1、任何乙個大於2的偶數都可以表示為兩個質數的和（注：此為乙個未被證明的定理，但在考試中可應用上。如下例）
例：4=2+2 6=3+3 8=3+5
gmat考試題例：問下邊的答案中哪個答案不可能表達為兩個質數的和？
(a)21 (b)14 (c)18 (d)28 (e)23
在這五個答案中，（b）、（c）、（d）都為大於2的偶數，根據上述定理不必乙個個嘗試，必然可以表達為兩質數的和，而（a）、（e）為奇數，若兩數相加為奇數，則這兩數必然為乙個奇數，乙個偶數，而在所有質數中2是唯一的乙個偶數，因此若（a）或（e）可表達為兩質數的和，則必有乙個為2，則只需將（a）、（e）分別減2，看所得差是否為質數，即可判斷（a）21－2＝19為質數 （e）23－2＝21不為質數，因而答案為（e）。
2、一次會餐供有三種飲料，餐後統計，三種飲料共用了65瓶；平均每2個人飲用一瓶a飲料，每3人飲用一瓶b飲料，每4人飲用一瓶c飲料。問參加會餐的人數是多少人？
分析由題意可知，參加會餐人數應是2、3、4的公倍數
解：∵［2, 3, 4］＝12
∴ 參加會餐人數應是12的倍數。
又∵ 12÷2＋12÷3＋12÷4＝6＋4＋3＝13（瓶）
∴ 可見12個人要用6瓶a飲料，4瓶b飲料，3瓶c飲料，共用13瓶飲料
又∵ 65÷13＝5
∴ 參加會餐的總人數應是12的5倍，12×5＝60（人）
答：參加會餐的總人數是60人。
3、用輾轉法求4811和1981的最大公約數
解：∵ 4811＝2×1981＋849，
1981=2×849＋283，
849＝3×283,
∴ （4811，1981）＝283
補充說明：如果三個或更多的數的最大公約數，可以先求其中任意兩數的最大公約數，再求這個公約數與另外乙個數的最大公約數，這樣求下去，直至求得最後結果，也可以直接觀察，依次試公有的質因數。
4、求21672和11352的最小公倍數
解：∵ （21672，11352）＝1032
（1032可以用輾轉相除法求得）
∴ （21672，11352）＝21672×11352÷1032＝238392
答：21672和11352的最小公倍數是238392
5、已知整數能被11整除，求所有滿足這個條件的整數。
解：∵ ,
∴ 根據能被11整除的數的特徵可知：1＋2＋3＋4＋5的和與5a之差應是11的倍數，即11 | (15-5a)，或11 | ()，
但是15-5a＝5(3-a)，5a-15＝5(a-3)，又(5, 11)=1，因此11 | (3-a)或11 | (a-3).
又∵ a 是數字上的數字
∴ a 只能取0~9
所以只有a=3才能11 | (3-a) 或11 | (a-3)，即當a=3時，11 | 15-5a
∴符合題意的整數只有132********
6、把三位數接連重複地寫下去，共寫1993個 ，所得到的數
恰是91的倍數，試求
解：∵91＝7×13，且（7，13）＝1
∴根據乙個數能被7或13整除的特徵可知：
原數能被7以及13整除，
當且僅當能被7以及13整除，
也就是能被7以及13整除
因為（7，10）＝1, （13，10）＝1，所以也就是 ，因此，用一次性質（特徵），就去掉了兩組；反覆使用性質996次，最後轉化成：原數能被7以及13整除當且僅當能被7以及13整除。
又∵ 91的倍數中小於1000的只有91×4＝364的百倍數字是3,
∴ ＝364
∴ ＝64
7、求14389除以7的餘數
分析同餘的性質能使「大數化小」，凡求大數的餘數問題首先考慮用同餘的性質化大為小。這道題先把底數在同餘意義下變小，然後從低次冪入手，重複平方，找找有什麼規律。
解：證得14389≡389（mod 7）後，
36≡32×34≡2×4≡1（mod 7）,
∴ 384≡（36）14≡1（mod 7）
∴ 389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）
∴ 14389≡5（mod 7）
8、求自然數2100＋3101＋4102的個位數字。
分析求自然數的個位數字即是求這個自然數除以10的餘數問題
解：∵2100≡24×25≡625≡（mod 10）
3101≡34×25·31≡125·31·3（mod 10）
4102≡42≡6（mod 10）
∴2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod 10）
即自然數2100＋3101＋4102的個位數字是5
這道例題證明了十進位制數的乙個特有的性質：
任何乙個整數模9同余於它的各數字上數字之和。
以後我們求乙個整數被9除的餘數，只要先計算這個整數各數字上數字之和，再求這個和被9除的餘數即可。
例如，求1827496被9除的餘數，只要先求（1＋8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的餘數。
再觀察一下上面求和式，我們可以發現，和不一定要求出，因為和式中1＋8,2＋7,9被9除都餘0，求餘數時可不予考慮。這樣只需求4＋6被9除的餘數。因此，1827496被9除餘數是1.
有人時常利用十進位制數的這個特性檢驗幾個數相加、相減、相乘的結果對不對，這種檢查方法叫：棄九法。
棄九法最經常地是用於乘法，我們來看乙個例子：
用棄九法檢驗乘式5483×9117＝49888511是否正確？
因為：5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2(mod 9)
9117≡9＋1＋1＋7≡0(mod 9)
所以5483×9117≡2×0≡0(mod 9)
但是49888511≡4＋9＋8＋8＋8＋5＋1＋1≡8(mod 9)
所以5483×9117≠49888511，即乘積不正確。
要注意的是棄九法只能知道原題錯誤或有可能正確，但不能保證一定正確。
例如，9875≡9＋8＋7＋5≡2(mod 9)
4873≡4＋8＋7＋3≡4(mod 9)
32475689≡3＋2＋4＋7＋5＋6＋8＋9≡8(mod 9)
9、若a為自然數，證明10 | (a1985-a1949)
分析如果換一種方式表達，所要證明的即是要證a1985與a1949個位數字相同。用對於模10兩數同餘來解，可以使解題過程簡化。
解：∵ a1985＝a4×496+1=a(mod 10)
a1949=a4×487+1=a(mod 10)
∴ a1985-a1949≡a-a≡0(mod 10)
即10 | (a1985-a1949)
10、問7123和3321的個位哪個大
解：既然尾數每4次迴圈一次，則需求得冪指數除以4餘幾，就可計算
7123 冪指數123除以4餘3,因而7123和73個位是一樣的，而73的個位如上表為3。因而7123的個位為3
同理：3321 冪指321除以4餘1，因而3321和31個位是一樣的，而31的個位在表中指出為3,而為3321個位為3
因而7123和3321的個位相同
（注：若指數被4除餘數為0應取幾次方？）
若指數被4除餘數為0應取4次方，如
例：7123和3320的個位哪個大？
7123如上例其個位為3
3320 320除以4餘0，則3320和34個位相同，而34個位為1，因而3320個位為1
因而7123比3320的個位大
11、若自然數n不是完全平方數，則n的因子中小於佔的一半，大於的也佔一半
例：問60有多少個＜的因子
先如上例求得60共有12個因子
根據性質2， ，則60有6個＜ 的因子
12、若自然數n是完全平方數，則也為n的乙個因子，在n的所有因子中除去之外，＜ 的佔剩下的一半，＞的也佔餘下的一半
例：問64有多少個＜的因子？
解：64＝26,因而6＋1＝7，64有7個因子由於 ＝8,也是64的乙個因子，因而＜ 的因子即為個，若問＞的因子，也同理為個
13、若自然數n有m個因子，且m為大於2的質數，則n必為某一質數的m-1次方
例：16＝24，有4＋1＝5個因子，5為大於2的質數，其為某一質數2的（5－1）＝4次方
81＝34，有4＋1＝5個因子，5為大於2的質數，則81為某一質數（這為3）的（5－1）次方
14、若某一算數數除了1之外只有2個因子，則這個數必為：
（a）奇數 （b）偶數 （c）4的倍數 （d）某一質數的平方 （e）質數
解：既然這個數除了1之外只有2個因子，則這個數應共有3個因子（因把1加上）。3是乙個大於2的質數，因而它必然是某一質數的（3－1）次方。答案為（d）
溪予GMAT數學規律總結
1.任何乙個大於2的偶數都可以表示為兩個質數的和 選2.兩個連續自然數相乘必然為2的倍數，3個連續的自然數相乘必然為6的倍數。3.兩個連續偶數相乘必然為8的倍數，所以如果三個連續自然數的平均數是奇數，這三個數的乘積是8的倍數 4.如果a為質數，n為非負整數，則a n的因數為n 1個 5.若m是自然數...
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