第一章有理數
1.1正數和負數
一、定義
１．大於0的數叫做正數。
２．在正數前面加上負號「－」的數叫做負數。
說明：⑴０既不是正數，也不是負數，０是正數和負數的分界，０的意義已不僅是表示「沒有」。
⑵乙個數前面的「＋」與「－」叫做它的符號。
⑶判斷乙個數是不是負數，要看是不是在正數的前面加上「－」號，而不能看它是否帶有「－」號。
⑷有時根據需要，在正數前面也加上「＋」（正號），在一般情況下，正數前面的「＋」號省略不寫，本書絕大多數的地方，正數都不帶正號。
⑸用正負數描述指定方向變化的情況：
①向指定方向變化用正數表示；
②向指定方向的相反方向變化用負數表示。
二、相反意義的量
相反意義的量的要素：⑴表示的意義相反；⑵都具有數量。
1.2有理數
一、有理數
１．定義
整數和分數統稱有理數。
說明：⑴正整數、0、負整數統稱為整數。
⑵有理數可以寫成（m,n是整數，n≠０）的形式；
形如（m,n是整數，n≠０）的數是有理數；
故有理數可以用（m,n是整數，n≠０）表示。
（分析如下：
①正整數、0、正分數可以寫成（m是正整數或０，n是正整數）的形式；
②負整數、負分數可以寫成－（m，n是正整數）的形式；
③學習負數的除法後，可以知道有理數可以寫成（m，n是整數，n≠０）的形式；
⑶到目前為止，學過的數（除π外）都是有理數。
２．分類
整數：正整數、０、負整數
按整數、分數（定義）分類
分數：正分數、負分數
有理數正有理數：正整數、正分數
按正、負性（符號）分類 0
負有理數：負整數、負分數
二、數軸
1．定義
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。
說明： ⑴數軸有三要素：原點、正方向和單位長度，三者缺一不可；
⑵數軸是直線，可以向兩端無限延伸；
⑶定義中「規定」是說原點的選取、正方向規定、單位長度大小的確定，都是根據需要規定的。
2．畫法
⑴畫：畫一條直線；
說明： 為了讀畫方便，通常把直線畫成水平或豎直，一般畫成水平；
⑵標:在直線上適當選取一點為原點，並標上數字０；
說明： 原點是「任取」一點，通常取適中的位置，如所需的數都是正數，也可以偏向左邊；
⑶定:確定正方向；
說明：通常規定直線上原點向右（或上）為正方向，用箭頭表示出來（箭頭標在畫線部分的最右端），不要畫成射線或線段。（當然數軸的方向是可以任取的）
⑷統一:統一單位長度根據需要，選取適當的長度為單位長度，並標上刻度，最後標上數字。
說明：單位長度的大小要根據實際需要選取，因此加「適當」二字，要表示絕對值大的數，單位長度可以取小些。
（畫法不一定按上面順序，如⑵⑶可以調換）
3．數軸上的點與有理數之間的關係
⑴任意乙個有理數，都可以用數軸上的乙個點表示，但反過來，數軸上任意一點，卻並不一定表示乙個有理數，因為數軸上除了表示有理數的點外，還有表示無理數的點。
⑵是數形的初步結合。
４．此時引入數軸，後續應用數軸理解數學知識，更加直觀，正所謂數學家華羅庚所言：「數形結合百般好，割裂分家萬事休」。
三、相反數
1．定義：
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。
說明：⑴「只有」二字理解：兩個數只有符號不同，其它相同。
⑵特別地，0的相反數是0。
2．幾何意義：在數軸上位於原點兩側並且到原點距離相等的兩個點所表示的兩個數互為相反數。
說明:數軸上表示相反數的兩個點關於原點對稱。
3．表示與求法
⑴一般地， a的相反數可表示為-a，特別的０的相反數仍是０。
說明：０是唯一乙個相反數等於本身的數，即，如果a=－a,那麼a一定是0。
⑵求乙個數的相反數，只要在它前面添上「－」號即可求。
四、絕對值
1．定義：
一般地，數軸上表示a的點與原點的距離叫做數a的絕對值。記做︱a︱，讀做a的絕對值。
2．重要性質
非負性，即︱a︱≥０。
3．求法
乙個正數的絕對值是它本身；乙個負數的絕對值是它的相反數：0的絕對值是0。即
a （a＞０）
︱a︱= 0 （a＝０）
－a （a＜０）
說明：⑴0是絕對值最小的有理數；
⑵互為相反數的兩個數的絕對值相等，反之，絕對值相等的兩個數，可能相等，也可能互為相反數。
五、有理數大小的比較
1．利用數軸比較大小（直觀但麻煩）
在數軸上表示有理數，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數小於右邊的數。
2．利用法則比較大小（比較方便）
⑴正數大於0，0大於負數，正數大於負數。
⑵兩個負數，絕對值大的反而小。
即：異號兩數比較大小，要考慮它們的正負；同號兩數比較大小，要考慮它們的絕對值。
說明： ⑴法則是根據數軸比較得出，有了法則就可以不必通過數軸，直接用絕對值比較；
⑵法則要結合圖形理解，不要死記硬背。例如：兩個負數在數軸上，絕對值大的在左邊，這就容易記住絕對值大的負數反而小的結論。
1.3有理數的加減法
一、有理數加法
1．加法法則
⑴同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加；
⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0；
⑶乙個數同0相加，仍得這個數。
說明：如果兩個數的和為０，那麼這兩個數互為相反數．
2．加法運算律
⑴加法交換律：有理數的加法中，兩個數相加，交換加數的位置，和不變。即 a+b=b+a
⑵加法結合律：有理數的加法中，三個數相加，先把前面兩個數相加，或者先把後面兩個數相加，和不變。即 (a+b)+c= a + (b +c)
說明: ⑴根據加法交換律和加法結合律可以得出:多個有理數相加,可以任意交換加數的位置,也可以先把其中的幾個加數相加。（上述簡化計算技巧源於此）
⑵加法交換律和加法結合律對兩個以上或三個以上的有理數仍然適用。
3．簡化計算技巧：
⑴把符號相同的加數先相加。
⑵把分母相同的加數先相加。
⑶相加得0的加數先相加。
⑷相加得整數的加數先相加。
三、有理數減法
１．法則
減去乙個數，等於加上這個數的相反數。即 a－b=b+（－a）
２．運算步驟：
⑴將減法變加法（要「兩變」，即一是減號變加號，二是把減數變為它的相反數）。
⑵按有理數的加法法則和加法運算律計算。
四、有理數加減混合運算
１．步驟和方法
⑴運用減法法則，將加減混合運算中的減法轉化為加法，然後省略加號和括號；
⑵運用加法法則、運用加法交換律、加法結合律、有理數加法的計算技巧，使運算簡便。
說明： ⑴將有理數的加減混合運算中減法轉化為加法後，為書寫簡單，可省略式中的加號和括號，看成是這些正數與負數之和；
⑵省略加號和括號的方法
①先統一成加號，再省略加號和括號；
②利用符號化簡直接寫出。
1.4有理數的乘除法
一、有理數乘法
１．法則
⑴兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。
⑵任何數同０相乘，都得０。
說明：有理數乘法的運算步驟：⑴確定積的符號；⑵確定積的絕對值，計算結果。
２．倒數的定義
乘積是１的兩個數互為倒數。
說明：⑴當a≠0時，a與互為倒數。
當m≠0，n≠０時，與互為倒數。
⑵０沒有倒數。
⑶－１的倒數等於－１，０～－１之間的數的倒數比本身小，小於－１的數的倒數比本身大．
３．乘法運算律
⑴乘法交換律：兩個數相乘，交換因素的位置，積相等。即ab=ba
⑵乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把後兩個數相乘，積相等。即（ab）c=a(bc)
⑶分配律：乙個數同兩個數的和相乘，等於把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。
即a(b+c)=ab+ac
二、有理數除法
１．法則
除以乙個不等於０的數，等於乘這個數的倒數。即 a÷b=a·(b≠0)
由上可以得出：
⑴兩個數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。
⑵０除以任何乙個不等於０的數，都得０
三、有理數乘除混合運算
１．運用除法法則把除法化成乘法；
２．確定積的符號，求出結果。
四、有理數加減、乘除混合運算
１．無括號的，先乘除，後加減
２．有括號的，先算括號裡面的，按小括號、中括號、大括號依此進行。
1.5有理數的乘方
一、有理數乘方的意義
１．求幾個相同因素的積的運算，叫做乘方。
一般地a·a·…·a記作a，讀作a的次n方。當a看作a的次n方的結果時，也可以讀作a
n個a的n次冪。
２．乘方的結果叫作冪，在a中，a叫做底數，n叫做指數。
二、有理數乘方運算
１．a是n個a相乘，所以可利用有理數的乘法運算進行有理數的乘方運算。
２．有理數乘方運算的性質
根據有理數的乘法法則得出：
⑴負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；
⑵正數的任何次冪都是正數：
⑶０的任何次冪都是０。
三、有理數的混合運算
１．順序：⑴先乘方，再乘除，最後加減。
⑵同級運算，從左到右進行。
⑶如有括號，先做括號內運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。
２．靈活使用運算律，是運算準確而快捷。
四、科學計數法
把乙個大於10的數寫成a×10的形式（其中a是整數數字只有一位的數，n是正整數）。
即科學計數法形式為a×10，其中1≤∣a∣＜10，n為正整數，且n為這個數的整數字樹減１。
五、近似數
１．近似數，就是與實際接近的數。
２．精確度，就是近似數與準確數的接近程度。
六、有效數字
從左邊第乙個非０的數字起，到精確到的數字止，所有的數字都叫做這個數的有效數字。
1.1 正數與負數
在以前學過的0以外的數前面加上負號「—」的數叫負數(negative number)。
與負數具有相反意義，即以前學過的0以外的數叫做正數(positive number)（根據需要，有時在正數前面也加上「+」）。
1.2 有理數
正整數、0、負整數統稱整數(integer)，正分數和負分數統稱分數(fraction)。
整數和分數統稱有理數(rational number)。
通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫數軸(number axis)。
數軸三要素：原點、正方向、單位長度。
在直線上任取乙個點表示數0，這個點叫做原點(origin)。
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數(opposite number)。（例：2的相反數是-2；0的相反數是0）
數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值(absolute value),記作|a|。
乙個正數的絕對值是它本身；乙個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。兩個負數，絕對值大的反而小。
1.3 有理數的加減法
有理數加法法則：
1.同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加。
2.絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。
3.乙個數同0相加，仍得這個數。
有理數減法法則：減去乙個數，等於加這個數的相反數。
1.4 有理數的乘除法
有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。任何數同0相乘，都得0。
乘積是1的兩個數互為倒數。
有理數除法法則：除以乙個不等於0的數，等於乘這個數的倒數。
兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。0除以任何乙個不等於0的數，都得0。
1.5 冪
七年級第一章有理數測試題
一 選擇題 每小題3分，滿分30分 1 下列計算中，不正確的是 a 6 4 2 b.9 4 5 c.9 4 13 d.9 4 13 2 若a c 0 b 則abc與0的大小關係是 a abc 0b abc 0c abc 0 d 無法確定 3 近似數2.30 104的有效數字有 a 5個 b 3個 c...
七年級第一章有理數知識點總結
3.數集內容了解 1.概念 規定了原點 正方向 單位長度的直線叫做數軸。三要素 原點 正方向 單位長度 2.對應關係 數軸上的點和有理數是一一對應的 三 數軸 比較大小 在數軸上，右邊的數總比左邊的數大 3.應用 求兩點之間的距離 兩點在原點的同側作減法，在原點的兩側作加法。注意不帶 號 代數 只有...
七年級上第一章有理數全章系統複習
1.1 正數與負數 一 必記概念 1.像 3 2 0.5這樣的數 即在以前學過的數前面加 號負號的數 叫做 2.像3 2 0.5這樣的數 即以前學過的的數 叫做 有時在前面也加上如 3 2。3.乙個數前面的叫做它的符號。4.0既也 5.在實際生活中，常常用正數和負數表示具有意義的量。如果上公升10公...