惠州市2010屆高三第一次高考模擬考試
數學試題(理科） （2023年4月）
（本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘）
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案資訊點塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後再寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液。不按以上要求作答的答案無效。
第ⅰ卷選擇題（共40分）
一、選擇題(本大題共8題,每小題5分,共40分。在每題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的)
1．複數的虛部是
12．對於非零向量，「」是「」成立的
．充分不必要條件必要不充分條件
．充分必要條件既不充分也不必要條件
3．集合，，則下列結論正確的是
． ．
4．已知雙曲線的右焦點與拋物線焦點重合，則此雙曲線的漸近線方程是
5．已知是兩條直線，是兩個平面，給出下列命題：若，則；若平面上有不共線的三點到平面的距離相等，則；若為異面直線，則．其中正確命題的個數是
．個個個個
6．在平面直角座標系中，矩形，，，，將矩形摺疊，使點落**段上，設摺痕所在直線的斜率為，則的取值範圍為
7．已知等比數列中分別是某等差數列的第5項、第3項、第2項，且公比則等於
8．某飲料廠搞**，公開承諾，「凡購買本廠的某種飲料的顧客可用3只空罐換一罐飲料。」如：若購買10罐飲料，實際可飲用14罐飲料；若需飲用10罐，應購買7罐；(注：
不能借他人的空罐)；若購買100罐飲料，實際可飲用罐飲料；若需飲用100罐，應購買罐。則（,）為
第ⅱ卷非選擇題（共110分）
二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分30分）
（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
9．函式的定義域為 ．
10．下表是某工廠10個車間2023年2月份產量的統計表，1到10車間的產量依次記為
（如：表示2號車間的產量為900件）．
右圖是統計下表中產量在一定範圍內車間個數的乙個
演算法流程圖．那麼演算法流程圖輸出的結果是 ．
11．已知的斜二測直觀圖是邊長
為2的等邊，那麼原的面積為
12．的展開式中的係數為，則實數的值為
13． ．
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做其中的一題，兩題全答的，只計算前一題的得分。
14．（座標系與引數方程選做題）在極座標系中，過點作圓的切線，則切線的極座標方程為
15．（幾何證明選講選做題）如圖，的割線
交於兩點，割線經過圓心，已知，
，，則的半徑是 ．
三、解答題(本大題共6小題, 共80分, 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16．（本小題滿分12分）
在平面直角座標系下，已知，，，．
（1）求的表示式和最小正週期；
（2）當時，求的值域。
17．（本小題滿分12分）
袋中有同樣的球5個，其中3個紅色， 2個黃色，現從中隨機且不返回地摸球，每次摸1個，當兩種顏色的球都被摸到時，即停止摸球，記隨機變數為此時已摸球的次數。
(1) 求隨機變數的概率分布列；
(2) 求隨機變數的數學期望與方差。
18．（本小題滿分14分）
已知斜三稜柱的底面是直角三角形，
，側稜與底面所成角為，點在底
面上的射影落在上．
（1）求證：平面；
（2）若，且當時，
求二面角的大小。
19．（本小題滿分14分）
已知橢圓的乙個頂點為，且焦點在軸上。若右焦點到直線的距離
為3．（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線與橢圓相交於不同的兩點．當時，求的取值範圍．
20．（本小題滿分14分）
已知函式．
（1）若，試確定函式的單調區間；
（2）若，且對於任意，恆成立，試確定實數的取值範圍；
（3）設函式，求證：……．
21．（本小題滿分14分）
已知數列中，，對於任意的，有
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足：……，
求數列的通項公式；
（3）設，是否存在實數，當時，恆成立，若存在，求實數的取值範圍，若不存在，請說明理由。
惠州市2010屆高三第一次高考模擬考試
數學試題(理科）答案
1．【解析】，複數的虛部是。故選a。
2．【解析】由，可得，即得，但，不一定有，所以「」是「」成立的必要不充分條件。故選b。
3．【解析】。故選。
4．【解析】焦點是，雙曲線的半焦距，又虛半軸
又，雙曲線漸近線的方程是。故選。
5．【解析】顯然正確；三點在平面的異側，則相交；正確。故選。
6．【解析】當落在時摺痕所在直線的斜率為；當落在時摺痕所在直線的斜率為。故選。
7．【解析】設公差為，
解得，。故選。
8．【解析】，。故選。
9．【解析】。答案：。
10．【解析】答案：5。
11．【解析】如圖：
在中，由正弦定理得：.
答案：.
12．【解析】因為，
。答案：.
13．【解析】畫（）圖象，求面積。答案：3.
14．【解析】化為直角座標去做。答案：（或）。
15．【解析】設⊙o的半徑是，。
16．解：（11分
∴,6分
∴的最小正週期為8分
（2）∵∴∴．
∴．所以函式的值域是12分
17．解：(1)隨機變數可取的值為．
；得隨機變數的概率分布律為：
…………8分
(2)隨機變數的數學期望為10分
隨機變數的方差為：.……12分
18．解：（1）∵點在底面上的射影落在上，∴平面，
平面，∴又∵∴，，
∴平面4分
（2）以為原點，為x軸，為軸，過點且垂直於平面的直線為軸，建立空間直角座標系，則，，，，
．顯然，平面的法向量7分
設平面的法向量為，
由，即，
…………12分
∴，∴二面角的大小是． …………14分
（注：其它解法可酌情給分）
19．解：（1）依題意可設橢圓方程為 ，則右焦點，
由題設，解得4分
故所求橢圓的方程為5分
（1） 設，p為弦mn的中點，
由得 ，直線與橢圓相交，
8分，從而，
，又，則：
，即10分
把②代入①得 ，解得12分
由②得，解得13分
綜上求得的取值範圍是14分
20．解：（1）由得，，所以．
由得，∴的單調遞增區間是；
由得，∴的單調遞減區間是4分
（2）由可知是偶函式．於是對任意恆成立，
等價於對任意恆成立．
①當時，恆成立；
②當時，由得，設，則
由得．當時，，是遞減函式；
當時，，是遞增函式；∴，∴．
綜合上可得，實數的取值範圍是9分
（3），．顯然，．
∴，∴，，…………，．
由此得，……．
故14分
21．解：（1）取，則 ∴（）
∴是公差為，首項為的等差數列4分
（2）∵ ①
①-②得6分
當時， ∴，滿足上式 ∴ …………8分
（3） 假設存在，使
．． ．
當為正偶函式時，恆成立，
11分當為正奇數時，恆成立．∴
∴．∴．
綜上可知，存在實數，使時，恆成立14分
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中國古代詩歌鑑賞 讀後感 有時候覺得這個世界太快了，因為追求著速度，剔除了繁瑣，簡約了思維，曲徑通幽也就不覺得別有情趣了，月籠寒紗在這個時代裡，反倒叫人失去了探索的意味。理所當然的，在這個燈紅酒綠的喧囂裡，詩歌似乎成為了讀書時代的無奈 誰讓詩歌這樣含蓄，只言片語沒有暢銷 那些簡明卻引人入勝的情節 誰...
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