第8模組第9節
一、選擇題
1．若直線y＝a與橢圓＋＝1恒有兩個不同的交點，則a的取值範圍是
( )
ab．(－3,3)
c．(－2,2d．(－4,4)
解析：如右圖，作出圖形，即可求出結果．
答案：c
2．設拋物線y2＝8x的準線與x軸交於點q，若過點q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值範圍是
( )
ab．[－2,2]
c．[－1,1d．[－4,4]
解析：設直線方程為y＝k(x＋2)，與拋物線聯立方程組，整理得ky2－8y＋16k＝0.當k＝0時，直線與拋物線有乙個交點．當k≠0時，由δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k≤1且k≠0.
所以－1≤k≤1.
答案：c
3．已知點p(4,2)是直線l被橢圓x2＋4y2＝λ所截得的線段ab的中點，若ab＝，則λ等於
( )
a．4b．9
c．16d．36
答案：d
4．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交於a、b兩點，則|ab|的最大值為
( )
a．2b.
cd.解析：設直線l的方程為y＝x＋t，代入＋y2＝1，
消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，
由題意得δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，
即t2<5.弦長|ab|＝·≤.
答案：c
二、填空題
5．如果過兩點a(a,0)和b(0，a)的直線與拋物線y＝x2－2x－3沒有交點，那麼實數a的取值範圍是
解析：過a、b兩點的直線為：x＋y＝a與拋物線y＝x2－2x－3聯立得：x2－x－a－3＝0，
因為直線與拋物線沒有交點，則方程無解．
即δ＝1＋4(a＋3)<0，解之：a<－.
答案：(－∞，－)
6．過橢圓＋＝1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交於a、b兩點，o為座標原點，則△oab的面積為
解析：易知直線ab方程為y＝2(x－1)，與橢圓方程聯立解得a(0，－2)，b(，)，故s△abc＝s△aof＋s△bof＝×1×2＋×1×＝.
答案：三、解答題
7．已知拋物線y2＝4x，過點p(4,0)的直線與拋物線相交於a(x1，y1)、b(x2，y2)兩點，求y＋y的最小值．
解：(1)當過p點的直線垂直於x軸，即x＝4時易得y＝16，y＝16，此時y＋y＝32.
(2)當過p點的直線與x軸不垂直時，設其斜率為k，
則直線方程為y＝k(x－4)，代入拋物線方程y2＝4x，
消去y整理得k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0.
由題意知x1，x2就是該方程的兩根，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝16.
於是y＋y＝[k(x1－4)]2＋[k(x2－4)]2.
＝k2[(x1＋x2)2－8(x1＋x2)－2x1x2＋32]
＝＋32>32，此時無最小值．
綜上所述，y＋y的最小值為32.
8．拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸．經過焦點且傾斜角為135°的直線，被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程．
解：如右圖，依題意設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，
則直線方程為y＝－x＋p.
設直線交拋物線於a(x1，y1)、b(x2，y2)，則由拋物線定義得
|ab|＝|af|＋|fb|＝|ac|＋|bd|
＝x1＋＋x2＋，
即x1＋x2＋p＝8.①
又a(x1，y1)、b(x2，y2)是拋物線和直線的交點，
由消去y得x2－**x＋＝0，
∴x1＋x2＝**.將其代入①得p＝2，
∴所求拋物線方程為y2＝4x.
當拋物線方程設為y2＝－2px時，同理可求得拋物線方程為y2＝－4x.
∴拋物線方程為y2＝4x或y2＝－4x.
[高考·模擬·**]
1．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點p到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是
( )
a．2b．3cd.
解析：∵直線l2：x＝－1恰為拋物線y2＝4x的準線，∴p到l2的距離d2＝|pf|(f(1,0)為拋物線焦點)，所以p到l1、l2距離之和最小值為f到l1距離＝2，故選a.
答案：a
2．點p在直線l：y＝x－1上，若存在過p的直線交拋物線y＝x2於a、b兩點，且|pa|＝|ab|，則稱點p為「a點」．那麼下列結論中正確的是
( )
a．直線l上的所有點都是「a點」
b．直線l上僅有有限個點是「a點」
c．直線l上的所有點都不是「a點」
d．直線l上有無窮多個點(但不是所有的點)「a點」
解析：分別作出直線l：y＝x－1及拋物線y＝x2.
如右圖，取直線l上任一點p都存在過點p的直線(直線可繞p點任意旋轉)交拋物線y＝x2於a，b兩點，則|ab|的取值範圍是(0，＋∞)，那麼一定存在乙個值，使得|pa|＝|ab|.故選a.
答案：a
3．設拋物線y2＝2x的焦點為f，過點m(，0)的直線與拋物線相交於a、b兩點，與拋物線的準線相交於點c，|bf|＝2，則△bcf與△acf的面積之比＝( )
ab.cd.
解析：如右圖過a、b作準線l：x＝－的垂線，垂足分別為a1、b1，由於f到直線ab的距離為定值．∴＝.又∵△b1bc～△a1ac.
∴＝，由拋物線定義＝＝.
由|bf|＝|bb1|＝2知xb＝，yb＝－，
∴lab：y－0＝(x－)．
把x＝代入上式，求得ya＝2，xa＝2，
∴|af|＝|aa1|＝.
故＝＝＝.故選a.
答案：a
4．已知，橢圓c經過點a(1，)，兩個焦點為(－1,0)，(1,0)．
(1)求橢圓c的方程；
(2)e、f是橢圓c上的兩個動點，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數，證明直線ef的斜率為定值，並求出這個定值．
解：(1)由題意，c＝1，可設橢圓方程為＋＝1.
因為a在橢圓上，所以＋＝1，解得b2＝3，b2＝－(捨去)．
所以橢圓方程為＋＝1.
(2)設直線ae方程為y＝k(x－1)＋，
代入＋＝1得
(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4(－k)2－12＝0.
設e(xe，ye)，f(xf，yf)．
因為點a(1，)在橢圓上，
所以xe＝，
ye＝kxe＋－k.
又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數，在上式中以－k代k，可得
xf＝，yf＝－kxf＋＋k.
所以直線ef的斜率kef＝＝
＝.即直線ef的斜率為定值，其值為.
[備選精題]
5．已知動圓c過點a(－2,0)，且與圓m：(x－2)2＋y2＝64相內切．
(1)求動圓c的圓心的軌跡方程．
(2)設直線l：y＝kx＋m(其中k，m∈z)與(1)所求軌跡交於不同兩點b、d，與雙曲線－＝1交於不同兩點e，f，問是否存在直線l，使得向量＋＝0？若存在，指出這樣的直線有多少條；若不存在，請說明理由．
解：(1)圓m：(x－2)2＋y2＝64，圓心m的座標為(2,0)，半徑r＝8.
∵|am|＝4∴點a(－2,0)在圓m內．
設動圓c的半徑為r，圓心為c，依題意得r＝|ca|，且
|cm|＝r－r，
即|cm|＋|ca|＝8>|am|，
∴圓心c的軌跡是中心在原點，以a，m兩點為焦點，長軸長為8的橢圓，設其方程為＋＝1(a>b>0)，則a＝4，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝12.∴所求動圓c的圓心的軌跡方程為＋＝1.
(2)由消去y化簡整理得：
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0，
設b(x1，y1)，d(x2，y2)，則x1＋x2＝－.
δ1＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－48)>0.①
由消去y化簡整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0，
設e(x3，y3)，f(x4，y4)，則x3＋x4＝.
δ2＝(－2km)2＋4(3－k)2(m2＋12)>0.②
∵＋＝0，∴(x4－x2)＋(x3－x1)＝0，即x1＋x2＝x3＋x4，
∴－＝.
∴2km＝0或－＝，
解得k＝0或m＝0.當k＝0時，由①②得－2∵m∈z，∴m的值為－3，－2，－1,0,1,2,3；
當m＝0時，由①②得－∵k∈z，∴k＝－1,0,1.∴滿足條件的直線共有9條．
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第9模組第5節 知能演練 一 選擇題 1 用數學歸納法證明 1 a a2 an 1 a 1 在驗證n 1時，左端計算所得的項為 a 1b 1 a c 1 a a2d 1 a a2 a3 解析 當n 1時，左端 1 a a2.答案 c 2 用數學歸納法證明 1 1 時，由n k k 1 不等式成立，推...
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第11模組第6節 知能演練 一 選擇題 1 如右圖，向圓內投鏢，如果每次都投入圓內，那麼投中正方形區域的概率為 ab.cd.解析 投中正方形區域的概率為正方形的面積與圓的面積之比，設正方形的邊長為1，則其面積為1，圓的半徑為，面積為 2 故投中正方形區域的概率為 故選a.答案 a 2 在500 ml...
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第8模組第5節 知能演練 一 選擇題 1 已知定點a 1,1 和直線l x y 2 0，那麼到定點a的距離和到定直線l距離相等的點的軌跡為 a 橢圓b 雙曲線 c 拋物線d 直線 解析 由於點a在直線x y 2 0上 因此選d.答案 d 2 已知兩定點a 2,0 b 1,0 如果動點p滿足 pa 2...