建築製圖輔導資料三
主題：「畫法幾何」輔導資料
學習時間：2023年10月15日－10月21日
內容：我們這周主要學習課程開始第1章——對畫法幾何基本內容的總結和複習。希望通過下面的內容的講解使同學們對畫法幾何的相關知識進行相應的回顧和總結。
一、學習要求
1．掌握投影的基本概念、種類和基本特性；
2．掌握畫法幾何的基本定理和方法；
3．掌握畫法幾何的繪圖基本原則；
4．了解畫法幾何的其他作圖方法。
二、主要內容
（一）投影的基本概念（需要熟練掌握的基本概念）
現代一切工程圖樣的繪製都是以投影法為基礎的，「投影」這個術語屬數學的範疇，它反映在一定的投射條件下，在投影要素(本學科以平面作為承影要素)上獲得與空間幾何元素或幾何形體一一對應的圖形的過程，因此，為了得到空間幾何元素或幾何形體的投影，必須具備以下三個條件：
(1)光線——投影中心和從投影中心出發的投射線；
(2)投影面——不通過投影中心的承影平面；
(3)物體——即表達物件，空間的幾何元素或幾何形體(其所處的空間位置可以在投影面的任一側或投影面上)。
當投影條件確定後，表達物件在投影面上所產生的圖形就必然是惟一的。換句話說，該惟一的圖形是通過表達物件的一系列投射線的總和。
我們稱這個圖形為表達物件在投影面上的投影；獲得投影的方法則稱為投影法。
（二）投影法的分類（需要熟練掌握的基本概念）
1．中心投影法
當投影中心距投影面為有限遠時，所有的投射線都從投影中心一點出發，這種投影方法稱為中心投影法。用中心投影法所獲得的投影圖稱中心投影圖。
2．平行投影法
投影線相互平行時所得的投影稱為平行投影法。根據投射線與投影面的相對位置的不同，有可分為正投影法和斜投影法兩種。
正投影法：投射線垂直於投影面的投影方法稱為正投影法，用這種方法得到的投影稱為正投影。
斜投影法：投射線傾斜於投影面的投影方法稱為斜投影法，用這種方法得到的投影稱為斜投影。
3.各種投影法在建築工程中的應用
多面正投影——用正投影法在兩個或兩個以上的投影面上投影所得的圖形，是建築工程中主要的圖樣。
軸測投影圖——能反映形體的長、寬、高，有一定的立體感。
透視投影圖——是形體在乙個投影面上的中心投影。
標高投影圖——是建築工程中常用來繪製地形圖和道路、水利工程等方面的平面布置的圖樣，它是地面或土木建築物在乙個水平面上的正投影圖。
（三）投影的基本特性（需要熟練掌握的基本特性）
1.平行性——空間平行，投影仍為平行。
2.定比性——空間的定比點，仍為投影的定比點。
3.從屬性——點**上，點的投影一定**的投影上。
4.類似性——直線投影仍為直線、平面圖形的投影為其類似形。如三角形投影仍為三角形等。
5.積聚性——特殊位置：直線或平面平行於投影方向時。
6.全等性——特殊位置：直線或平面平行於投影面時。
（四）點的投影
1.點在乙個投影面上的投影：過空間點a垂直與投影面p的投射線與投影面p的交點即為點a在p面上的投影。
2.兩點的相對位置反映了各點對投影面的位置，也表現了兩點之間在空間中的上下、前後、左右位置關係。
3.重影點是指兩個空間點在某一投影面上的投影重合，即這兩個點的空間x、y、z座標中有兩個相等。（需要熟練掌握的基本概念）
圖1.1 重影點示意圖
（五）直線的投影
1.兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連線，就得到直線的同名投影。
直線與投影面的相對位置關係：垂直、平行和傾斜。
2.直線在三個投影面中的投影特性
投影面平行線：平行於某一投影面而與其餘兩投影面傾斜。
①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，並反映直線與另兩投影面傾角的實大。
②另兩個投影面上的投影平行於相應的投影軸。
按照所平行的投影面不同又可分為三種：正平線、水平線和側平線。
投影面垂直線：垂直於某一投影面
①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。
②另外兩個投影，反映線段實長。且垂直於相應的投影軸。
按照直線所垂直的投影面不同可分為三種：正垂線、鉛垂線和側垂線。
一般位置直線：與三個投影面都傾斜的直線，三個投影都縮短。
即都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角的實大，且與三根投影軸都傾斜。
3．四個基本作圖問題
①已知直線的兩投影，求直線與投影面的夾角和線段的實長。
②已知直線的一投影及其與投影面的夾角，求直線的投影。
③已知線段的一投影及其實長，求線段的投影。
④已知線段的實長及其與投影面的夾角，求直線的投影。
4.屬於直線的點
①直線上的點,其投影必在該直線的同面投影上，且符合點的投影規律。
②直線上的點分割直線之比，在投影後保持不變。
若點的投影有乙個不在直線的同名投影上，則該點必不在此直線上。
5．兩直線的相對位置（★）——該知識點很重要，是判定兩直線關係的重要依據。
空間兩直線的相對位置有：平行、相交、交叉(錯)三種情況，其中，平行、相交兩直線為同面投影，而交叉兩直線為異面直線。（需要熟練掌握的基本概念）
兩直線平行：若空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。（需要熟練掌握的基本概念）
兩直線相交：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必然符合空間一點的投影規律。（需要熟練掌握的基本概念）
兩直線交叉：同名投影可能相交，但「交點」不符合空間乙個點的投影規律。「交點」是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。（需要熟練掌握的基本概念）
兩直線垂直相交（或垂直交叉）：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行於投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。(直角定理) （需要熟練掌握的基本概念）
（六）面的投影
1．投影特性
平面平行投影面——投影反映實形
平面垂直投影面——投影積聚成線段
平面傾斜投影面——投影類似原平面
2.平面的表示方法
①幾何元素表示法
平面的空間位置可由下列任何一組的幾何元素來確定
a． 不在同一條直線上的三個點，如下圖（a）。
b． 一直線與直線外的一點，如下圖（b）。
c． 相交兩直線，如下圖（c）。
d． 平行兩直線，如下圖（d）。
e． 任意平面圖形，如三角形、四邊形、圓形等，下圖（e）。
圖1.2 平面幾何元素表示法
②跡線表示法
跡線表示法是用平面上的特殊直線來表示平面的方法，即常用平面與投影面的交線，也稱為平面的跡線來表示平面。
跡線具有雙重性：既是投影面內的一直線，也是某個平面上的一直線。
圖1.3 平面的跡線表示法
3．平面在三投影面體系中的投影特性
投影面垂直面，垂直於某一投影面，傾斜於另兩個投影面：在平面垂直的投影面上的投影積聚成直線段。該直線段與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。
另外兩個投影面上的投影有類似性。
投影面平行面，平行於某一投影面，垂直於另兩個投影面：在平面所平行的投影面上的投影反映實形，另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應投影軸平行的直線段。
一般位置平面，與三個投影面都傾斜，三個投影都類似。
4．平面上的直線和點
平面上取任意直線，判斷直線在平面內的方法：
判斷方法一：若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內。
判斷方法二：若一直線過平面上的一點，且平行於該平面上的另一直線，則此直線在該平面內。
平面上取點的方法：先找出過此點而又在平面內的一條直線作為輔助線，然後再在該直線上確定點的位置。
（七）直線與平面及兩平面的相對位置（需要熟練掌握的基本概念）
1．平行問題
直線與平面平行：若一直線平行於平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。
兩平面平行：
①若一平面上的兩相交直線對應平行於另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。
②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。
2．相交問題
直線與平面相交：交點是直線與平面的共有點，交點是直線可見與不可見的分界點。
兩平面相交（利用積聚性求交線）：兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。
（八）更換投影面法（換麵法）
換麵法：物體本身在空間的位置不動，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使物體相對新的投影面處於解題所需要的有利位置，然後將物體向新投影面進行投射。
1．新投影面的選擇原則
新投影面必須對空間物體處於最有利的解題位置。
新投影面必須垂直於某一保留的原投影面，以構成乙個相互垂直的兩投影面的新體系。
2．點的投影變換規律
點的新投影和與它有關的原投影的連線，必垂直於新投影軸。
點的新投影到新投影軸的距離等於被代替的投影到原投影軸的距離。
3．作圖規律
由點的不變投影向新投影軸作垂線，並在垂線上量取一段距離，使這段距離等於被代替的投影到原投影軸的距離。
4．換麵法小結
換麵法就是改變投影面的位置，使它與所給物體或其幾何元素處於解題所需的特殊位置。
換麵法的關鍵是要注意新投影面的選擇條件，即必須使新投影面與某一原投面保持垂直關係，同時又有利於解題需要，這樣才能使正投影規律繼續有效。
點的變換規律是換面法的作圖基礎，四個基本問題是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。
換麵法的四個基本問題：
（1）把一般位置直線變成投影面平行線——變換一次投影面
（2）把一般位置直線變成投影面垂直線——變換兩次投影面
（3）把一般位置平面變成投影面垂直面——變換一次投影面（需先在麵內作一條投影面平行線）
（4）把一般位置平面變成投影面平行面——變換兩次投影面
解題時一般要注意下面幾個問題：
（1）分析已給條件的空間情況，弄清原始條件中物體與原投影面的相對位置，並把這些條件抽象成幾何元素（點、線、麵等）。
（2）根據要求得到的結果，確定出有關幾何元素對新投影面應處於什麼樣的特殊位置（垂直或平行），據此選擇正確的解題思路與方法。
（3）在具體作圖過程中，要注意新投影與原投影在變換前後的關係，既要在新投影體系中正確無誤地求得結果，又能將結果返回到原投影體系中去。
三、典型習題
（一）判斷題
1. 若兩直線在各投影面上的投影都平行，則兩直線平行。
答案：正確。
2. 若兩直線在各投影面上的投影都相交，則兩直線相交。
答案：錯誤。
解析：這兩條直線也可能交叉。
3. 若一直線平行於平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。
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