摘要：高三教學複習不應只是整個高中數學知識點的羅列和簡單的強化訓練，更應是對學生已有的知識結構做系統整理和昇華；不是公式的簡單模仿強化應用，而是對知識的內涵和本質再認識以及構建新的數學知識體系．本文主要針對高三數學重視數學知識生成過程的教學的必要性和一些做法進行闡述．
關鍵詞：知識生成過程思維過程高三數學
不久前聽了高三一位數學老師的常態課，課題是《等比數列及其前項和》，這是一節複習課．教師首先給學生5分鐘左右的時間自主學習，梳理本節課所涉及的知識點：等比數列的定義、等比中項、等比數列的通項公式以及通項公式的推廣形式、等比數列的前項和公式、等比數列的性質等等．接著教師提醒學生運用公式或性質時應注意的一些事項，接下來的時間是完成印發的學案上的題目，然後教師點評．應該說學案上的題目有梯度，容量和難度都適中，選題也很有代表性；學生練習的時間很充分，也有學生的展示，充分發揮了學生的主體作用，教師點評也很到位．但一節課聽下來總覺得缺少了些東西——再現知識點的形成和生長過程．有不少的老師認為講解數學概念、公式、定理等的形成過程是高
一、高二學習新課時做的工作，高三複習時間緊、任務重，要把重點放在讓學生形成知識系統和訓練學生運用知識解題的能力上．其實不然，高三教學複習不應只是整個高中數學知識點的羅列和簡單的強化訓練，更應是再現概念、定理、公式等知識的生成過程，對學生已有的知識結構做系統整理和昇華；不是公式的簡單模仿強化應用，而是對知識的內涵和本質再認識以及構建新的數學知識體系．本文主要針對高三數學重視數學知識生成過程的教學的必要性和一些做法進行闡述．
一．高三數學要重視數學知識生成過程教學的必要性
《普通高中數學課程標準》指出「高中數學課程應該返樸歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質．數學過程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主**活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易於接受的教育形態」．華羅庚教授曾說過：不要只給學生看做好了的飯，更要讓學生看做飯的過程，數學教學要設法使課本知識「活」起來，課堂教學不是堆砌知識的積木，而是用一系列的思維活動把知識貫穿起來，使學生真正領會到數學知識深化發展的動態過程．
在新課程理念的指導下的，近幾年各地高考新題不斷出現．如2023年四川高考題是一道關於教材中公式的證明：①證明兩角和的余弦公式：；②由推導出兩角和的正弦公式：:
．再如2023年陝西卷文理科第18題敘述並證明餘弦定理．在數學學習過程中，對於餘弦定理和兩角和的正、余弦公式，教師和學生都能熟練運用，但在高三複習教學中恐怕很少有教師要求學生回顧其證明過程，再次闡述證明過程所採用的數學思想方法．所以這兩道試題的出現，給當前的一些高考複習方式和方法當頭一棒的感覺，與此同時，高中數學教師尤其是高三教師也在反思：高三的教學複習應該如何進行？怎麼做才能更好地對學生已有知識體系進行再構建和昇華？
這兩道試題的出現再一次向高三的教師提醒：回歸教材，重視基礎，注重通性通法，幫助學生構建巨集觀知識體系，突出思想方法，注意思維能力的培養．
二．重視數學知識生成過程的一些做法
1．再現數學概念、結論形成的過程
高三數學複習課肯定不能當成新課來上．高三複習要求學生理清高中數學的知識主線，透徹地掌握知識結構，熟記數學概念，公理，定理，性質，法則，公式，使之爛熟於心．所以教學時要再現核心知識、核心概念的形成過程，特別是提煉在這一過程中所產生的數學思想方法．數學思想方法孕育於知識的發生發展過程中．「思想」就是認識，它是概念的靈魂，是「數學素養」的源泉，是從技能到能力的橋梁．缺乏數學思想方法這根紐帶，概念間的關係無法認識，概念間的聯絡難以建立，對概念的理解難以到位．「方法」就是措施，把握了「核心方法」就把握了一類問題的處理方法．缺少數學思想方法就難以構建基礎網路系理清教材知識脈絡，將數學各知識點串成線，聯成網．在高三教學過程中，要認真用好教材，教材上蘊涵著很多解題思想和方法，以《數比數列及其前項和》為例，課堂教學中可以這樣來進行：首先引入等比數列的定義，在定義的基礎上再現等比數列通項公式以及等比數列的前項和的推導過程，可以加深學生對「累乘法」求通項公式以及「錯位相減法」求前項和這兩種方法的理解和應用；通過推導等比數列的性質，讓學生理解等比數列的性質是建立在等比數列的定義和公式的基礎上的一種簡化和提公升，有關等比數列的題型，即使不會用性質解決也可以回歸到用通性通法——基本量法解決．以此同時，引導學生與等差數列的定義、通項公式、前項和公示、性質進行模擬，在此基礎上提煉出另外乙個更具高度的思想：對立與統一思想：
差與和、比（商）與積是對立的關係。這種思想在等差數列與等比數列的相關知識點中達到了高度的和諧統一.在教學過程中要重視概念形成的過程，理解定義、定理、公式的來龍去脈.
如果過於強調各個知識點之間的相對獨立性，過於強調對已有結論的記憶，教學前後脫節，不能將教科書中的有關內容視為乙個發展的過程和有機的整體，抓不住知識之間的內在聯絡，導致相關知識之間相互割裂，就會影響學生思維過程和思維能力的培養和訓練，展示給學生的，只是不同觀點和結論的碰撞、疊加，而沒有多種思想和方法的交鋒、交融，學生也就很難舉一反
三、融會貫通了.
2．例題設計重視知識發生的思維過程
數學教學不僅是傳授現成得數學結論，數學教學是思維教學活動的教學．教學的價值不僅侷限於幫助學生獲得和記住書本中的知識，要有助於思維的訓練與認識能力的提高．這就得研究知識發生的思維過程，即是怎樣提出問題、想出問題和解決問題的，又是怎樣把獲得的知識引申、發展和應用的，傳統的教學方法往往只注重結論的傳授，忽視了知識的獲得過程，往往偏重於邏輯思維的推理論證能力的訓練和整理性思維，忽視了學生形象思維的探索能力的訓練和歸納性非論證的思維．要改變這種狀況就要求我們增加思維教學的透明度，準確深刻、鮮明生動地再現數學知識的發生過程．例題教學是高三複習的重要組成部分，高三複習階段很多問題都是綜合性問題,直接講解往往讓學生難以理解,以學生已有的認知水平為基礎,將問題設計成層層深入的例題,形成乙個完整的思維鏈,這樣做突破了難點,有利於激發學生學習的興趣和求知慾望，使學生認識到知識發生過程中所反映的重要的思想方法，並為知識的應用打下厚實的思想方法的基礎，提高學生學習能力和數學素質．以下是本人在高三教學中，為了突破難點進行的兩個例項：
例項1：求形如的函式值域的方法主要有兩種：分離常數法和反函式法．由於反函式在新課程教材中不作要求，所以只要求學生會用分離常數法求解．根據以往的教學實踐知很多學生知道求這種型別的值域，但並不理解為什麼要這樣做．有不少教師並沒有給學生解析原因，只叫學生記住就行了．為了讓學生理解函式與反比例函式的關係和分離常數法的本質，我的例題設計如下：
例1：求下列函式的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
問題1：通過（1）—（5）的求解，你能得到形如（）型的函式的值域的求法嗎？
問題2：你能說說（1）—（5）這五個函式的影象特徵嗎？
問題3：函式（）與反比例函式的有怎樣的關係？
問題4：如何求函式（）的值域？
例項2：三個「二次」(一元二次方程、二次函式、一元二次不等式)是高中階段要求重點掌握的知識，它們體現了方程、函式與不等式的聯絡和轉化，函式與方程思想、轉化與化歸思想均可以通過三個「二次」來實現．但學生對含引數的二次函式的最值問題的理解和應用程度不夠．為了讓學生逐步理解和掌握含引數的二次函式的最值問題的思路和方法，可以設計如下例題，讓學生在**問題的過程中逐步領會：
例2：（1）求函式在區間[-2，1]上的最大值和最小值．
（2）求函式在區間[0，2]上的最值；
（3）求函式在區間[0，]上的最值；
（4）已知函式在區間[0，2]上的最小值為1，求的值；
（5）已知函式在區間[0，2]上的最大值為1，求的值；
（6）已知函式在區間[-4，1]上的最小值為1，求的值．
（1）（2）（3）是相對簡單的一組題，分別是「定軸定區間」、「動軸定區間」和「定軸動區間」問題．待多數學生有了思考結果後，組織學生討論交流，歸納出求這類題目的關鍵是要判斷出區間內函式值的變化情況，即要研究二次函式在所給區間內的單調性，其實就是判斷對稱軸與所給區間的相對位置來區分，所以問題求解的本源在於探明對稱軸是在區間內還是在區間外，這點認識清楚了，就很自然地引出了分類．當學生能成功解決（1）（2）（3）題後，再解決（4（5）（6）題就容易多了．
3．暴露學生解題思維過程
高三解題教學的乙個重要任務是培養學生運用所學知識解決問題的能力．暴露學生解題思維過程是檢驗學生掌握知識程度的有效手段．在解題教學中常常出現這樣的情況，平時學生在課上看到的是一帆風順的樣子，老師講解的每個知識點，每道例題都聽懂了，但是親自動手解起來卻很少馬到成功．究其原因，主要是因為教師上課「獨佔」課堂，比如教師在出示題目後，未等學生進行思考或學生的思考剛剛「起步」，便急於提示或抽取題幹的關鍵條件，或給出本題的思路或方向，使題目便以快速順利的解決．題目解決後，教師以自己的總結結束本題，匆匆轉入下題的講解．教師習慣於這樣的過程，在較有限的時間內可以涉及到更多的題目，節約了時間又避免了偏差．而這樣的講題過程，學生的思維受到較大的限制．為了克服這些不足，讓學生展示自己的解題過程並講出自己的思維過程是非常有效的方式．我在高三解題教學過程中，經常讓學生上黑板書寫解題過程並講解解題思路．然後針對學生講解過程中暴露出來的漏洞和缺陷補充或糾正．讓學生講題，親身經歷分析問題、解決問題、反思總結的全過程，這樣做的最大好處是充分發揮了學生的主體地位，給了他們展示自己的舞台，啟用了思想的火花，在師生的互動甚至爭論中，加深了對問題的理解，培養了正確的思維，提高了自我學習的能力和水平．由此也收到了較好的教學效果．例如，在複習《離散型隨機變數的均值》時，我出示了如下題目：
例3：甲同學參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題．規定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，求甲答對試題數的分布列及數學期望．
給學生5分鐘的思考和做題時間，然後派出兩位基礎處於中等水平的學生上黑板書寫解答過程，結果他們做出的答案一樣，但解答過程迥然不同，板書如下：
生1：的可能取值為0，1，2，3．
；；所以的分布列如下：
所以生2：的可能取值為0，1，2，3．
；；所以的分布列如下：
所以兩種解答方法都正確嗎？我首先讓學生1和學生2分別闡述了他們的解題思路．同學們結合解答過程，發現兩位同學的解答過程「滴水不漏」，找不出一絲漏洞，所以全班同學達成了一致意見：一題多解！
當我告訴他們這當中只有一種方法是正確的時候，整個班分成了對立的兩派：支援生1的和支援生2的，兩個「派別」進行了激烈的爭論．當學生爭論不出結果時，就是教師應該介入時．這時引導學生分清兩種概率模型的特點和應用條件、範圍的區別．尤其是超幾何分布與二項分布的區別：在產品抽樣檢驗中，如果採用不放回抽樣，則次品數服從超幾何分布；如果採用有放回抽樣，則次品數服從二項分布．在實際問題中，區分古典概型與獨立重複試驗的關鍵是「放回」還是「不放回」．通過這樣的教學流程，學生對超幾何分布與二項分布有了進一步的認識，遇到類似的題型再也不會出差錯．學生在學習中的謬誤，有時比較隱蔽，潛藏於深層次中，如果不充分暴露思維過程，就治不了本．教師在救失時，不要過早的下結論，而應該從暴露學生失誤思維入手，啟發學生自悟、自救．面對學生的失誤不要過早的點明，而應在暴露學生思維失誤的過程中，讓學生自我發現，在教師的正確思維的引導下自我糾正．
總之，新課標要求數學教學更加強調概念的生成與發展，要求教師在教學中要盡可能地揭示數學的本質，呈現數學知識的生成、發展過程，關注學生思維能力的發展過程．注重學生獲得知識的過程和思維能力的提高過程．數學知識的生成過程即是數學發展的歷程，其中蘊涵著大量的數學思想方法，對數學學習者來說：思想方法才是數學美的所在，體會了其中的美，才能深刻理解數學的本質，讓高三數學的教學不再是枯燥的反覆演練而是具有創造性的**活動．
數學教學應重視知識的形成過程
近幾年參加區上數學調研改卷 評卷工作時，我發現乙個現象 許多考生在解題過程中只注重給出結論而忽略了得到結論的過程。結果直接導致沒有完成題目要求，使得該得的分沒有得到。中學數學教學大綱明確指出 數學教學不僅要教給學生數學知識，而且還要揭示獲取知識的思維過程。這就要求我們數學教學應重視知識形成過程的教學...
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第8模組第9節 一 選擇題 1 若直線y a與橢圓 1恒有兩個不同的交點，則a的取值範圍是 ab 3,3 c 2,2d 4,4 解析 如右圖，作出圖形，即可求出結果 答案 c 2 設拋物線y2 8x的準線與x軸交於點q，若過點q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值範圍是 ab 2,2 c ...
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