論述向量在中學數學中的應用
1.向量巧解空間幾何中的問題
1.1向量巧解角的問題
1.1.1求異面直線a與b所成角θ
求異面直線的夾角的傳統解法是把空間角轉化為平面角並用餘弦定理來解，向量法在教材中的引入，使得在以往傳統幾何法的基礎上又多了以向量為工具的向量解法。應掌握如下公式：
向量和所成的角記為<,>，若=（x,y,z）, =(x,y,z),則
cos<，>===a，
所以直線ab和cd所成的角為arccos.
特別的，abcd·=0=0。
例1：如圖1,三稜柱 aob-a0b中，平面 obbo⊥平面 aob,∠0ob＝60°，∠aob=90°且 ob=oo=2，oa=,求：(1)異面直線 ab與ao所成角的大小；(2)略圖3.
1.1分析 1：由條件可得 oa⊥0b，oa⊥00，再結合題幹可知共點於 0的三條線段 oa、0b、00的長度已知,且兩兩夾角已知，故可選擇以｛,,}為基底來解決異面直線ab與a0所成角的大小，關鍵是把所求異面直線上的兩個方向向量、都表示成基向量的形式。
解:∵平面obbo⊥平面a0b，0a平面a0b，平面obbo∩平面 a0b＝ob，且 oa⊥0b，
∴oa⊥平面obbo∴oa⊥00，即∠aob＝90°，∠aoo＝90°，因此,選擇一組基向量｛,,}，則=-，=--，
∴||===，
同理||==,又
設異面直線ab與ao所成角為θ，則，
所以θ=arccos.
1.1.2求線面所成角θ
用向量求線面所成角的公式如下：
如圖2，若為平面的一條法向量，直線ab與平面所成角為，則sin=.
圖3.1.2.1
例2：如圖3，正方體abcd-abcd中，e是cc的中點，（1）求be與平面bbd所成角的余弦值；（2）求二面角b-be-d的余弦值。
解：如圖，以d為座標原點建立空間直角座標系d-xyz，則設正方體的稜長為2，則（1）因為b（2,2,0），b(2,2,2),e（0,2,1）,所以=（-2，-2，0），=(0,0,2),=（-2，0，1），設平面bbd的乙個法向量是=（x,y,z）,則由,得，所以，令y=1，則有=（-1，1，0），所以cos<,>==，所以sin<,>=，
即be與平面bbd所成角的余弦值為.
（2）略.
1.1.3求二面角的大小
用向量法求二面角的大小，一般先找出兩平面的法向量，則兩個法向量所成的角或它的補角即為二面角的平面角。公式如下：
如圖，若平面、的法向量分別為、,則
cos<，>==a，
結合圖形判斷，若二面角為銳角，則
=arccos；
若為鈍角，則
=- arccos.
例3：上題第（2）問
解：令、分別為平面bde與平面bbe的法向量，則易知
=（1，1，-2），=（-1，0，0），
所以cos<，>=，
所以二面角b-be-d的余弦值.
1.2向量巧解距離問題
1.2.1求點到平面的距離
所謂法向量就是和平面垂直的向量，通過它和平面上任意兩不共線向量的乘積為0，可確定法向量．設 p為平面a外一點，則點p到面a的斜線段向量在平面法向量方向的射影，即為點p到平面a的距離．而線到面的距離可通過線上取一點，轉化為點麵距求之．其公式為,其中為單位法向量，po面於點o，a∈，為面的斜線段向量．注意：只有單位法向量才不會改變攝影的長度。
例4 ：如圖，在正方體中，稜長為1，e、f分別為ab，cd的中點，求點b到平面aecf的距離。
簡解：a（1，0，0），b（1，1，0），e（1，，1），f（0，，0），=（0，，1），=（-1，，1）。設平面aecf的法向量為=（x,y,z）,則，，由得令y=2，得=（1，2，1），則=（，，-）,因為=（0，，1），故所求距離d==
1.2.2求兩異面直線的距離
我們先來看看空間向量在軸上的投影。設向量，那麼它在軸上的投影為
prju=，式中prju表示向量在軸上的投影．
從圖7可以看出，為了作出在軸上的投影，可以過點a、b分別作與軸垂直的兩個平面 、 ，那麼點a、b在軸上的射影分別為a』、b』，且點a』、b』必定在平面 、 上，
顯然，就是在軸上的投影．從另一方面看，線段a』b』就是異面直線a』a和b』b(如果它們不平行的話)的公垂線段，也就是兩異面直線間的距離．所以，異面直線上任意兩點所連線的向量在公垂線方向上投影的絕對值就是兩異面直線間的距離．
因為=,所以prju=，於是有d= prju．式中d表示兩異面直線間的距離。由於//，它們之間的距離處處相等，所以軸的選取不一定要是公垂線，而只要同時與兩異面直線垂直，也就是說只要與公垂線方向向量共線即可。
例5：若上題中的已知條件不變，求異面直線ec與 cb的距離．
簡解：=(-1,,0),=(1,0,1),=(0, ,0),設與的法向量為=(x,y,z),由·=0且·=0得=（1，2，-1），故所求距離為=.
1.3向量巧解平行與垂直的問題
1.3.1平行
無論是證明線線平行，還是線面平行，都對空間圖形抽象思維有較高要求，用向量法的話，則顯得簡單、易於上手。若要證明ab和cd兩條直線平行，=（x,y,z）, =(x,y,z),則只要證實數===；若要證mn與面abc平行，則只要證明能用、、中任兩個向量進行線性表示就可以了。
例6：如圖8，p是正方形abcd所在平面外一點，pa=pb=pc=pd=ab=m，若m,n分別在pa、bd上，且==
求證：mn//平面pbc，
求證：mnad.
分析：（1）根據共面向量定理，只需證明可以表示為、、中任兩個向量的線性組合，為此，必須選基底，再利用基底和三角形法則，找到上述向量之間的線性關係。取基底，設=，=，=，則=,=-,=-,
∴=+=+-2,
∴=+=+
又=,∴與、共面,
又平面pbc,
∴mn//平面pbc.（2）略.
1.3.2垂直
要證ab和cd互相垂直，只要證·=0即可；而涉及到線面垂直的論證問題時，也可構造向量，並運用兩向量垂直的充要條件去判斷線線垂直，從而使線面垂直問題或證。
例7：上題第（2）問
解：只需證.
==-,
0,∴，mnad.
2. 向量巧解平面解析幾何中的問題
2.1平面幾何
向量法與綜合法、解析法，被認為是研究初等幾何的三種主要方法，向量法在處理有關三角形「三線」(中線、角平分線、高)與「四心」(重心、垂心、內心、外心)等問題時有獨到之處，另外 ，用向量知識處理平面幾何問題時，可以避免去考慮幾何中較複雜的關係。
例8： d是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點 p滿足 op=oa+( + ),[0,+],則p的軌跡一定通過△abc的( ).
(a)外心 (b)內心 (c)重心 (d)垂心
解：設 =ab, =ac ，則ab和ac分別為ab和ac上的單位向量，所以+ 的方向為 bac的角平分線ad的方向.
又 ∈[0，+∞],
所以( + )的方向與( + )的方向相同，
而op=oa+( + ),
所以，點 p在ad上移動，p的軌跡通過△abc的內心，故答案選(b).
點評：本題將向量加法的幾何意義及軌跡問題有機地結合在一起，通過向量加法的幾何意義來求解平面幾何的問題。由於向量具有幾何形式，利用向量的運算去解決平面幾何問題，可以少引或不引輔助線(如證三角形三條高線交於一點)，使解題的思路更加清晰、簡捷，解法順理成章。
2.2解析幾何
由於向量可以通過座標來表示，因此平面向量與解析幾何之間有著天然的聯絡。如：平面直角座標系內的兩點間距離公式，對應於平面內相應向量的長度公式；分一條線段成定比的分點的座標 ，可根據相應的兩個向量的座標直接求得；「兩條直線平行的充要條件是其斜率相等」與「兩個向量平行的充要條件是其對應座標成比例」的說法沒有本質的不同。
因此 ，在有關解析幾何的題目中，如果涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題時，常可考慮用平面向量來處理，將幾何問題座標化、符號化、數量化，利用向量運算的幾何意義，省去解析幾何中一些繁雜的運算，可以收到事半功倍的效果。
例9：橢圓的焦點為f、f，點 p為橢圓上的動點 ，當fpf為鈍角時，點p橫座標的取值範圍是（ ）.
解 ：f (-，0)，f (，0)，設 p(x，y)，則 =(-- x，- y)， =(- x，- y)，
因為fpf為鈍角，所以，即(-- x)(- x)+ y<0，
即9 x +9 y<45，
又因為即9 y=36-4x，
於是可得5x<9，所以.
點評：在解析幾何中，一方面存在著度量、角度、平行、垂直等問題，這為向量的應用提供了廣闊的空間；另一方面解析幾何問題是用代數方法來處理的，這又符合了向量的雙重身份，給向量的應用創造了良好的環境。
3. 向量巧解複數的問題
一方面，由於複數可以通過向量表示，另一方面，由於向量的座標表示法與複數的代數形式在表達形式上非常相似，因此，向量與複數也有緊密的聯絡，在解題中，運用向量來解決複數問題也是常見的。
例10：設x,y∈r，，為直角座標平面內x，y軸正方向上的單位向量，若向量=x+(y+2),=x+(y-2),且=8,
(i)求點 m(x，y)的軌跡 c的方程；
(ii)過點(o，3)作直線l與曲線c交於a、b兩點，設=+是否存在這樣的直線l，使得四邊形oapb是矩形?
若存在，求出直線 l的方程；若不存在，試說明理由。
略解：(i)由題意 ，得=8，故點 m(x,y)到兩個定點f(0,-2)、f（0，2）的矩離之和為 8，所以軌跡c為以f，f為焦點的橢圓，其方程為。
(ii)因為l過 y軸上的點(o，3)，若直線l是y軸，則 a、b兩點是橢圓的頂點。
又因為=+=，所以 p與 0重合，與四邊形 oapb是矩形矛盾，
因而，直線l的斜率存在，設l的方程為y=kx +3，a(x,y)，b(,y).
由消y得：（4+3k）x+18kx-21=0 ,
此時，△=(18k)-4(4+3k)(-21)>0恆成立，且x+x=,xx=-,又因為=+，所以四邊形oapb是平行四邊形.
若存在直線l，使得四邊形 oapb是矩形，則 oaob，即=,
因為=((x,y))，=((,y)，所以= xx+yy=0，
即(1+k)xx+3k(x+x)+9=0，即+9=0，
即k =，得 k=.
所以存在直線l：y=+3，使得四邊形oapb是矩形.
點評：本題的第 1小題，其實質是將複數問題「已知複數z=-2i，z=2i，點 z所對應的複數z滿足+=8， 求點z的軌跡方程」以向量為背景給出，體現了複數與向量之間的聯絡。
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