摘要：近些年來，我國商品房銷售火爆。由於公升值潛力大，不少人願意投資於房產。
但是，高位在房價又迫使大多數人不得不向銀行貸款。然後，用按揭的方式逐月償還銀行貸款額，又要考慮到償還的年限問題，因為銀行在還貸利息是根據償還的年限而定。我們在還貸的過程中既要考慮到自己每個月的還貸能力，又要使我們總的還款金額盡可能的少。
注意：向銀行借貸時間必須以年為單位，如1年、2年、3年.…等。
所以我們要尋求乙個基本公式滿足上述的要求。
假設與條件：
每年的每個月裡還款一樣；
每年的每個月裡還款必須與銀行制定借一萬元在不同年限的月還款金額成比例；
提前還款必須達到一定的數額，且每年只能一次的提前還款；
每個月的收入除了家用，就是還款，不用於其他方面；
一旦確定還款年限則以後每個月的還款月利率也就定（保持不變）；
年終獎金是每年3月10號之前發；
假設每個月的家庭收入也是3.10號之前發下來；
符號的解釋與說明：
1：r為本金；
2：m為每月還款；
3：a為月利率為；
4：b為還款總月數；
5：s為還款總數；
6：c為每月利息錢；
7：i為第幾月的月數（即月份的序號）；
問題的重述：
近些年來，我國商品房銷售火爆。由於公升值潛力大，不少人願意投資於房產。但是，高位的房價又迫使大多數人不得不向銀行貸款。
然後，用按揭的方式逐月償還銀行貸款額。注意：向銀行借貸時間必須以年為單位，如1年、2年、3年.
…等。第一問：2023年9月1號，武漢市某高校教師王先生到武漢某商品房去看房，銷售小姐向他推薦等額本息還款方式，並給他乙個銀行還貸明細表。這個明細表給出了若向銀行借了1萬元錢、不同年限的等額房貸還款額。
王先生不知還款公式怎樣寫，請你給出等額本息房貸還款公式，幫王先生解惑。如果向銀行借1萬元，借10年。請詳細計算逐月還完1萬元後，總共向銀行還款的總額以及逐月被銀行拿走的利息錢。
第二問：王先生看中了一套135m2、單價為3230/m2的房子，準備9月10號前成交。他們家每月收入5600元，每月家庭開銷在1500-3000元之間服從均勻分布，每年還有3萬元的年終獎金。
這時候王先生手頭有15萬元的可支配的現金，現在請你建立一套詳細的購房與商貸快速計算還貸數學模型，並為王先生設計還貸方案而且要指出每月的家庭開銷上限（注：首付不得低於20%）。
第三問：但事情有變：2023年3月10號，王先生經多方籌措，借到了無息的款項20萬（包括年終獎金3萬），準備提前還款，但其外甥a此時在本地購買了總房價為20萬的房子，但首付不得低於40%，但外甥a手頭只有可支配現金5萬元，每月全家收入3500元，每月家庭開銷在1500-2000元之間也服從均勻分布。
她來向王先生借錢買房，王先生很為難，但此時，聰明的王夫人給出了一套新方案，使兩家人購房均歡欣鼓舞，你能給出這個新方案嗎？
第四問：但這事還未開始實施就被王先生其他五個外甥知道了，均想加入這一方案，並準備在3月份都購買房子，他們購買房子的總價以及他們的經濟情況見表2。那麼，王夫人怎樣設計這7套房子的購房還貸及每個家庭的每月開銷上限呢？
請你幫她拿出詳細的方案。即每套房子向銀行貸款多少年、多少錢、是否提前還款及還款多少、總共向銀行交了多少利息錢、這種方案總共節約了多少錢等等。
問題一模型建立與分析：
以本金為r，a是月利率， m是月還款額，還款總月數為b，還款總數s，每月利息錢c；i為月份（序號）；
王先生等額本息房貸還款公式：10000*(1+a)^b=m*((1+a)^b-1)/a；
上述公式左邊是10000元一年以後的本金加利息；右邊可以理解為我們每個以一定的金額還款，然後銀行將這筆錢再次房貸出去，想著這樣每個就有乙個迴圈利率的疊加。確定還款年限則以後每個月的還款額及月利率也就定了，銀行要求的是不論怎樣借貸和還款要求最後得到利息要保持一定；其實上述公式是銀行在保證自己還款利息設計好，王先生寫的公式也就是銀行等額本息房貸還款公式。
由於王先生借一萬元準備十年還清，則我們可以得到：
b=120；s=b*m；r=10000；a=0.00478125；m=109.71；
並且我們可以得到每月利息錢公式為：c(i)=a*r*(1+a)^(i-1)-m*(1+a)^(i-1)+m；
利用matlab軟體可以計算得到：還款總數s=13165元；
每個月被銀行拿走的利息錢如下表所示（單位：元）
問題二模型建立與分析：
王先生看中了一套135m2、單價為3230/m2的房子（總計436050元）。
模型一：
我們以十年的年限還清貸款，若首付150000，則每個月還款3138.3元，每年一拿到年終獎金就馬上提前還款，這樣我們可以粗略的計算一下：
a1=(436050-150000)*(1+0.00478125)^6-3.1383e+003*((1+0.00478125)^6-1)/0.00478125
b1=2.7530e+005-30000第六月之後"
a2=245300*(1+0.00478125)^12-(109.71*245300/10000)*((1+0.00478125)^12-1)/0.00478125
b2=2.2659e+005-30000第十八月之後"
a3=196590*(1+0.00478125)^12-(109.71*196590/10000)*((1+0.00478125)^12-1)/0.00478125
b3=1.8160e+005-30000第三十月之後"
a4=151600*(1+0.00478125)^12-(109.71*151600/10000)*((1+0.00478125)^12-1)/0.00478125
b4=1.4004e+005-30000第四十二月之後"
a5=110040*(1+0.00478125)^12-(109.71*110040/10000)*((1+0.00478125)^12-1)/0.00478125
b5=1.0165e+005-30000第五十四月之後"
a6=71650*(1+0.00478125)^12-(109.71*71650/10000)*((1+0.00478125)^12-1)/0.00478125
b6=6.6186e+004-30000第六十六月之後"
a7=36186*(1+0.00478125)^12-(109.71*36186/10000)*((1+0.00478125)^12-1)/0.00478125
b7=3.3426e+004-30000第七十八月之後"
由上述可知：我們要在第七十九月才能還清貸款。時間加長，利息還比較高，總的還款額就會比較高，所以上述方案不大可行。
模型二：
我們以十年的年限還清貸款，若首付87210元，則每個月還款109.71*(436050-87210)/10000= 3827.1元，我們按上面的簡單計算會發現這樣還款會使還款的利息增加，比上面的還款總額還要多，所以此方案也不大可行。
同樣只要是以十年的年限還清貸款，首付在87210與150000之間的方案都不大可行。
模型三：
我們以以五年的年限還清貸款，首付介於87210與150000之間；頭六個月至少每個月要還款(436050-150000)*191.05/10000=5465，最大還款額(436050-87210)*109.71/10000=6664.
6，由於家庭收入5600，支出1500到3000，這樣一來我們可以開始時以4100最大的家庭收支差值進行還款，。由於我們假設年終獎金是每年3月10號發；現在在9月10日，第一次還款階段設為六個月，以後為每年計數（即12個月），直到還清貸款。現在設想每年一拿到年終獎金就馬上提前還款，這樣一來每提前還款一次後還款計畫將會改變一次，沒改變一次後下一年的每個月還款金額減小，直到當年每月還款小於2600元時我們每個月就一定可以預留一部分資金，到年終和年終獎金一起作為提前的還款的金額；我們可以簡單的預算一下，其還款時間一定在五年之內就還清了，所以此方案基本可行。
下面我們給出嚴格的計算過程：
利用matlab軟體在不考慮可以存款的任何情況；可以計算得到乙個粗略的首付金額109700（程式如附錄），進而我們可以假設首付金額就為：109700元。
第一階段還款：第乙個月到第六個月（2007.910-2008.3.10）每月還款為：326350*191.05/10000=6234.9元；
總計還款：6234.9*6=37409元；手上還有金額150000-109700-（6234.9-4100）*6=27491元；
商品房預售方案
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格式樣本 一 開發企業名稱 二 專案基本情況 專案名稱 坐落 土地使用權證號 土地面積 平方公尺 土地使用性質 土地使用終止日期 規劃容積率 建築密度 綠化率 規劃建設樓棟數 其中 住宅 非住宅 配套公建 規劃建設總面積 平方公尺 其中 住宅 非住宅 配套公建 其中 社群 居委會 物業管理用房 自行...
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一 專案基本情況 一 專案標準名 金地.雕塑花城 使用標準地名許可證號為地名許字 第號。二 專案地點 焦作市建設路號 萬方橋東路南 三 專案總占地面積 18724平公尺 四 專案容積率 2.0 五 專案綠化率 36.35 六 國土使用證號 焦國用 2010 第02071號 七 建設工程規劃許可證號 ...