史月傑2023年6月
微積分魔術
摘要算術拿來與微積分對照：算術裡有一招，2+9=9+2，一步便能改變難度甚或把困難變走，微積分也有這麼一招…．
微積分何用
一、引入：微積分躲不開、繞不過，高中學它能快速解題、有利減負，對大學理工科學習都有好處。而對於文史類就不要學嗎？
托爾斯泰對《戰爭與和平》的解讀：只有採取無限小的觀察單位——歷史的微分，並運用積分的方法得到這些無限小的總和，我們才能得到問題的答案——歷史的規律．正是這種微積分，糾正了人類由於只觀察個別單位所不能不犯下的和無法避免的錯誤。
例1，買菜只用初等算術，但存款利息的演算法？ 複利或利滾利，底數每分秒在變化，要用微積分；
例2，人口**。2023年大陸人口普查，挨家挨戶總動員，查了一年多，得 12.66億，又慢又費；若用微積分，只要乙個大學生花5分鐘，得13.
45億，又快又省，相差8000萬（6.4%）可解釋為人口流動和少報造成．此例凸顯了微積分的效率
例3，有天氣預報、**預報。 2023年6月日本宣布濱岡核電地帶在30年內發生8級**的概率高達87% 該核電因此被叫停，從而可能挽救多少人，像2023年3月日本**引發核洩漏，全世界為之買單，中國的菠菜也測到汙染．
簡言之，從人間、天上直到地下，許多事都會用到微積分
二、微積分與算術對照
計算買菜之類日常只需要初等算術，有加減乘除表，但是預報**之類人命關天之事需要一種全新的算術，叫微積分，專門來計算函式的導數與積分，有導數與積分表（簡稱兩張表，見本文第一篇末），其功能就像加減乘除表一樣，高中學生不可不知（知其然且知其所以然）．
這就是微積分中壓倒一切的重點，破解微積分先破解兩張表．
上天偏袒，最重要的東西反而容易：這兩張表的真相被縮小到兩條代數式（書中式（1-14）（1-15））上，完全的證明或推導又縮小到幾步高中數學（甚或幾個裸例上）沒有更多概念或定理，複雜度猛降甚或變走，高中學生也能明白（知其所以然），微積分高中化了，這是當務之急．
將傳統的論證從數百頁縮小到幾頁上？秘密何在？幼兒在計算2+9時由2出發用手掰9下才算出來，一旦變到9+2時由9出發只要掰2下，難度降低了，甚或把困難變走了．
初等算術如此，對比高等的微積分，也有同理：一旦變個角度，偶然的火花，
能把計算導數/積分的困難（小除數/無窮次相加）變走，改變形勢打破僵局，所以也被比作變魔術。
過去盛行的系統法：先要講極限、連續性、實數等，概念定理多、證明推導長，數百頁，迂迴周折（圖0-1下）捉不住要領，讓人難以琢磨．改變方法，走其他的路子。（如圖右）
圖0-1系統法(盤山公路迂迴戰) 和直接法(抄近路速戰速決)
用第一篇短短的幾頁取代以往數百頁！簡單地破獲了兩張表，讓人及時知情（知其所以然）．這是最原始的資本，以後的微積分便從此展開，不斷地使用，
所以有了這兩張表，雖不說一勞永逸，也是一通百通、一本萬利！
把微積分的最初原因縮小到平面三角上：有三部曲，初中—高中—大學，
圖0-2 微積分三部曲
第１篇微積分
微積分壓倒一切的兩件事，求導數和求積分．當今盛行的課本要改變：求導數退出極限過程改用高中代數式；求積分退出函式的面積改求導數的面積．
理想的世界裡，萬物終於簡單，動態過程終於靜態結局（也稱極限狀態）．
例如，割線（os）變動的終結（極限狀態）是切線(ot)，切線是割線的簡化，代表了這個過程．
函式從來都不是一成不變的，要度量它在一點處的變化，必須考慮與之相鄰的點，於是想到利用差商
1-1）
但注意到，上式隨著的變化會產生多個數，太複雜了．我們需要找到乙個數來「代表」它們．既然問題出在上，就要想方設法將其消去．自然的想法令，但是遇到了小除數的問題，，陷入了死胡同．那麼到底什麼是我們要找的那個「代表數」呢？這個小除數問題，能否解決或避開？當今盛行的課本是通過乙個所謂「取極限」的過程找到乙個所謂的「導數」來解決的．但要深究極限概念的哲學意義，其紛繁冗雜人所共知，我們要做的只是給中學生乙個直接法，或者說乙個更初等的標準來避開小除數，選出那個「代表」．記那個代表為，希望有近似式
1-2）
能把小除數變走（像變魔術），但留有乙個尾巴，
誤差1-3）
為中學生樹立的標準就是要求這誤差跟成比例：
1-4）
於是當，誤差略去不計，真有式（1-2）成立． 但這個和那個「導數」之間有什麼聯絡？事實上，我們發現對於初等函式它們結果是一致的（詳見1.1節），但是更快更直接．因此我們仍記成，即
1-5）
經上面分析，有了度量函式在一點處變化的辦法，那麼函式在乙個線段上又怎樣呢？
自然想法就是取一批點，然後將函式在這些點上的變化，，求平均的．但是取哪些點，取多少點呢？我們面臨著和剛才同樣的問題：當今課本仍用極限（無窮次求和），而我們就是要避開極限，選出那個＂代表元＂：
，把無窮次求和的困難變走了．但仍按上面樹立的標準，要求誤差跟成比例：
另一方面，函式在區間上總變化已知為，但二者之間有什麼聯絡？？事實上，我們發現確有
， 若滿足式(1-51-6
所以確實可以做代表元，符合我們的標準．此即基本公式．
1.1 導數：微積分之首
微積分是近代數學之首，求導數又是微積分之首，擒賊先擒首．
那麼什麼是導數呢？過去一直將函式在定點的導數（即切線的斜率）定義為差商（即割線的斜率），式(1-1)
， 當
的「極限」．但有小除數，怎麼算？這是長期以來高中學生學習的難點或困惑, 過去只能不明不白地算，如下例．
例1例2．前面看作常數,後面又令略去不計，中間各種極限運算，不明不白、百思難解！而遇到例3更是不能往下計算，成了死棋。
例3 三角函式如
高中教師只讓學生死背三角函式的導數公式，知其然不知其所以然．不能學好微分學．
退出極限過程，回到差商：由於做題或考試，碰到的都是顯式函式，那就把式（1-1）寫出來，看看是什麼樣？
例4 多項式如，則式（1-1）在定點經約簡
1-7）
左式有小除數，但右式不再有小除數了：將代入已有意義，並有
，這裡誤差為符合我們的標準（1-4）．
上例雖過簡單，但凸顯求導數的要領：式（1-7）從左到右，把小除數變走了，像2+9=9+2把困難變走了！
下面幾例想法過程一樣，只是計算稍複雜．
例5 根式如，則式（1-1）在定點經約簡
從左到右，把小除數變走了：將代入已有意義，你可以大膽設想式（1-2），或希望有
? 當1-8）
但有是否符合我們的標準（1-4）。分子有．以後還會看到,分母中的沒有影響，誤差只跟成比例．於是當，誤差略去不計，（1-8
成立，右邊就定義為導數，代表了在的變化．
例6 有理多項式如，則式（1-1）在定點經約簡
．從左到右，把小除數變走了：將代入已有意義，你可以大膽設想式（1-2），或希望有
？ 當1-9）
但有誤差==
符合我們的標準（1-4）。分子有．以後還會看到,分母中的沒有影響, 誤差只跟成比例．於是當，誤差略去不計，（1-9）或
成立，右邊就定義為導數，代表了在的變化．
總之，誤差的共同點：分子有，雖然分母也含，但它可以去掉，終被分子的夾住：
1-10）
符合我們的標準（1-４）．重要的是，其中常數與無關!於是當，誤差略去不計，差商便簡化為常數主項，稱導數．所以，導數是差商的簡化！
上面所說分母的怎麼去掉？怎麼找？先略去不講，可參看林老師部落格。
如例5中定義在（）．既然差商**現，自然要求根號內（只要），
於是分母中這一項可去掉，所以誤差終被夾住
即與及無關．
如例6中定義在（），誤差分母中
（只要）
可換掉，所以誤差終被夾住
即與及無關。
注在前一例中因為分母**現的是加法，所以和有關的項可以直接放縮到0；而本例中分母中是乘法，必須放縮到正常數。
三角函式與上面各例又有所不同，並用到面積不等式．如下．
例7 三角函式如，則式（1-1）在就是
有小除數，不能再約簡，但留意到分子（見圖1-2），
圖1-2 面積不等式（當）
還是把小除數變走了：
1-11）
但有誤差=
符合我們的標準（1-4）。由圖1-7的不等式有，
所以誤差終被夾住：
|誤差|．
於是當，誤差略去不計，真有式（1-11）成立，右邊就定義為導數
．當，計算幾乎一樣，只是長些：==，
其中常數怎麼得來？因為．剩下就是誤差． 表面複雜，最終仍被夾住：
於是當，誤差略去不計，所以
．下節定義了積分之後，我們還能定義對數函式（和指數函式）的導數，它們的誤差也符合標準（1-10），其中常數c與無關，也不難找（第４篇）
由此捕獲靈感，有了一般概念：初等函式在點求導數，有差商近似式（1-2）：
右邊為常數項，把小除數變走了，但有式(1-3):
誤差被夾住，符合標準（1-10）（，與無關，不難找）．於是當，誤差略去不計，真有式（1-2）成立，差商便簡化為常數主項（兩個變數簡化為乙個變數），它是唯一的結局，稱為在點的導數
．所以匯出顯式的導數式(1-5):
．根據就是以例4-7，幾步高中數學，把小除數變走了！
更重要的是，有了這幾個裸例，不用再試其它函式了．它們的導數由以下套法生成．
為什麼？別小看幾個裸例，它們是最基本的初等函式，代表了99%以上的初等函式（除了個別點外，在有定義的閉區間上），因為後者只是前者的各種復合．已知前者符合顯式導數式或標準（1-5），可證後者也會符合同樣的標準（前書附錄2）．然後只要利用極少數幾個最基本初等函式的導數，根據套法-微分法（前書附錄2），即可生成任何初等函式的導數，不需要乙個乙個地找導數了．
微積分的歷史
fermat認為當函式經過乙個極大值或極小值時，函式的前後兩個值將是相等的，將這兩個值等同起來，解方程，然後確定函式取最大值或最小值時的x值。他在這裡也用到了極限理論。3.求面積體積重心和曲線長的問題 開始於kepler，他認為酒商用來求酒桶體積的方法不準確，開展了對體積的研究。他認為圓的面積是無窮...
微積分求極限的方法
假如高等數學是棵樹木得話，那麼極限就是他的根，函式就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。為什麼第一章如此重要？各個章節本質上都是極限，是以函式的形式表現出來的，所以也具有函式的性質。函式的性質表現在各個方面 首先對極限的總結如下 極限的保號性很重要就是說在一定區間內函...
學習微積分的心得和體會
做題大學可不像高中要做很多題，其實微積分這門課做的題也只是比其他大學課程稍多一點而已。大學裡面注重的思想和方法 因為有很多細節都可以用計算機來完成 能夠做基本的題就行了。平時老師喜歡布置教材書後的習題 這其實說明期末考試大多數都是原題 而且書後的題目也很全，同時也劃分了層次。所以我一般都是做書後的題...