2.1.2 求曲線的方程
雙基達標限時20分鐘
1．已知動點p到點(1，－2)的距離為3，則動點p的軌跡方程是
a．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
b．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
c．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
d．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
解析設p(x，y)，由題設得＝3，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
答案 b
2．已知等腰三角形abc底邊兩端點是a(－，0)，b(，0)，頂點c的軌跡是
a．一條直線b．一條直線去掉一點
c．乙個點d．兩個點
解析注意當點c與a、b共線時，不符合題意，應去掉．
答案 b
3．已知兩定點a(－2，0)，b(1，0)，如果動點p滿足|pa|＝2|pb|，則點p的軌跡所圍成的圖形的面積等於
ab．4π[**:z|xx|
c．8d．9π
解析設p(x，y)，由|pa|＝2|pb|，得＝2，整理得x2－4x
＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以點p的軌跡是以(2，0)為圓心，以2為半徑的圓，故s＝
4π.答案 b
4．以(5，0)和(0，5)為端點的線段的方程是________．
解析由截距式可得直線為＋＝1線段方程為x＋y－5＝0(0≤x≤5)．
答案 x＋y－5＝0(0≤x≤5)
5．已知a(－1，0)，b(2，4)，△abc的面積為10，則動點c的軌跡方程是________．
解析由兩點式，得直線ab的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，線段ab的長度|ab|
＝＝5.設c的座標為(x，y)，則×5×＝10，即4x－3y－16
＝0或4x－3y＋24＝0.
答案 4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
6．在平面直角座標系xoy中，點b與點a(－1，1)關於原點o對稱，p是動點，且直線ap與bp的斜率之積等於－.求動點p的軌跡方程．
解由點b與點a(－1，1)關於原點對稱，得點b的座標為(1，－1)．設點p的座標為(x，y)，由題意得·＝－，化簡得x2＋3y2＝4，且x≠±1.故動點p的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠±1)．[**:學#科#網z#x#x#k]
綜合提高（限時25分鐘）[**:學&科&網z&x&x&k]
7．已知a(1，0)，b(－1，0)，動點m滿足|ma|－|mb|＝2，則點m的軌跡方程是
a．y＝0(－1≤x≤1b．y＝0(x≥1)
c．y＝0(x≤－1d．y＝0(|x|≥1)
解析由題意可知，|ab|＝2，則點m的軌跡方程為射線y＝0(x≤－1)．
答案 c
8．在△abc中，若b、c的座標分別是(－2，0)、(2，0)，中線ad的長度是3，則a點的軌跡方程是
a．x2＋y2＝3b．x2＋y2＝4
c．x2＋y2＝9(y≠0d．x2＋y2＝9(x≠0)
解析易知bc中點d即為原點o，所以|oa|＝3，所以點a的軌跡是以原點為圓心，以
3為半徑的圓，又因△abc中，a、b、c三點不共線，所以y≠0.所以選c.
答案 c
9．到直線4x＋3y－5＝0的距離為1的點的軌跡方程為________．
解析可設動點座標為(x，y)，則＝1，
即|4x＋3y－5|＝5.
∴所求軌跡為4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.
答案 4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
10．已知點a(0，－1)，當點b在曲線y＝2x2＋1上運動時，線段ab的中點m的軌跡方程是________．
解析設點b(x0，y0)，則y0＝2x02＋1.①
設線段ab中點為m(x，y)，
則x＝，y＝.
即x0＝2x，y0＝2y＋1，代入①式，得2y＋1＝2·(2x)2＋1.
即y＝4x2為線段ab中點的軌跡方程．
答案 y＝4x2
11．已知b(－3，0)、c(3，0)，△abc中bc邊上的高的長為3，求△abc的垂心h的軌跡方程．
解設h的座標為(x，y)，則a點的座標為(x，3)或(x，－3)，當a的座標為(x，3)時，
∵ab⊥ch，[**:z_xx_
∴kab·kch＝－1，
即·＝－1(x≠±3)．
化簡，整理，得y＝－x2＋3(x≠±3)．
x＝±3，y＝0時也適合此方程，所以方程y＝－x2＋3為所求軌跡方程．當a的座標為(x，－3)時，同理可得h的軌跡方程為y＝x2－3.
總之，△abc的垂心h的軌跡方程是y＝－x2＋3或y＝x2－3.
12．(創新拓展)已知兩點m(－1，0)，n(1，0)，動點p使·，·，·成公差大於零的等差數列，求動點p的軌跡方程．
解設動點p(x，y)，
由已知m(－1，0)，n(1，0)．
∴＝(x＋1，y)，＝(2，0)，
∴＝(－2，0)，
＝(－x－1，－y)，
＝(1－x，－y)．
∴＝(x－1，y)．[**:學.科.網]
∴·＝2(x＋1)，
·＝(－x－1)(1－x)＋(－y)2＝x2＋y2－1.
·＝－2(x－1)．
依題意有：
化簡得：x2＋y2＝3且x<0.
所以動點p的軌跡方程是
x2＋y2＝3(x<0)．
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