數學建模實驗報告最優捕魚策略

最優捕魚策略

一.實驗目的：

1、了解與熟練掌握常係數線性差分方程的解法；

2、通過最優捕魚策略建模案例，使用matlab軟體認識與掌握差分方程模型在實際生活方面的重要作用。

二.實驗內容：（最優捕魚策略）

生態學表明，對可再生資源的開發策略應在事先可持續收穫的前提下追求最大經濟效益。考慮具有4個年齡魚：1齡魚，… ，4齡魚的某種魚。

該魚類在每年後4個月季節性集中產卵繁殖。而據規定，捕撈作業只允許在前8個月進行，每年投入的捕撈能力固定不變，單位時間捕撈量與個年齡魚群條數的比例稱為捕撈強度係數。使用只能捕撈3、4齡魚的13mm網眼的拉網，其兩個捕撈強度係數比為0.

42:1.漁業上稱這種方式為固定力量捕撈。

該魚群本身有如下資料：

1．各年齡組魚的自然死亡率為0.8（1/年），其平均質量分別為5.07,11.55,17.86,22.99（單位：g）；

2． 1齡魚和2齡魚不產卵，產卵期間，平均每條4齡魚產卵量為1.109ⅹ105（個），3齡魚為其一半；

3．卵孵化的成活率為1.22ⅹ1011/（1.22ⅹ1011 + n）（n為產卵總量）；

有如下問題需要解決：

1）分析如何實現可持續捕獲（即每年開始捕撈時各年齡組魚群不變），並在此前提下得到最高收穫量；

2）合同要求某漁業公司在5年合同期滿後魚群的生產能力不能受到太大的破壞，承包時各年齡組魚群數量為122,29.7,10.1,3.

29（ⅹ109條），在固定努力量的捕撈方式下，問該公司應採取怎樣的捕撈策略，才能使總收穫量最高。

三. 模型建立

假設a、魚群總量的增加雖然是離散的，但對大規模魚群而言，我們可以假設魚群總量的變化隨時間是連續的； b、齡魚到來年分別長一歲成為i + 1齡魚，i = 1，2，3； c、4齡魚在年末留存的數量佔全部數量的比例相對很小，可假設全部死亡。d、連續捕獲使各年齡組的魚群數量呈週期性變化，週期為1年，可以只考慮魚群數量在1年內的變化情況。（且可設xi（t）：

在t時刻i齡魚的條數，i = 1，2，3，4；n：每年的產卵量；k：4齡魚捕撈強度係數；2ai0：

每年初i齡魚的數量，i = 1，2，3，4；）

進而可建立模型如下：

max（total（k））=17.86

t∈[0，1]，x1（0）= n ×

t∈[0，1]，x2（0）= x1（1）

t∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1）

x3（+）

t∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）

t∈[2/3，1]，x4（-）= x4（+）

四. 模型求解（含經除錯後正確的源程式）

1. 先建立乙個的m檔案：

function y=buyu(x);

global a10 a20 a30 a40 total k;

syms k a10;

x1=dsolve('dx1=-0.8*x1','x1(0)=a10');

t=1;

a20=subs(x1);

x2=dsolve('dx2=-0.8*x2','x2(0)=a20');

t=1;

a30=subs(x2);

x31=dsolve('dx31=-(0.8+0.4*k)*x31','x31(0)=a30');

t=2/3;

a31=subs(x31);

x32=dsolve('dx32=-0.8*x32','x32(2/3)=a31');

t=1;

a40=subs(x32);

x41=dsolve('dx41=-(0.8+k)*x41','x41(0)=a40');

t=2/3;

a41=subs(x41);

x42=dsolve('dx42=-0.8*x42','x42(2/3)=a41');

t=2/3;

a31=subs(x31);

nn=1.109*10^5*(0.5*a31+a41);

equ=a10-nn*1.22*10^11/(1.22*10^11+nn);

s=solve(equ,a10);

a10=s(2,1);

syms t;

k=x;

t3=subs(subs(int(0.42*k*x31,t,0,2/3)));

t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));

total=17.86*t3+22.99*t4;

y=subs((-1)*total)

2. 再建立乙個的m檔案：

global a10 a20 a30 a40 total;

[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);

ezplot(total,0,25);

xlabel('');

ylabel('');

title('');

format long;

ktotal=-mtotal;

a10=eval(a10)

a20=eval(a20)

a30=eval(a30)

a40=eval(a40)

format short

clear

五．結果分析

1．魚總量與時間圖：

2. 可以看出捕撈強度對收穫量的影響：

實驗輸出資料：

y = -3.6757e+011

y =-3.9616e+011

y = -4.0483e+011

y =-4.0782e+011

y =-4.0802e+011

y =-4.0805e+011

y = 0

y =-4.0667e+011

k = 18.25976795085083

total =

4.080548655562244e+011

a10 =

1.195809275167686e+011

a20 =

5.373117428928620e+010

a30 =

2.414297288420686e+010

a40 =

8.330238542343275e+007

則k=18.25976795085083時，最高年收穫量為total=4.080548655562244×1011（克），此時每年年初1，2，3，4年齡組魚的數量分別為：

1.195809275167686×1011

5.373117428928620×1010

2.414297288420686×1010

8.330238542343275×107

六．實驗總結

本次實驗的目的是了解差分方程（遞推關係）的建立及求解，以及掌握用差分方程（遞推關係）來求解現實問題的方法。實驗中假設魚群總量的變化隨時間是連續的，從而利用微分方的知識建立最優捕魚策略問題的優化模型。通過實驗加深了對概念和方法的理解，了解了差分方程的程式解法。

學生簽名：

年月日七．教師評語及成績

教師簽名年月日

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