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8已知一受力物體中某點的應力狀態為：
式中a為已知常數，且a＞0，試將該應力張量分解為球應力張量與偏應力張量之和。為平均應力。並說明這樣分解的物理意義。
解： 球應力張量作用下，單元體產生體變。體變僅為彈性變形。偏應力張量作用下單元體只產生畸變。塑性變形只有在畸變時才可能出現。關於岩土材料，上述觀點不成立。
9一很長的（沿z軸方向）直角六面體，上表面受均布壓q作用，放置在絕對剛性和光滑的基礎上，如圖所示。若選取＝ay2做應力函式。試求該物體的應力解、應變解和位移解。
（提示：①基礎絕對剛性，則在x＝0處，u＝0 ；②由於受力和變形的對稱性，在y＝0處，v＝0 。）
解： ，滿足 ，是應力函式。相應的應力分量為：
， ， ； ①
應力邊界條件：在x = h處， ②
將式①代入②得： ，故知：
， ， ； ③
由本構方程和幾何方程得：
④積分得： ⑤ ⑥
在x=0處u=0，則由式⑤得，f1(y)= 0；
在y=0處v=0，則由式⑥得，f2(x)=0；
因此，位移解為：
附，對比另一方法：
例，方向（垂直於板麵）很長的直角六面體，上邊界受均勻壓力作用，底部放置在絕對剛性與光滑的基礎上，如圖所示。不計自重，且 >>。試選取適當的應力函式解此問題，求出相應的應力分量。
解答：1、確定應力函式
分析截面內力：，故選取
積分得：，代入相容方程，有：
， 要使對任意的 x、y 成立，有
，積分，得：，
。 2、計算應力分量
， 3、由邊界條件確定常數
左右邊界（）：；；
上邊界（）：
4、應力解答為：
10已知一半徑為r＝50mm，厚度為t＝3mm的薄壁圓管，承受軸向拉伸和扭轉的聯合作用。設管內各點處的應力狀態均相同，且設在載入過程中始終保持，（採用柱座標系，r為徑向，θ為環向，z為圓管軸向。）材料的屈服極限為＝400mpa。
試求此圓管材料屈服時（採用mises屈服條件）的軸向載荷p和軸矩ms。
（提示：mises屈服條件： ；）
解：據題意知一點應力狀態為平面應力狀態，如圖示，且知 ，則
，且 = 0。
代入mises屈服條件得：
即： 解得： 200 mpa；
軸力：p= = 2×50×10－3×3×10－3×200×106=188.495kn
扭矩：m= = 2×502×10－6×3×10－3×200×106=9.425 kn· m
11在平面應力問題中，若給出一組應力解為：
， ， ，
式中a、b、c、d、e和f均為待定常數。且已知該組應力解滿足相容條件。試問：這組應力解應再滿足什麼條件就是某一彈性力學平面應力問題的應力解。（15分）
解：應力解應再滿足平衡微分方程即為彈性力學平面應力問題可能的應力解，代入平衡微分方程得：
則知，只要滿足條件a＝－f，e＝－d，b和c可取任意常數。若給出乙個具體的彈性力學平面應力問題，則再滿足該問題的應力邊界條件，該組應力分量函式即為乙個具體的彈性力學平面應力問題的應力解。
12在物體內某點，確定其應力狀態的一組應力分量為：
=0，=0，=0，=0，=3a，=4a，知。
試求：（16分）
①該點應力狀態的主應力、和；
②主應力的主方向；
③主方向彼此正交；
解：由式（2—19）知，各應力不變數為
、， 代入式（2—18）得：
也即（1）因式分解得：
（2） 則求得三個主應力分別為
。 設主應力與xyz三座標軸夾角的方向余弦為
、 、 。
將及已知條件代入式（2—13）得：
（3） 由式（3）前兩式分別得：
（4）將式（4）代入式（3）最後一式，可得0=0的恒等式。再由式（2—15）得：
則知； （5）
同理可求得主應力的方向余弦、、和主應力的方向余弦、、，並且考慮到同乙個主應力方向可表示成兩種形式，則得：
主方向為： ；（6）
主方向為： ；（7）
主方向為： ； （8）
若取主方向的一組方向余弦為 ，主方向的一組方向余弦為 ，則由空間兩直線垂直的條件知：
（9） 由此證得主方向與主方向彼此正交。同理可證得任意兩主應力方向一定彼此正交。
13如圖所示，楔形體oa、ob邊界不受力。楔形體夾角為2α，集中力p與y軸夾角為β。試列出楔形體的應力邊界條件。（14分）
解：楔形體左右兩邊界的逐點應力邊界條件：當θ＝±α時， ＝0，＝0；以半徑為r任意擷取上半部研究知：、14
一矩形橫截面柱體，如圖所示，在柱體右側面上作用著均布切向面力q，在柱體頂面作用均布壓力p。試選取：
做應力函式。式中a、b、c、d、e為待定常數。試求： （16分）
（1）上述式是否能做應力函式；
（2）若可作為應力函式，確定出係數a、b、c、d、e。
（3）寫出應力分量表示式。（不計柱體的體力）
解：據結構的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即：；由此可知應力函式可取為：
（a） 將式（a）代入 ，可得：
(b) 故有：
； (c)
則有：； (d)
略去中的一次項和常數項後得：
(e) 相應的應力分量為：
(f) 邊界條件：
① 處，
，則 ； (g)
② 處，
， 則 ； (h)
③在y = 0處，
， ，即
由此得：
， 再代入式（h）得：
； 由此得：
（i） 由於在y=0處，
， 積分得：
（j），
積分得：
（k） 由方程(j ) (k)可求得：
， 投知各應力分量為：
(l) 據聖文南原理，在距處稍遠處這一結果是適用的。
15已知受力物體內一點處應力狀態為：
（mpa）
且已知該點的乙個主應力的值為2mpa。試求：（15分）
①應力分量的大小。
②主應力、和 。
窗體底端
16已知一彈性力學問題的位移解為：（13分）
； ； ；
式中a為已知常數。試求應變分量，並指出它們能否滿足變形協調條件（即相容方程）。
解：將位移分量代入幾何方程得：
； ； ；
由於應變分量是x的線性函式，固知它們必然滿足變形協調條件：
17設如圖所示三角形懸臂梁，只受自重作用，梁材料的容重為。若採用純三次多項式：
作應力函式，式中a、b、c、d為待定常數。試求此懸臂梁的應力解。（15分）
解：將式代入知滿足，可做應力函式，相應的應力分量為：（已知fx＝0，fy=γ）
邊界條件：
① 上邊界： ， ， ，代入上式得：a ＝ b ＝0，
② 斜邊界： ， ， ， ，則：
得：；於是應力解為：
題四、2圖
18試列出下列各題所示問題的邊界條件。（每題10分，共20分。）
（1）試列出圖示一變截面薄板梁左端面上的應力邊界條件，如圖所示。
題四、3、（1）圖題四、3、（2）圖
（2）試列出半空間體在邊界上受法向集中p作用——boussinesq問題的應力邊界條件，如圖所示。
（1）左端麵的應力邊界條件為：據聖文南原理
題四、3、（1）圖
（2）上邊界：①當時 ， ；
當時 ， ；
當時 ， ； 在此邊界上已知：
， ， ；
當設想時，擷取一平面，取上半部研究，則由平衡條件知：
，已知： ，對稱性
19一薄壁圓筒，承受軸向拉力及扭矩的作用，筒壁上一點處的軸向拉應力為，環向剪應力為，其餘應力分量為零。若使用mises屈服條件，試求：（16分）
1）材料屈服時的扭轉剪應力應為多大？
2）材料屈服時塑性應變增量之比，即：∶∶∶∶∶。已知mises屈服條件為：
解：採用柱座標，則圓筒內一點的應力狀態為：
則miss條件知：
解得： ；此即為圓筒屈服時，一點橫截面上的剪應力。
已知：則：
由增量理論知：
則：即：
20如圖所示一半圓環，在外壁只受的法向面力作用，內壁不受力作用。a端為固定端，b端自由。試寫出該問題的逐點應力邊界條件和位移邊界條件。（15分）
、解：逐點應力邊界條件：
當r＝a時，＝0， ＝0；
當r＝b時，＝qsiθ， ＝0；
當θ=π時， ＝0， ＝0；
a端位移邊界條件：
當θ＝0 ， 時，ur＝0 ，uθ＝0 ，且過a點處徑向微線素不轉動，即 ＝0；或環向微線素不轉動，即 =0。
21已知一點的應變狀態為：
，，，，，。
試將其分解為球應變狀態與偏斜應變狀態。（15分）
解：；； 22
已知受力物體內一點處應力狀態為：
（mpa）
且已知該點的乙個主應力的值為2mpa。試求：（18分）
①應力分量的大小 ；
② 主應力、和。
解（1）：
； 即：
， 將：
代入上式解得：
； 故知：
由： 又解（2）：代入教材、公式： 代入
由： ，
且由上式知：2式知 ，由3式 ，故 ，則知： ；（由1式）再由：
展開得：
； 則知：
； 由：
即：； ；再由：
知：23一厚壁圓筒，內半徑為a，外半徑為b ，僅承受均勻內壓q作用（視為平面應變問題）。圓筒材料為理想彈塑性，屈服極限為。試用tresca屈服條件，分析計算該圓筒開始進入塑性狀態時所能承受的內壓力q的值。
已知圓筒處於彈性狀態時的應力解為：
上式中：a≤r≤b。（16分）
解：由題目所給條件知：
則由tresca條件：
知：則知：
24梯形橫截面牆體完全置於水中，如圖所示。已知水的比重為γ，試寫出牆體橫截面邊界aa'，ab，bb』 的面力邊界條件。
25作用均勻分布載荷q的矩形橫截面簡支梁，如圖所示。根據材料力學分析結果，該梁橫截面的應力分量為
試檢驗上述分析結果是否滿足平衡微分方程和面力邊界條件。
26單位厚度的楔形體，材料比重為γ，楔形體左側作用比重為γ1的液體，如圖所示。試寫出楔形體的邊界條件。
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