考綱要求
1、理解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題。
2、了解數列極限和函式極限的概念。
3、掌握極限的四則運算法則；會求某些數列與函式的極限。
4、了解函式連續的意義，了解閉區間上連續函式有最大值和最小值的性質。
2023年極限命題**：
1、極限的四則運算法則；會求某些數列與函式的極限。此類題大多都屬中、低檔題，以選擇、填空題的形式出現，每年必考。
2、了解閉區間上連續函式有最大值和最小值的性質．此類題大多以選擇題和填空題的形式出現，有時會出現有一定靈活性和綜合性較強的大題，屬中檔題。
3、 掌握以下思想方法
1 極限思想：在變化中求不變，在運動中求靜止的思想；
2 數形結合思想，如用導數的幾何意義及用導數求單調性、極值等。此類題大多以解答題的形式出現，這類題主要考查學生的綜合應用能力，分析問題和學生解決問題的能力，對運算能力要求較高。
例題講解
一、 數列的極限
1、數列極限的定義；2。幾個常用的極限：① c=c（c為常數）; ②=0;
③qn=0（|q|＜1）；3。數列極限的四則運算法則。
例1、設常數，展開式中的係數為，則_____。
解：，由由，知，
所以。 小結本題考查利用二項式定理求出關鍵數, 再求極限的能力。
例2、已知數列滿足a1=0,a2=1,an=, 求an
分析：由an=，求出an。
解：由an=, 得 2an+an－1=2an－1+an－2,∴是常數列。
∵2a2+a1=2,∴2an+an－1=2，∴an－=－（an－1－）。
∴是公比為－,首項為－的等比數列，
∴an－=－×（－）n－1。∴an=－×（－）n－1，∴ an=。
友情提示：
1、運用數列極限的運算法則求一些數列的極限時必須注意以下兩點：
（1）各數列的極限必須存在；（2）四則運算只限於有限個數列極限的運算。
2、熟練掌握如下幾個常用極限：
（1）c=c（c為常數）;（2）（）p=0（p＞0）;
（3）=（k∈n *,a、b、c、d∈r且c≠0）;（4）qn=0（|q|＜1）。
例3、 已知等比數列的首項為a1,公比為q,且有（－qn）=,則首項a1的取值範圍是
解： （－qn）=, ∴qn一定存在。∴0＜|q|＜1或q=1，
當q=1時，－1=,∴a1=3；當0＜|q|＜1時，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q，∴0＜|2a1－1|＜1，0＜a1＜1且a1≠，綜上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3。
小結: 在學習過程中應重視化歸思想、分類討論思想和極限思想的運用。
二、 函式的極限
1、函式極限的概念；2。極限的四則運算法則：如果f（x）=a, g（x）=b,那麼
[f（x）±g（x）]=a±b; [f（x）·g（x）]=a·b; =（b≠0）。
例4、的值等於
分析：本題主要考查利用分解因式同解變形求函式極限的能力。
解： 例5、若f （x）=在點x=0處連續，則f（0
分析：利用逆向思維球解。
解：∵f(x)在點x=0處連續，∴f(0)= f(x)= = =。
例6、設函式f(x)=ax2+bx+c是乙個偶函式,且f(x)=0, f(x)=－3, 求這一函式最大值。
分析：由函式f(x)=ax2+bx+c是乙個偶函式,利用f（－x）=f（x）構造方程,求出b的值。
解：∵f（x）=ax2+bx+c是一偶函式, ∴f（－x）=f（x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c，
∴b=0。∴f （x）=ax2+c。
又f(x)= ax2+c=a+c=0, f(x)= ax2+c=4a+c=－3,
∴a=－1,c=1。∴f(x)=－x2+1，∴f(x)max=f（0）=1，∴f(x)的最大值為1。
例7、 設 a為常數，若（－ax）=0,則a的值是
分析：先對括號內的的式子變形。
解：∵（－ax）= ==0,
∴1－a2=0，∴a=±1。但a=－1時，分母→0, ∴a=1。
三、函式的連續性及極限的應用
1、函式的連續性；2、如果f(x)是閉區間［a,b］上的連續函式，那麼f(x)在閉區間［a,b］上有最大值和最小值；3、若f（x）、g（x）都在點x0處連續,則f（x）±
g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）≠0）也在點x0處連續。若u（x）在點x0處連續,且f（u）在u0=u（x0）處連續,則復合函式f［u（x）］在點x0處也連續。
例8、f(x)=的不連續點為( )
a x=0b x=（k=0,±1,±2,…）
c x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…） d x=0和x=（k=0,±1,±2,…）
分析：由條件出發列方程求解。
解：由cos=0,得（k∈z）,∴x=；又x=0也不是連續點,故選d
例9、 設f(x)=當a為________時,函式f(x)是連續的。
解： f(x)=（a+x）=a, f(x)= ex=1,而f（0）=a,故當a=1時,
f(x)=f（0）, 即說明函式f(x)在x=0處連續,而在x≠0時, f(x)顯然連續,於是可判斷當a=1時, f(x)在（－∞,+∞）內是連續的。
小結：分段函式討論連續性,一定要討論在「分界點」的左、右極限,進而斷定連續性。
例10、拋物線y=b（）2、x軸及直線ab:x=a圍成了如圖（1）的陰影部分,ab與x軸交於點a,把線段oa分成n等份,作以為底的內接矩形如圖（2）,陰影部分的面積為s等於這些內接矩形面積之和當n→∞時的極限值,求s的值。
分析：先列出式子。
解：s=［b·（）2+b·（）2+b·（）2+…+b·（）2］2·
=·ab=·ab=ab。
例11、 一彈性小球自h0=5 m高處自由下落,當它與水平地面每碰撞一次後速度減少到碰前的,不計每次碰撞時間,則小球從開始下落到停止運動所經過的路程和時間分別是多少?
解：設小球第一次落地時速度為v0,則有v0==10（m/s）,那麼第二,第三,…,第n+1次落地速度分別為v1=v0,v2=（）2v0,…,vn=（）nv0,小球開始下落到第一次與地相碰經過的路程為h0=5 m,
小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經過的路程是l1=2×=10×（。
小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經過的路程為l2, 則l2=2×=10×（）4。
由數學歸納法可知,小球第n次到第n+1次與地面碰撞經過路程為ln=10×（）2n。
故從第一次到第n+1次所經過的路程為sn+1=h0+l1+l2+…+ln，則整個過程總路程為
s=sn+1=5+10×=5+10=20。3（m）,小球從開始下落到第一次與地面相碰經過時間t0==1（s）。
小球從第一次與地相碰到第二次與地相碰經過的時間t1=2×=2×,
同理可得tn=2×（）n,tn+1=t0+t1+t2+…+tn 則t=tn+1=1+2×=8（s）。
四、創新考題
例12、已知。
（ⅰ）當時，求數列的前n項和；（ⅱ）求。
[解：]（i）當，這時數列的前n項和
①式兩邊同乘以，得 ②
①式減去②式，得
若時， ，
若時，（ii）由（i），當時，，則
當時，此時，若，則。；
若則小結本題主要考查等差數列和等比數列的前n項和公式、求數列的前n項和的基本方法、求數列的極限等基礎知識，考查運算能力。
連線練習
1、 （ ）
a、－1 b、1 cd、
解：c 提示：
2、已知，下面結論正確的是（ ）
a 、在處連續 b、 c、 d、
解：d 提示:
3、四個函式:①f（x）=;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d。其中在x=0處連續的函式是把你認為正確的代號都填上）
解：②③④
4、下四個命題:
①f（x）=在［0,1］上連續;
②若f（x）是（a,b）內的連續函式,則f（x）在（a,b）內有最大值和最小值;
③。=4;
④若f（x）=則f（x）=0。
其中正確命題的序號是請把你認為正確命題的序號都填上）
解：③5
解：原式===0。
6、數列的首項為a1=1,且對任意n∈n*,an與an+1恰為方程x2－bnx+cn=0的兩根,其中
0＜|c|＜1,當（b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值範圍。
解：首先,由題意對任意n∈n*,an·an+1=cn恆成立，∴ ===c。
又a1·a2=a2=c，∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首項為1,公比為c的等比數列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首項為c,公比為c的等比數列。其次,由於對任意n∈n*,an+an+1=bn恆成立。
∴==c。又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, ∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首項為1+c,
公比為c的等比數列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首項為2c,公比為c的等比數列,
∴（b1+b2+b3+…+bn）=（b1+b3+b5+…）+（b2+b4+…）
=+≤3。
7、已知公比為的無窮等比數列各項的和為9，無窮等比數列各項的和為。(ⅰ)求數列的首項和公比；(ⅱ)對給定的,設是首項為，公差為的等差數列。求數列的前10項之和；(ⅲ)設為數列的第項，，求，並求正整數，使得存在且不等於零。
解： (ⅰ)依題意可知,
(ⅱ)由(ⅰ)知, ,所以數列的的首項為,公差, ,即數列的前10項之和為155。
(ⅲ) ===，
， =當m=2時， =－，當m>2時， =0，所以m=2。
中醫總複習 極限壓縮版
相互關係 1 陰陽對立制約。2 陰陽互根互用。3 陰陽消長平衡 4 陰陽相互轉化。陰陽學說在中醫學中的應用 1 用陰陽歸屬人體組織結構 2 用陰陽概括生理功能 3 用陰陽說明病理變化1陰陽偏勝2陰陽偏衰3陰陽互損4陰陽轉化 4 用陰陽指導疾病診斷1確定 原則a損其有餘b補其不足c陰病陽治，陽病陰治2...
用極限定義證明極限
例1 用數列極限定義證明 上面的系列式子要想成立，需要第乙個等號和不等號 1 2 3 均成立方可。第乙個等號成立的條件是n 2 不等號 1 成立的條件是22 不等號 4 成立的條件是，故取n max。這樣當n n時，有n 7，因為n 7,所以等號第乙個等號 不等式 1 2 3 能成立 因為，所以不等...
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