第11模組第6節
[知能演練]
一、選擇題
1．如右圖，向圓內投鏢，如果每次都投入圓內，那麼投中正方形區域的概率為
( )
ab.cd.
解析：投中正方形區域的概率為正方形的面積與圓的面積之比，設正方形的邊長為1，則其面積為1，圓的半徑為，面積為π()2＝，故投中正方形區域的概率為＝，故選a.
答案：a
2．在500 ml的水中有乙個細菌，現從中隨機取出2 ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發現這個細菌的概率是
( )
a．0.004b．0.002
c．0.04d．0.02
解析：由於取水樣的隨機性，所求事件a「在取出的2 ml水樣中有細菌」的概率等於水樣的體積與總體積之比，即p＝＝0.004.故選a.
答案：a
3．已知ω＝，a＝，若向區域ω內隨機投一點p，則點p落在區域a內的概率為
( )
ab.cd.
解析：由於點p落在區域ω內的位置的隨機性，所求事件a的概率等於區域a的面積與區域ω的面積之比，即p＝＝.故選d.
答案：d
4．如下圖所示，abcd是正方形，e、f、g、h分別是ad、bc、ab、cd的中點，三隻麻雀分別落在這三個正方形木板上休息，它們落在所在木板的任何地方是等可能的，麻雀落在甲、乙、丙三塊木板中陰影部分的概率分別是p1、p2、p3，則
( )
a．p1c．p1＝p2＝p3d．p1>p2＝p3
解析：因為每乙個圖形中陰影部分的面積均是正方形面積的一半，所以麻雀落在甲、乙、丙三塊木板中陰影部分的概率都是.故選c.
答案：c
二、填空題
5．乙個路口的紅綠燈，紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為40秒，當你到達路口時，看見下列三種情況的概率各是
(1)紅燈；(2)黃燈；(3)不是紅燈．
解析：在75秒內，每一時刻到達路口是等可能的，屬於幾何概型．
(1)p＝＝＝；
(2)p＝＝＝；
(3)p＝＝＝＝.
故填、、.
答案：6．已知函式f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是從區間[0,4]內任取的乙個數，則f(1)>0成立的概率是________．
解析：f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，如右圖，a(1,0)，b(4,0)，c(4,3)，
sδabc＝，p＝＝＝.故填.
答案：三、解答題
7．在1萬平方千公尺的大陸架海域中有40平方千公尺的大陸架儲藏著石油，假設在海域中任意一點鑽探，鑽到油層面的概率是多少？
解：石油在1萬平方千公尺的大陸架海域中的分布可以看作是隨機的，而40平方千公尺可看作構成事件的區域面積，由幾何概型的概率公式可以求得概率．記「鑽到油層面」為事件a，則p(a)＝＝＝0.004.
答：鑽到油層面的概率是0.004.
8．已知集合a＝，集合b＝．
(1)若a，b∈n，求a∩b≠的概率；
(2)若a，b∈r，求a∩b＝的概率．
解：(1)因為a，b∈n，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9組．
令函式f(x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，則f′(x)＝a＋bln2·2x.
因為a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f′(x)>0，
即f(x)在[－1,0]上是單調遞增函式．
f(x)在[－1,0]上的最小值為－a＋－1.要使a∩b≠，只需－a＋－1<0，即2a－b＋2>0.
所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7組．
所以a∩b≠的概率為.
(2)因為a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a，b)對應的區域為邊長為2的正方形(如右圖)，面積為4.由(1)可知，要使a∩b＝，只需f(x)min＝－a＋－1≥02a－b＋2≤0，所以滿足a∩b＝的(a，b)對應的區域是圖中的陰影部分，
所以s陰影＝×1×＝，
所以a∩b＝的概率為p＝＝.
[高考·模擬·**]
1．在稜長為a的正方體abcd－a1b1c1d1內任取一點p，則點p到點a的距離小於等於a的概率為
( )
ab.π
cd.π
解析：p＝＝.
答案：d
2．平面上有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個平面上，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是
( )
ab.cd.
解析：如下圖所示，當硬幣中心落在陰影區域時，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為.
答案：3．已知如右圖所示的矩形，長為12，寬為5，在矩形內隨機地投擲1000粒黃豆，數得落在陰影部分的黃豆數為600粒，則可以估計出陰影部分的面積約為________．
解析：設所求的面積為s，由題意得＝，∴s＝36.
答案：36
4．點a為周長等於3的圓周上的乙個定點．若在該圓周上隨機取一點b，則劣弧的長度小於1的概率為________．
解析：如右圖所示，可設＝1，＝1，根據題意只要點b在優弧上，劣弧的長度就小於1，由於點b在圓周上的任意性，故這個概率是優弧的長度與圓的周長之比，即這個概率是.故填.
答案：5．設有關於x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(ⅰ)若a是從0,1,2,3四個數中任取的乙個數，b是從0,1,2三個數中任取的乙個數，求上述方程有實根的概率．
(ⅱ) 若a是從區間[0,3]任取的乙個數，b是從區間[0,2]任取的乙個數，求上述方程有實根的概率．
解：設事件a為「方程x2＋2ax＋b2＝0有實根」．當a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b.
(ⅰ)基本事件共有12個：(0,0)，(0,1)(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第乙個數表示a的取值，第二個數表示b的取值．事件a中包含9個基本事件，事件a發生的概率為p(a)＝＝.
(ⅱ)試驗的全部結果所構成的區域為，構成事件a的區域為，所以所求的概率為p(a)＝＝.
[備選精題]
6．一條直線型街道的a，b兩盞路燈之間的距離為120 m，由於光線較暗，想在中間再隨意安裝兩盞路燈c，d，路燈次序依次為a，c，d，b，求a與c，b與d之間的距離都不小於40 m的概率．
解：設ac長為x，db長為y，
則cd長為120－(x＋y)且滿足
設ac，bd之間都不小於40的事件為m，
則滿足條件的點p(x，y)構成如右圖所示的陰影區域，∴p(m)＝＝.
高三基礎知識天天練數學89人教版
第8模組第9節 一 選擇題 1 若直線y a與橢圓 1恒有兩個不同的交點，則a的取值範圍是 ab 3,3 c 2,2d 4,4 解析 如右圖，作出圖形，即可求出結果 答案 c 2 設拋物線y2 8x的準線與x軸交於點q，若過點q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值範圍是 ab 2,2 c ...
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第9模組第5節 知能演練 一 選擇題 1 用數學歸納法證明 1 a a2 an 1 a 1 在驗證n 1時，左端計算所得的項為 a 1b 1 a c 1 a a2d 1 a a2 a3 解析 當n 1時，左端 1 a a2.答案 c 2 用數學歸納法證明 1 1 時，由n k k 1 不等式成立，推...
高三基礎知識天天練數學8 5人教版
第8模組第5節 知能演練 一 選擇題 1 已知定點a 1,1 和直線l x y 2 0，那麼到定點a的距離和到定直線l距離相等的點的軌跡為 a 橢圓b 雙曲線 c 拋物線d 直線 解析 由於點a在直線x y 2 0上 因此選d.答案 d 2 已知兩定點a 2,0 b 1,0 如果動點p滿足 pa 2...