立體幾何基本定義定理
公理1：如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上所有的點都在這個平面內。
公理2：如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。
公理3：經過不在同一直線上的三點，有且只有乙個平面。
推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有乙個平面。
推論2：經過兩條相交直線，有且只有乙個平面。
推論3：經過兩條平行直線，有且只有乙個平面。
空間兩條直線的位置關係：
（1）相交直線——有且僅有乙個公共點；
（2）平行直線——在同乙個平面內，沒有公共點；
（3）異面直線——不同在任何乙個平面內，沒有公共點；
公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。（平行公理）
等角定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等。（本定理中，如果去掉「並且方向相同」，則相應的結論應變為「那麼這兩個角相等或互補」）
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。
類似的在初中學過的定理：如果乙個角的兩分別和另乙個角的兩邊分別垂直，那麼這兩個角相等或互補。
直線是異面直線，經過空間任意一點o，作直線，並使，我們把直線所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角。
如果兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。
異面直線的判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線。
異面直線所成角的範圍是。
證明兩條直線是異面直線的方法有兩種：
（1）利有「過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線」
（2）反證法。
求兩條異面直線所成角的方法與步驟：
（1）平移法：
①利用定義構造角，可固定一條，平移另一條；或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。
②證明作出的角即為所求的角。
③利用解三角形來求角，異面直線所成角的範圍是。
④當用平移轉化法繁瑣或無法平移時，可考慮兩異面直線是否為異面垂直。
（2）向量法：
轉化為兩條直線上兩個向量的夾角或它的補角，利用公式來求。
關於異面直線的一組真命題：
（1）經過兩條異面直線中的一條與另一條平行的平面存在且唯一；
（2）分別經過兩異面直線中的一條且與另一條平行的一組平面存在且唯一；
（3）分別經過兩異面直線中的一條且相互垂直的一組平面存在但不唯一；
（4）與兩異面直線都平行的平面存在但不唯一；
（5）過空間兩異面直線外一點與兩異面直線都平行的平面不一定存在。
直線和平面平行的判定和性質：
直線和平面平行的概念：如果一條直線和乙個平面沒有公共點，那麼我們說這條直線和這個平面平行。
一條直線和乙個平面的位置關係有且只有三種：
（1）直線在平面內——有無數個公共點；
（2）直線和平面相交——有且只有乙個公共點；
（3）直線和平面平行——沒有公共點。
我們把直線和平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外。
直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。
直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。
經過兩條平行線中的一條直線的平面，與另一條直線平行或經過另一直線。
直線和平面垂直的定義：如果一條直線和乙個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直。其中直線叫做平面的垂線，平面叫直線的垂面。
直線和平面垂直時，它們唯一的公共點即交點叫做垂足。
定理：如果兩條平行直線中的一條垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於這個平面。
直線和平面垂直的判定定理：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。
直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直於乙個平面，那麼這兩條直線平行。
從平面外一點引這個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離。
定理：如果一條直線和乙個平面平行，那麼這條直線上各點到這個平面的距離相等。
一條直線和乙個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離。
定理：如果三條共點直線兩兩垂直，那麼其中一條直線垂直於另兩條直線確定的平面。
定理：平面外一點與這個平面內各點鏈結而成的線段中，垂直於平面的線段最短。
過一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面內的射影，這點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段。
一條直線和乙個平面相交，但不和這個平面垂直時，這條直線就叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足。從平面外一點向平面引斜線，這點與斜足間的線段叫做這點到這個平面的斜線段。
平面外一點到這個平面的垂線段有且只有一條，而這點到這個平面的斜線段有無數條。
從斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影，垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面內的射影。斜線上任意一點在平面內的射影，一定在斜線的射影上。
定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：
（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；
（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；
（3）垂線段比任何一條斜線段都短。
平面的一條斜線和它在這個麵內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。
一條直線垂直於平面，我們就說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內，我們就說它們所成的角是零度的角。
最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內的直線所成的一切角中最小的角。
斜線和平面所成角的範圍是。
直線和平面所成角的範圍是。
如右圖，有如下公式：(三餘弦定理)
三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。
三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直。
運用三垂線定理及其逆定理的步驟是：確定平面作出垂線找到垂足連成射影查面內直線，其關鍵是確定平面及平面的垂線。
定理：如果乙個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那麼這一點在平面內的射影在這個角的平分線所在直線上。
定理：兩條平行線和同乙個平面所成的角相等。
定理：從乙個角的頂點引這個角所在平面的斜射線，若斜射線和這個角的兩邊的夾角相等，那麼斜線在平面內的射影是這個角的平分線所在的直線。
兩個平面的位置關係只有兩種：
（1）兩個平面平行——沒有公共點；
（2）兩個平面相交——有一條公共直線。
兩個平面平行的判定定理：如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另一平面，那麼這兩個平面平行。
定理：垂直於同一條直線的兩個平面平行。
兩個平面平行的性質：如果兩個平面平行，那麼其中乙個平面內的直線平行於另乙個平面。
兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。
定理：如果一條直線垂直於兩個平行平面中的乙個平面，那麼它也垂直於另乙個平面。
和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段。兩個平行平面的公垂線段都相等。我們把公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離。
定理：夾在兩個平行平面間的平行線段相等。
定理：平行於同一平面的兩個平面平行。
定理：經過平面外一點有且只有乙個平面和已知平面平行。
定理：一條直線和兩個平行平面相交，那麼它和兩個平面所成的角相等。
平面內的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面。從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的稜，這兩個半平面叫做二面角的面。
以二面角的稜上任意一點為端點，在兩個半平面內分別作垂直於稜的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小範圍是。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
二面角的平面角有三種作法：
（1）定義法：以二面角的稜上任意一點為端點，在兩個半平面內分別作垂直於稜的兩條射線；
（2）垂面法：過二面角稜上任意上一點作垂直於稜的平面；
（3）三垂線定理法：當已知乙個平面內的某點在另一平面內的射影時，過該點作稜的垂線，連該點和垂足則得二面角的平面角。
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。
兩個平面垂直的判定定理：如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直。
兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面垂直，那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另乙個平面。
定理：如果兩個平面互相垂直，那麼經過第乙個平面內的一點垂直於第二個平面的直線，在第乙個平面內。
定理：自二面角內一點分別向這個二面角的兩個麵引垂線，那麼它們所成的角與這個二面角的平面角互補。
定理：如果乙個平面與另乙個平面的垂線平行，那麼這兩個平面互相垂直。
定理：如果乙個平面與另乙個平面的垂面平行，那麼這兩個平面互相垂直。
定理：如果三條共點直線兩兩互相垂直，那麼它們中每兩條直線確定的平面也兩兩互相垂直。
定理：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直。
定理：如果乙個平面和不在這個平面內的一條直線都垂直於另乙個平面，那麼這條直線和這個平面平行。
關於線面平行和線面垂直的一組真命題:
(1)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。
(2)過直線外一點有無數個平面與這條直線平行。
(3)過直線外或直線上一點有且只有乙個平面與這條直線垂直。
(4)過直線外或直線上一點有無數條直線與這條直線垂直。
(5)過平面外一點有且只有乙個平面與這個平面平行。
(6)過平面外一點有無數條直線與這個平面平行。
(7)過平面外或平面內一點有且只有一條直線與這個平面垂直。
(8)過平面外或平面內一點有無數個平面與這個平面垂直。
有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面所圍成的幾何體叫做稜柱。兩個互相平行的面叫做稜柱的底面，其餘各面叫做稜柱的側面，兩個面的公共邊叫做稜柱的稜，其中兩個側面的公共邊叫做稜柱的側稜，側面與底面的公共頂點叫做稜柱的頂點，不在同乙個面上的兩個頂點的連線叫做稜柱的對角線，兩個底面間的距離叫做稜柱的高。
知識點立體幾何
第九章直線平面簡單的幾何體 1.平面的性質 公理1 如果一條直線有兩個點在乙個平面內，那麼這條直線上所有點都在這個平面內。a l,b l，a b 公理2 如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有其他公共點，而且這些點都在同一條直線上 兩平面相交，只有一條交線 如圖 pab，pcd所在平面有乙個公共點p...
立體幾何知識點
一 基本知識點 1 空間直線與平面 1 空間直線 2 平面 3 直線與平面的位置關係 4 平面與平面的位置關係 2 空間幾何體 1 稜柱 有兩個面互相平行,其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫稜柱.稜柱性質 稜柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側稜都相...
立體幾何知識點歸納
1斜二測法 step1 在已知圖形中取互相垂直的軸ox oy，即取 step2 畫直觀圖時，把它畫成對應的軸，取，它們確定的平面表示水平平面 step3 在座標系中畫直觀圖時，已知圖形中平行於數軸的線段保持平行性不變，平行於x軸 或在x軸上 的線段保持長度不變，平行於y軸 或在y軸上 的線段長度減半...