函式知識點總結(掌握函式的定義、性質和影象)
（一）平面直角座標系
1、定義：平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角座標系，簡稱為直角座標系
2、各個象限內點的特徵:
第一象限點p（x,y），則x＞0,y＞0；
第二象限點p（x,y），則x＜0,y＞0；
第三象限點p（x,y），則x＜0,y＜0；
第四象限點p（x,y），則x＞0,y＜0；
3、座標軸上點的座標特徵：
x軸上的點，縱座標為零；y軸上的點，橫座標為零；原點的座標為（0 , 0）。兩座標軸的點不屬於任何象限。
4、點的對稱特徵：已知點p(m,n),
關於x軸的對稱點座標是(m,-n), 橫座標相同，縱座標反號
關於y軸的對稱點座標是(-m,n) 縱座標相同，橫座標反號
關於原點的對稱點座標是(-m,-n) 橫，縱座標都反號
5、平行於座標軸的直線上的點的座標特徵：
平行於x軸的直線上的任意兩點：縱座標相等；
平行於y軸的直線上的任意兩點：橫座標相等。
6、各象限角平分線上的點的座標特徵：
第一、三象限角平分線上的點橫、縱座標相等。
第二、四象限角平分線上的點橫、縱座標互為相反數。
7、點p（x,y）的幾何意義：
點p（x,y）到x軸的距離為 |y|， 點p（x,y）到y軸的距離為 |x|。
點p（x,y）到座標原點的距離為
8、兩點之間的距離： x軸上兩點為a、b |ab|
y軸上兩點為c、d |cd|
已知a、b ab|=
9、中點座標公式：已知a、b m為ab的中點
則：m=( ,)
10、點的平移特徵： 在平面直角座標系中，
將點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應點（ x+a，y）；
將點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應點（x-a ，y）；
將點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應點（x，y＋b）；
將點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應點（x，y－b）。
注意：對乙個圖形進行平移，這個圖形上所有點的座標都要發生相應的變化；反過來，從圖形上點的座標的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移。
（二）函式的基本知識：
基本概念
1、變數：在乙個變化過程中可以取不同數值的量。
常量：在乙個變化過程中只能取同一數值的量。
2、函式：一般的，在乙個變化過程中，如果有兩個變數x和y，並且對於x的每乙個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那麼我們就把x稱為自變數，把y稱為因變數，y是x的函式。
*判斷a是否為b的函式，只要看b取值確定的時候，a是否有唯一確定的值與之對應
3、定義域：一般的，乙個函式的自變數允許取值的範圍，叫做這個函式的定義域。
4、確定函式定義域的方法：
（1）關係式為整式時，函式定義域為全體實數；
（2）關係式含有分式時，分式的分母不等於零；
（3）關係式含有二次根式時，被開放方數大於等於零；
（4）關係式中含有指數為零的式子時，底數不等於零；
（5）實際問題中，函式定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。
5、函式的影象
一般來說，對於乙個函式，如果把自變數與函式的每對對應值分別作為點的橫、縱座標，那麼座標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函式的圖象．
6、函式解析式：用含有表示自變數的字母的代數式表示因變數的式子叫做解析式。
7、描點法畫函式圖形的一般步驟
第一步：列表（表中給出一些自變數的值及其對應的函式值）；
第二步：描點（在直角座標系中，以自變數的值為橫座標，相應的函式值為縱座標，描出**中數值對應的各點）；
第三步：連線（按照橫座標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連線起來）。
（三）正比例函式和一次函式
1、正比例函式及性質
一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函式叫做正比例函式，其中k叫做比例係數.
注：正比例函式一般形式 y=kx (k不為零) k不為零 x指數為1 b取零
當k>0時，直線y=kx經過
三、一象限，從左向右上公升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，直線y=kx經過
二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．
(1) 解析式：y=kx（k是常數，k≠0）
(2) 必過點：（0，0）、（1，k）
(3) 走向：k>0時，影象經過
一、三象限；k<0時，影象經過
二、四象限
(4) 增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小
(5) 傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸
2、一次函式及性質
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數，k≠0)，那麼y叫做x的一次函式.當b=0時，y=kx＋b即y=kx，所以說正比例函式是一種特殊的一次函式.
注：一次函式一般形式 y=kx+b (k不為零) k不為零 x指數為1 b取任意實數
一次函式y=kx+b的圖象是經過（0，b）和（-，0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數，k0)
（2）必過點：（0，b）和（-，0）
（3）走向： k>0，圖象經過第
一、三象限；k<0，圖象經過第
二、四象限
b>0，圖象經過第
一、二象限；b<0，圖象經過第
三、四象限
直線經過第
一、二、三象限直線經過第
一、三、四象限
直線經過第
一、二、四象限直線經過第
二、三、四象限
注：y＝kx+b中的k，b的作用：
1、k決定著直線的變化趨勢
① k>0 直線從左向右是向上的 ② k<0 直線從左向右是向下的
2、b決定著直線與y軸的交點位置
① b>0 直線與y軸的正半軸相交 ② b<0 直線與y軸的負半軸相交
（4）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.
（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近於y軸；|k|越小，圖象越接近於x軸.
（6）影象的平移： 當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；
當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.
3、一次函式y=kx＋b的圖象的畫法.
根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，並且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函式的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：
是先選取它與兩座標軸的交點：（0，b），.即橫座標或縱座標為0的點.
注：對於y＝kx+b 而言，圖象共有以下四種情況：
1、k>0，b>0 2、k>0，b<0 3、k<0，b<0 4、k<0，b>0
4、直線y=kx＋b(k≠0)與座標軸的交點．
(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點都是(0，0)；
(2)直線y=kx＋b與x軸交點座標為與 y軸交點座標為(0，b)．
5、用待定係數法確定函式解析式的一般步驟：
（1）根據已知條件寫出含有待定係數的函式關係式；
（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的座標代入上述函式關係式中得到以待定係數為未知數的方程；
（3）解方程得出未知係數的值；
（4）將求出的待定係數代回所求的函式關係式中得出所求函式的解析式.
6、兩條直線交點座標的求法：
方法：聯立方程組求x、y
例題：已知兩直線y＝x+6 與y＝2x-4交於點p，求p點的座標？
7、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關係
（1）兩條直線平行：k1=k2且b1b2
（2）兩直線相交：k1k2
（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2
平行於軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線
8、正比例函式與一次函式圖象之間的關係
一次函式y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）.
9、一元一次方程與一次函式的關係
任何一元一次方程到可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函式的值為0時，求相應的自變數的值. 從圖象上看，相當於已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫座標的值.
10、一次函式與一元一次不等式的關係
任何乙個一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函式值大（小）於0時，求自變數的取值範圍.
11、一次函式與二元一次方程組（1）以二元一次方程ax+by=c的解為座標的點組成的圖象與一次函式y=的圖象相同.
（2）二元一次方程組的解可以看作是兩個一次函式y=和y=的圖象交點.
12、函式應用問題 （理論應用實際應用）
（1）利用圖象解題通過函式圖象獲取資訊，並利用所獲取的資訊解決簡單的實際問題.
（2）經營決策問題函式建模的關鍵是將實際問題數學化，從而解決最佳方案，最佳策略等問題.建立一次函式模型解決實際問題，就是要從實際問題中抽象出兩個變數，再尋求出兩個變數之間的關係，構建函式模型，從而利用數學知題.
(四)反比例函式
一般地，如果兩個變數x、y之間的關係可以表示成y＝k／x (k為常數，k≠0)的形式，那麼稱y是x的反比例函式。
取值範圍： ① k ≠ 0; ②在一般的情況下 , 自變數 x 的取值範圍可以是不等於0的任意實數 ; ③函式 y 的取值範圍也是任意非零實數。
反比例函式的影象屬於以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線
反比例函式影象中每一象限的每一支曲線會無限接近x軸y軸但不會與座標軸相交（k≠0）。
反比例函式的性質：
1.當k>0時，圖象分別位於第
一、三象限，同乙個象限內，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖象分別位於
二、四象限，同乙個象限內,y隨x的增大而增大。
2.k>0時，函式在x<0和 x>0上同為減函式；k<0時，函式在x<0和x>0上同為增函式。
定義域為x≠0；值域為y≠0。
3.因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函式的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。
4. 在乙個反比例函式圖象上任取兩點p，q，過點p，q分別作x軸，y軸的平行線，與座標軸圍成的矩形面積為s1，s2，則s1＝s2=|k|
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