型的極限，
==然後得到 =（）
當=0時上面的結果仍成立。
例15: 求
解：這是乙個型的不定式極限，類似地，先求其對數的極限（型）
1於是有=
⒎利用泰勒公式求極限
由於泰勒公式的特殊形式，對於求解某些函式的極限有簡化求解過程的作用。
例16：求
解：本題可用洛比達法則來求解，但是運算過程比較繁瑣，在這裡可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子，
（取n=4）
cosx=1-++ ()
=1-+
cosx-=- ()
因而求得=
⒏利用微分中值定理和積分中值定理求極限
例17：求的極限
解： 由微分中值定理得，
（介於與之間）
原式=例18：求的極限
解： 由微分中值定理得，
（介於與之間）
原式=⒐利用定積分求極限
例19：求
解：把此極限式化為某個積分和的極限式，並轉化為計算計算定積分，為此作如下變形：
不難看出，其中的和式是函式發在區間上的乙個積分和。（這裡所取的是等分分割， （）， 所以
當然，也可把j看作在上的定積分，同樣有
總結以上方法是在高等數學裡求解極限的重要方法。在做求解極限的題目時，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細心分析仔細甄選，選擇出適當的方法。這樣不僅準確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。
這就要求學習者要吃透其精髓，明了其道理，體會出做題的竅門。達到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善於總結，日積月累，定會熟能生巧，在做題時得心應手。
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