第十八講、證明（一）
一、教學目標：⒈加深理解本章所學各個知識點，在證題過程中能嫻熟靈活地運用之。⒉學會分析證明思路，初步掌握綜合法證明的步驟和格式。
二、 教學內容
㈠、關於命題、定理及公理
⒈對名稱和術語的含義加以描述，作出明確的規定，也就是給出它們的定義。
判斷一件事情的句子，叫做命題，每個命題都由條件和結論兩部分組成。
正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題。
公認的真命題稱為公理（書p225 6條公理）（等量代換）
推理的過程稱為證明，經過證明的真命題稱為定理。
㈡、平行線的性質及判定
判定：⒈同位角相等，兩直線平行。⒉同旁內角互補，兩直線平行。
內錯角相等，兩直線平行。
性質：⒈兩直線平行，同位角相等。⒉兩直線平行，同旁內角互補。
兩直線平行，內錯角相等。
㈢、三角形的內角和外角的定理
⒈如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。
⒉如果兩條直線都和第三條直線垂直，那麼這兩條直線也互相平行。
⒊如果一條直線垂直於兩條平行線中的一條，那麼它也垂直於另一條。
⒋三角形內角和定理：三角形三個內角的和等於180°
⒌三角形乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
⒍三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角。
提公升訓練：
一、 填空題：
⒈把命題「對頂角相等」改寫成「如果…那麼…」的形式
⒉把「等角的餘角相等」改寫成 「如果…，那麼…」的形式
⒊命題「任意兩個直角都相等」的條件是結論是它是______（真或假）命題。
⒋如圖所示，∠1＋∠2=180°，若∠3=50°，則∠4
⒌如圖所示：已知∠1 = 20°，∠2 = 25°，∠a = 3°，則∠bdc 的度數為
⒍、如圖所示：ab∥cd，∠1 = 100°，∠2 = 120°，
則⒎如圖所示：已知db平分∠ade，de∥ab，∠cde=82，
則∠edba=_______。
⒏如圖所示：平行四邊形abcd中，e為ab上一點，
de與ac交於點f，af∶fc=3∶7，則ae∶eb
⒐在△abc中，∠abc和∠acb的平分線交於點i,
若∠a=60 則∠bic
⒑在三角形中，最多有個銳角，至少有個銳角， 最多有個鈍角（或直角）。
二、 選擇題：
⒈下列語句不是命題的是（ ）
a、 2023年奧運會的舉辦城是北京。
b、如果乙個三角形三邊a，b，c滿足a2＝b2＋c2，則這個三角形是直角三角形。
c、同角的補角相等。
d、過點p作直線l的垂線。
⒉下列命題是真命題的是（ ）
a、－a一定是負數。
b、＞0
c、平行於同一條直線的兩條直線平行。
d、 有一角為80°的等腰三角形的另兩個角為50°與50°。
⒊「兩條直線相交，有且只有乙個交點」的題設是（ ）
a、 兩條直線。 b.、交點。 c、兩條直線相交。 d、只有乙個交點。
⒋命題「垂直與同一條直線的兩條直線互相平行」的題設是（ ）
a、垂直。b、兩條直線。c、同一條直線。 d、兩條直線垂直於同一條線。
⒌如圖所示：ab⊥ef ，cd⊥ ef，∠1=∠f=30°，那麼與相等的角有（ ）
a、 1個 b、2 c、3個 d、4個
⒍如圖所示：ad平分cae，∠ b=30°，cad=65°，
∠acd=（ ）
a、50° b、 65° c、80° d、95°
⒎如圖所示：∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f等於（ ）
a、180° b、360° c、540° d、720°
⒏如圖所示：如果ab∥cd，則角α、β、γ之間的關係式為（ ）
a、α＋β＋γ=360° b、α－β＋γ=180°
c、α＋β＋γ=180° d、α＋β－γ=180°
三、 完型填空：
⒈如圖所示：直線ab∥mn，分別交直線ef於點c、d，∠bcd、∠cdn的角平分線交於點g，求∠cgd的度數。
解：∵ab∥mn（_______）
∴∠bcd＋∠cdn＝180
∵cg、dg是角平分線（_______)
∴∠1=∠bcd ∠2=∠cdn
∴∠1＋∠2＝90°
∵∠1＋∠2＋∠cgd＝180
∴∠cgd＝90°
⒉已知：如圖所示：在△abc中，ch是外角∠acd的平分線，bh是∠abc的平分線。
求證：∠a= 2∠h
證明： ∵∠acd是△abc的乙個外角，
∴∠acd=∠abc+∠a
∠2是△bcd的乙個外角，
∴∠2=∠1+∠h
∵ch是外角∠acd的平分線，bh是∠abc的平分線，
∴∠1=∠abc ，∠2=∠acd
∴∠a =∠acd-∠abc= 2 （∠2 －∠1
而 ∠h=∠2 - ∠1 （等式的性質）
∴∠a= 2∠h
四、解答題：
⒈如圖所示：已知：ad∥ef，∠1＝∠2。求證：ab∥dg
⒉．如圖所示：已知：ab∥cd，∠1＝∠b，∠2＝∠d。求證：be⊥de。
⒊. 如圖所示：在△abc中，∠b、∠c的平分線相交於點p，∠bpc＝130°，
求：∠a的度數。
⒋如圖所示：已知：直線ab∥mn，分別交直線ef於點c、d，
∠bcd、∠cdn的角平分線交於點g。
求∠cgd的度數。
⒌如圖所示：已知：cf⊥ab於f，ed⊥ab於d，∠1＝∠2，
求證：fg∥bc
⒍如圖所示：o是四邊形abcd的兩條對角線的交點，過點o作oe∥cd，交ad於e，作of∥ bc，交ab於f，連線ef。求證：ef∥bd
⒎如圖所示：已知：ab∥de。
⑴猜測∠a、∠acd、∠d有什麼關係？ 並證明你的結論。
⑵若點c向右移動到線段ad的右側，此時∠a、∠acd、∠d之間的關係，仍然滿足⑴中的結論嗎？若符合，請你證明，若不符，請你寫出正確的結論並證明。要求畫出相應的圖形。
（四）反證法：不直接從題設推出結論，而是從命題結論的反面出發，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。
步驟：(1)假設命題的結論不成立；
(2)從這個假設出發，經過推理論證得出矛盾；
(3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確
簡而言之就是「反設－歸謬－結論」三步曲。
【例1】．已知：在四邊形abcd中，m、n分別是ab、dc的中點，且mn＝（ad＋bc）。
求證：ad∥bc
【例2】.已知：直線a⊥c，直線b⊥c，求證：a∥b
課堂練習：
1．求證：三角形中至少有乙個角不大於60°。
2．已知：設m，n分別為直線l的垂線和斜線（如圖），垂足為a，斜足為b。求證：m和n必相交。
3．在△abc中，ad⊥bc於d，be⊥ac於e，ad與be相交於h，求證：ad與be不能被點h互相平分。
4.求證：等腰三角形的底角必為銳角。已知：△abc中，ab＝ac，求證：∠b、∠c必為銳角。
課後作業：
1.求證：在平面上，不存在這樣的凸四邊形abcd，使△abc、△bcd、△cda、△dab都是銳角三角形。
2．在△abc中，ab＝ac，p是內部一點且∠apb＞∠apc，求證：pb＜pc。
3．求證：在乙個三角形中，至少有乙個內角大於或者等於60°。
4．求證：在△abc的bc邊上任取一點d、ac邊上任意取一點e，鏈結ad、be，則ad和be必定不能互相平分。
5．已知△abc為不等邊三角形，ad⊥bc於d點，求證：d點到ab、ac邊的距離必不相等。
新北師大初二證明 一 教案
教學課題 證明 一課時規劃 2 教學目標 掌握平行線的性質與判定定理，形內角和定理與外角性質定理 教學重點 平行線的性質與判定定理，形內角和定理與外角性質定理 教學難點 三角形內角和和外角性質的應用 教學過程 一 知識鏈結 包括學情診斷 知識引入和過渡 1 餘角 如果兩個角的和是直角，那麼稱這兩個角...
北師大版初二下冊三角形證明教案
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