第13章一次函式複習講義
知識點1：常量與變數
常量（或常數）:數值保持不變的量變數：可以取不同數值且變化的量
注：常量和變數是相對而言的，它由問題的條件確定。
如s＝vt中，若s一定時，則 s是常量，v、t是變數
若v一定時，則 v是常量，s、t是變數
若t一定時，則 t是常量，s、v是變數
例1 指出下列各式中的常量與變數 （參考《全解》p28）
（1） 圓的周長公式：c＝2πr（c是周長，r是半徑）；
（2） 勻速運動公式：s=vt（v表示速度，t表示時間，s表示路程）。
解：（1）常量：2和π ；變數：c和r
（2）常量：v ； 變數：s和t
知識點2：函式的概念及函式思想（難點）（一般地，設在乙個變化的過程中有兩個變數x、y,如果對於x在它允許取值範圍內的每乙個值，y都有唯一確定的值與它對應，那麼就說x是自變數，y是x的函式.
注：（1）函式體現的是乙個變化的過程：乙個變數的變化對另乙個變數的影響
（2）在變化的過程中有且只有兩個變數：自變數（一般在等號的右邊）和
因變數（一般在等號的左邊）
（3）函式的實質是兩個變數之間的對應關係：自變數x每取乙個值，
因變數有唯一確定的值與它對應
（4）含有乙個變數的代數式可以看作這個變數的函式
函式思想：就是用運動、變化的觀點來分析題中的數量關係，從而抽象、昇華為函式的模型，進而解決有關問題的思想．函式的實質是研究兩個變數之間的對應關係，靈活運用函式思想可以解決許多數學問題．
例1 判斷下列變數之間是不是存在函式關係並說明理由（參考《全解》p29與p32）
（1）長方形的寬一定時，其長與面積； （2）等腰三角形的底邊長與面積
（3）某人的身高與年齡 （4）彈簧的總長度y（cm）與所掛物體質量x（kg）
解：（1）存在函式關係。因為長每取乙個值時，面積都有唯一確定的值與它對應，所以面積是長的函式。
（2）不存在函式關係。因為底邊長每取乙個值時，面積不能有唯一確定的值與它對應，所以面積不是底邊長的函式。
（3）存在函式關係。因為某人任意乙個確定的年齡，
都有唯一確定的身高與之對應，所以身高是年齡的函式。
（4）存在函式關係。因為物體質量x（kg）每取乙個值時，
彈簧的總長度y（cm）都有唯一確定的值與它對應，
所以彈簧的總長度y（cm）是所掛物體質量x（kg）的函式。
例2 下列關於變數x、y的關係中，y是x的函式的是（①②）x是y的函式的（①③）
①3x－y＝5 ②y＝｜x
例3 如圖，下列各曲線中哪些能夠表示y是x的函式？並說明理由。（
解：（1）（2）兩圖的曲線能夠表示y是x的函式。理由：函式應滿足「對於x在它允許取值範圍內的每乙個值，y都有唯一確定的值與它對應。」.
注：只要畫一條與x軸垂直的直線，如果這條直線與曲線只有乙個交點，則該直線能表示函式，反之則不能表示函式。
知識點3：函式的自變數的取值範圍 （常考點）（參考《全解》p29與p35）
（1）若函式關係式是整式，則自變數的取值範圍是：全體實數。
（2）若函式關係式是分式，則自變數的取值範圍是：使分母不為0的實數。
（3）若函式關係式是二次根式時，則自變數的取值範圍是：使被開方數大於或等於0的實數。
（4）若自變數出現在0次冪的底數中時，則自變數的取值範圍是：使底數不為0的實數。
（5）若函式關係式表示實際問題時，則自變數的取值範圍還必須使實際問題有意義。
注：求自變數的取值範圍就是根據以上5點列出不等式（組），取這些「範圍」公共部分。
例1 求下列函式中自變數的取量範圍。（參考《全解》p30與p36）
解：（1）是整式，自變數x的取量範圍是全體實數
（2）因為x－2是分母，所以x－2≠0，解得x≠2
所以自變數x的取量範圍是x≠2實數
（3）因為為二次根式，所以被開方數x + 2≥0，解得x≥－2
所以自變數x的取量範圍是x≥－2實數.
(4) 因為x + 3 是零次冪的底數,所以x + 3≠0, 解得x≠－3
所以自變數x的取量範圍是x≠－3實數
(5)由題意知
所以自變數x的取量範圍是x≠－2且x≠1
注:請認真仔細體會(5)與(6)區別
例2 今有400本圖書借給學生閱讀,每人8本,求餘下的書數y(本)與學生數x之間的函式關係式,
並求自變數的x的取量範圍 （參考《全解》p37）
解: 函式關係式: y = 400－8x = －8x + 400 , 由y≥0得－8x + 400≥0 解得x≤50
又因為x≥0 且x為整數
所以自變數的x的取量範圍是 0≤x≤50且x為整數
例3 乙個游泳池內有水300 ,現開啟排水管以每小時25 的排水量排水.
(1)寫出游泳池內剩餘水量q與排水時間t h 間的函式關係式,並寫出自變數t的取值範圍.
(2)開始排水後的第5 h末,游泳池中還有多少水?
(3)當游泳池中還剩150時,已經排水多少小時? （參考《教材》p25）
解 (1) 函式關係式: q = 300－25t =－25t + 300
因為池中水全部排完需要 300÷25 = 12 (h) 所以自變數t的取值範圍是: 0≤t≤12
(2)把t = 5 代入q =－25t + 300得q = －25×5＋300＝175 ()
故第5 h末,游泳池中還有175水.
(3)把q＝150代入q =－25t + 300得 150 = －25t + 300解得t＝6 (h)
故還剩150時,已經排水6小時
注:例2運用列不等式(組)求自變數的取值範圍,例3運用列算式求自變數的取值範圍.
鞏固練習：《練》p10練習1、2 、3、 4、7、8、9、10、11、12、13
知識點4：列函式關係式(函式解析式) (重點、難點、常考點)
(1)解析法：用數學式子來表示兩個變數之間的函式關係的方法叫解析法.
其中的等式叫做函式的解析式. （參考《教材》p24）
(2)初中階段主要學習四種函式關係式
①常函式一般形式：y＝b (b為常數) 它的影象是一條平行於x軸的直線
（參考《教材》p55）
②一次函式一般形式：y = kx＋b ( k、b為常數,其中k≠0) 它的影象是一條直線
若b＝0,則為特殊的一次函式,即正比例函式y = kx
（參考《全解》p44知能點2及p32例1）
③二次函式一般形式：
它的影象是一條拋物線.當a＞0時,開口向上,當a＜0時,開口向下
（參考《教材》p27例4 與練習5及《全解》p30例5）
④反比例函式一般形式：
它的影象是一條雙曲線,當k＞0時,它在第
一、三象限, 當k＜0時,它在第
二、四象限.
(參考《課練》p9練習4 與p10練習8和自主選修園地)
(3)分段函式：在自變數的不同取值範圍內表示函式關係的解析式有不同的形式,這樣的函式稱為分段函式. （參考《教材》p43）
初二階段分段函式的一般組合: ①常函式與常函式 （參考《教材》p43練習）
常函式與一次函式 （參考《教材》p41練習）
③一次函式與一次函式 （參考《教材》p42例6）
(4)列函式關係式時一定要寫出自變數的取值範圍. （參考《全解》p37 例3）
(5)表示同乙個函式必須同時滿足兩個條件①函式解析式化簡後相同
②自變數的取值範圍相同
（參考《課練》p10 練習5）
(6) 列函式關係式的三種途徑：
①根據實際問題,找等量關係,列函式關係式. （參考《教材》p42例6）
②根據**, 列函式關係式 (參考《全解》p30例5與p32例1)
③根據圖象,列函式關係式.通常運用待定係數法 (參考《全解》p54例3與p55例4)
鞏固練習：《教材》p26練習2、3、4
《課練》p9練習4、5、6 p10練習5、8、9、10、11、12、13 自主選修園地
知識點5：描點法畫函式的圖象及數形結合思想 (重點)
(1)函式的圖象：一般地,對於乙個函式,如果把自變數x與函式y的每對對應值分別作為點的橫座標與縱座標,在座標平面內描出相應的點,這些點所組成的圖形,就叫做這個函式的圖象.用圖象來表示兩個變數間的函式關係的方法叫做圖象法.
（參考《教材》p26）
(2)由函式解析式畫函式圖象一般步驟：①列表 ②描點 ③連線（參考《教材》p27）
(3)四類函式圖象的特徵見知識點4 (2)
(4)注意點：①列表前一定要考慮自變數的取值範圍 ②描點的個數一般取5個到9個
③橫軸一格表示的單位長度可以與縱軸一格表示的單位長度不一樣.
④把自變數作為橫座標,把因變數作為縱座標
⑤一定要標註原點o及自變數與因變數的字母分別標在橫軸與縱軸上.對於實際問題,在橫軸與縱軸上還要標註單位.
⑥當自變數的取值範圍是全體實數時,左右兩邊要多畫一些.
(5) 數形結合思想是指將數與形結合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數形結合思想在解決與函式有關的問題時，能起到事半功倍的作用．
知識點6：函式的表示方法
(1)列表法：通過列出自變數的值與對應函式函式值的**來表示函式關係的方法叫列表法.
注: 第一行一般為自變數(橫座標),第二行一般為因變數(縱座標) （參考《教材》p23）
(2) 解析法參考知識點43) 圖象法參考知識點5
知識點7：函式值
(1) 函式值：在函式解析式中,以自變數的值代入求得的值叫做函式值.
(2) 注意點：①運算順序 ②應說明自變數取什麼值時的函式值.
一般用「當……時」格式,或「把……代入」格式.
（參考《教材》p24 例2）
知識點8：判斷某些點是否在某個函式圖象上(或某有序實數對是某方程的解)
參考《教材》p27 練習2 p43習題13.2習題1 p50 練習2）
注:判斷乙個點是否在某個函式圖象上,主要驗證這個點的橫、縱座標是否滿足直線對應的函式關係式.
一次函式知識點及典型例題複習
一次函式知識點 一次函式知識網路圖 考點一 變數 常量及函式定義 1 變數 在乙個變化過程中可以取不同數值的量。常量 在乙個變化過程中只能取同一數值的量。2 函式 一般的，在乙個變化過程中，如果有兩個變數x和y，並且對於x的每乙個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那麼我們就把x稱為自變數，把y稱...
一次函式知識點總結及典型試題
1 一次函式的定義 一般地，形如 是常數，且 的函式，叫做一次函式，其中x是自變數。當時，一次函式，又叫做正比例函式。一次函式的解析式的形式是，要判斷乙個函式是否是一次函式，就是判斷是否能化成以上形式 當，時，仍是一次函式 當，時，它不是一次函式 正比例函式是一次函式的特例，一次函式包括正比例函式 ...
一次函式知識點總結及典型試題
一次函式 2 正比例函式及性質 一般地，形如y kx k是常數，k 0 的函式叫做正比例函式，其中k叫做比例係數.注 正比例函式一般形式 y kx k不為零 k不為零 x指數為1 b取零 當k 0時，直線y kx經過 三 一象限，從左向右上公升，即隨x的增大y也增大 當k 0時，直線y kx經過 二...