第2模組第6節
[知能演練]
一、選擇題
1．下列所給出的函式中，是冪函式的是
( )
a．y＝－x3b．y＝x－3
c．y＝2x3d．y＝x3－1
解析：按照冪函式的定義，只有形如y＝xα(α∈r)的函式才叫做冪函式．
答案：b
2．x∈(0,1)，則下列結論正確的是
( )
3．若函式f(x)是冪函式，且滿足＝3，則f()的值等於
( )
a．－3b．－
c．3d.
解析：依題意設f(x)＝xα(α∈r)，則有＝3，即2α＝3，得α＝log23，則f(x)＝xlog23，於是f()＝()log23＝2－log23＝2log2＝，選d.
答案：d
4．若f(x)＝xn2＋n＋1(n∈n)，則f(x)是
( )
a．奇函式b．偶函式
c．奇函式或偶函式d．非奇非偶函式
解析：由於當n∈n時，n(n＋1)一定為偶數，因此n(n＋1)＋1一定為奇數，所以函式一定為奇函式．
答案：a
二、填空題
5．0.3，2.2，2.1這三個數從小到大排列為________．
解析：由於函式f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函式，所以f(0.3)答案：0.3，2.1，2.2
6．若冪函式y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的圖象不經過原點，則實數m的值等於________．
解析：由於函式y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2是冪函式，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或2，而當m＝1時，y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2＝x－2，定義域是，圖象不經過原點；當m＝2時，y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2＝x0，定義域是，圖象不經過原點．
答案：1或2
三、解答題
7．已知函式f(x)＝xm－且f(4)＝.
(1)求m的值．
(2)判定f(x)的奇偶性．
(3)判斷f(x)在(0，＋∞)上的單調性，並給予證明．
解：(1)因為f(4)＝，所以4m－＝，所以m＝1.
(2)因為f(x)的定義域為，
又f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函式．
(3)設x1>x2>0，則f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)(1＋)，因為x1>x2>0，所以x1－x2>0,1＋>0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上為單調遞增函式．
8．已知冪函式f(x)＝xm2－m－3(m∈n*，m≥2)在(0，＋∞)內單調遞減，g(x)＝.
(1)求f(x)；
(2)比較g(44)與g(45)的大小．
解：(1)由於函式f(x)在(0，＋∞)內單調遞減，所以m2－m－3<0，解得(2)由(1)知g(x)＝＝
＝＝1＋，
由於442＝1936,452＝2025，
所以44<<45，因此g(44)<1，g(45)>1，所以g(44)[高考·模擬·**]
1．給出命題：若函式y＝f(x)是冪函式，則函式y＝f(x)的圖象不過第四象限，在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數是
( )
a．3b．2
c．1d．0
解析：原命題是真命題，故它的逆否命題是真命題；它的逆命題為假命題，故它的否命題也為假命題．因此在它的逆命題、否命題、逆否命題中的真命題只有乙個．
答案：c
2．已知函式f1(x)＝ax，f2(x)＝xa，f3(x)＝logax(其中a>0，且a≠1)，在同一座標系中畫出其中的兩個函式在第一象限內的圖象，正確的是
( )
解析：觀察選項，在01情況下，對三個函式的圖象分析可知a、c、d均不符合．選b.
答案：b
3．冪函式y＝xa，當a取不同的正數時，在區間[0,1]上它們的圖象是一族美麗的曲線(如圖)．設點a(1,0)，b(0,1)，連線ab，線段ab恰好被其中的兩個冪函式y＝xα，y＝xβ的圖象三等分，即有bm＝mn＝na.那麼，αβ＝
( )
a．1b．2
c．3d．無法確定
解法一：由條件得m(，)，n(，)，由一般性，可得即α＝log，β＝log.所以αβ＝log·log＝·＝1.
解法二：由解法一，得則即αβ＝1，故選a.
答案：a
4．若x∈[－1,1]時，22x－1ab．(，＋∞)
c．(2d．(，＋∞)
解析：由22x－1x·lg－lg(2a)<0，設f(x)＝x·lg－lg(2a)，
由當x∈[－1,1]時，f(x)<0恆成立，得
a>為所求的範圍．
答案：a
5．已知函式f(x)＝xα(0<α<1)，對於下列命題：
①若x>1，則f(x)>1；
②若0③若f(x1)>f(x2)，則x1>x2；
④若0其中正確的命題序號是________．
解析：作出y＝xα(0<α<1)在第一象限的圖象，由性質易判定①②③正確；
而表示圖象上點p(x，y)與原點連線的斜率，當0答案：①②③
6．已知函式f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈z)滿足f(2)(1)求k的值並求出相應的f(x)的解析式；
(2)對於(1)中得到的函式f(x)，試判斷是否存在q，使函式g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區間[－1,2]上的值域為[－4，]？若存在，求出q；若不存在，請說明理由．
解：(1)∵f(2)∴f(x)在第一象限是增函式．
故－k2＋k＋2>0，解得－1又∵k∈z，∴k＝0或k＝1.
當k＝0或k＝1時，－k2＋k＋2＝2，∴f(x)＝x2.
(2)假設存在q>0滿足題設，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，
∴兩個最值點只能在端點(－1，g(－1))和頂點(，)處取得．
而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，
∴g(x)max＝＝，
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2.
∴存在q＝2滿足題意．
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