一、容斥原理
容斥原理關鍵就兩個公式：
1. 兩個集合的容斥關係公式：a+b=a∪b+a∩b
2. 三個集合的容斥關係公式：a+b+c=a∪b∪c+a∩b+b∩c+c∩a-a∩b∩c
請看例題：
【例題1】某大學某班學生總數是32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒及格的有4人，那麼兩次考試都及格的人數是()
a.22b.18c.28d.26
【解析】設a=第一次考試中及格的人數(26人),b=第二次考試中及格的人數(24人),顯然,a+b=26+24=50； a∪b=32-4=28，則根據a∩b=a+b-a∪b=50-28=22。答案為a。
【例題2】電視台向100人調查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個頻道都看過。問兩個頻道都沒看過的有多少人？
【解析】設a=看過2頻道的人(62)，b=看過8頻道的人(34)，顯然，a+b=62+34=96；
a∩b=兩個頻道都看過的人(11)，則根據公式a∪b= a+b-a∩b=96-11=85，所以，兩個頻道都沒看過的人數為100-85=15人。
二、作對或做錯題問題
【例題】某次考試由30到判斷題，每作對一道題得4分，做錯一題倒扣2分，小週共得96分，問他做錯了多少道題？
a.12b.4c.2d.5
【解析】
方法一假設某人在做題時前面24道題都做對了,這時他應該得到96分,後面還有6道題,如果讓這最後6道題的得分為0,即可滿足題意.這6道題的得分怎麼才能為0分呢?根據規則,只要作對2道題,做錯4道題即可,據此我們可知做錯的題為4道,作對的題為26道.
方法二作對一道可得4分,如果每作對反而扣2分,這一正一負差距就變成了6分.30道題全做對可得120分,而現在只得到96分,意味著差距為24分,用24÷6=4即可得到做錯的題,所以可知選擇b
三、植樹問題
核心要點提示：①總路線長②間距(棵距)長③棵數。只要知道三個要素中的任意兩個要素，就可以求出第三個。
【例題1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數走到底15棵樹共用了7分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹後就往回走，當他回到第5棵樹是共用了30分鐘。李大爺步行到第幾棵數時就開始往回走？
a.第32棵b.第32棵c.第32棵d.第32棵
解析：李大爺從第一棵數走到第15棵樹共用了7分鐘，也即走14個棵距用了7分鐘，所以走沒個棵距用0.5分鐘。
當他回到第5棵樹時，共用了30分鐘，計共走了30÷0.5=60個棵距，所以答案為b。第一棵到第33棵共32個棵距，第33可回到第5棵共28個棵距，32+28=60個棵距。
【例題2】為了把2023年北京奧運會辦成綠色奧運，全國各地都在加強環保，植樹造林。某單位計畫在通往兩個比賽場館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹，現運回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000公尺，若每隔4公尺栽一棵，則少2754棵；若每隔5公尺栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：(）
a.8500棵b.12500棵c.12596棵d.13000棵
解析：設兩條路共有樹苗ⅹ棵，根據栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可根據路程相等列出方程：(ⅹ+2754-4)×4=(ⅹ-396-4)×5(因為2條路共栽4排，所以要減4)
解得ⅹ=13000，即選擇d。
四、和差倍問題
核心要點提示：和、差、倍問題是已知大小兩個數的和或差與它們的倍數關係，求大小兩個數的值。(和+差)÷2=較大數；(和—差)÷2=較小數；較大數—差=較小數。
【例題】甲班和乙班共有圖書160本，甲班的圖書是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？
解析：設乙班的圖書本數為1份，則甲班和乙班圖書本書的合相當於乙班圖書本數的4倍。乙班160÷（3+1)=40(本)，甲班40×3=120(本)。
五．濃度問題
【例1】(2023年北京市應屆第14題)——
甲杯中有濃度為17%的溶液400克，乙杯中有濃度為23%的溶液600克。現在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩杯溶液的濃度相同。問現在兩倍溶液的濃度是多少( )
a.20% b.20.6% c.21.2% d.21.4%
【答案】b。
【解析】這道題要解決兩個問題：
(1)濃度問題的計算方法
濃度問題在國考、京考當**現次數很少，但是在浙江省的考試中，每年都會遇到濃度問題。這類問題的計算需要掌握的最基本公式是
(2)本題的陷阱條件
「現在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩倍溶液的濃度相同。」這句話描述了乙個非常複雜的過程，令很多人望而卻步。然而，只要抓住了整個過程最為核心的結果——「甲、乙兩杯溶液的濃度相同」這個條件，問題就變得很簡單了。
因為兩杯溶液最終濃度相同，因此整個過程可以等效為——將甲、乙兩杯溶液混合均勻之後，再分開成為400克的一杯和600克的一杯。因此這道題就簡單的變成了「甲、乙兩杯溶液混合之後的濃度是多少」這個問題了。
根據濃度計算公式可得，所求濃度為：
如果本題採用題設條件所述的過程來進行計算，將相當繁瑣。
六．行程問題
【例1】(2023年北京市社招第21題)——
2某單位圍牆外面的公路圍成了邊長為300公尺的正方形，甲乙兩人分別從兩個對角沿逆時針同時出發，如果甲每分鐘走90公尺，乙每分鐘走70公尺，那麼經過( )甲才能看到乙
a.16分40秒 b.16分 c.15分 d.14分40秒
【答案】a。
【解析】這道題是一道較難的行程問題，其難點在於「甲看到乙」這個條件。有一種錯誤的理解就是「甲看到乙」則是甲與乙在同一邊上的時候甲就能看到乙，也就是甲、乙之間的距離小於300公尺時候甲就能看到乙了，其實不然。考慮一種特殊情況，就是甲、乙都來到了這個正方形的某個角旁邊，但是不在同一條邊上，這個時候雖然甲、乙之間距離很短，但是這時候甲還是不能看到乙。
由此看出這道題的難度——甲看到乙的時候兩人之間的距離是無法確定的。
有兩種方法來「避開」這個難點——
解法一：借助一張圖來求解
雖然甲、乙兩人沿正方形路線行走，但是行進過程完全可以等效的視為兩人沿著直線行走，甲、乙的初始狀態如圖所示。
圖中的每乙個「格檔」長為300公尺，如此可以將題目化為這樣的問題「經過多長時間，甲、乙能走入同一格檔？」
觀察題目選項，發現有15分鐘、16分鐘兩個整數時間，比較方便計算。因此代入15分鐘值試探一下經過15分鐘甲、乙的位置關係。經過15分鐘之後，甲、乙分別前進了
90×15＝1350公尺＝(4×300＋150)公尺
70×15＝1050公尺＝(3×300＋150)公尺
也就是說，甲向前行進了4個半格檔，乙向前行進了3個半格檔，此時兩人所在的地點如圖所示。
甲、乙兩人恰好分別在兩個相鄰的格檔的中點處。這時甲、乙兩人相距300公尺，但是很明顯甲還看不到乙，正如解析開始處所說，如果單純的認為甲、乙距離差為300公尺時，甲就能看到乙的話就會出錯。
考慮由於甲行走的比乙快，因此當甲再行走150公尺，來到拐彎處的時候，乙行走的路程還不到150公尺。此時甲只要拐過彎就能看到乙。因此再過150/90＝1分40秒之後，甲恰好拐過彎看到乙。
所以甲從出發到看到乙，總共需要16分40秒，甲就能看到乙。
這種解法不是常規解法，數學基礎較為薄弱的考生可能很難想到。
解法二：考慮實際情況
由於甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此實際情況下，甲能夠看到乙恰好是當甲經過了正方形的乙個頂點之後就能看到乙了。也就是說甲從乙個頂點出發，在到某個頂點時，甲就能看到乙了。
題目要求的是甲運動的時間，根據上面的分析可知，經過這段時間之後，甲正好走了整數個正方形的邊長，轉化成數**算式就是
90×t＝300×n
其中，t是甲運動的時間，n是乙個整數。帶入題目四個選項，經過檢驗可知，只有a選項16分40秒過後，甲運動的距離為
90×（16×60＋40)/60＝1500＝300×5
符合「甲正好走了整數個正方形的邊長」這個要求，它是正確答案。
七．抽屜問題
三個例子：
（1）3個蘋果放到2個抽屜裡，那麼一定有1個抽屜裡至少有2個蘋果。
（2）5塊手帕分給4個小朋友，那麼一定有1個小朋友至少拿了2塊手帕。
（3）6只鴿子飛進5個鴿籠，那麼一定有1個鴿籠至少飛進2只鴿子。
我們用列表法來證明例題（1）：
從上表可以看出，將3個蘋果放在2個抽屜裡，共有4種不同的放法。
第①、②兩種放法使得在第1個抽屜裡，至少有2個蘋果；第③、④兩種放法使得在第2個抽屜裡，至少有2個蘋果。
即：可以肯定地說，3個蘋果放到2個抽屜裡，一定有1個抽屜裡至少有2個蘋果。
由上可以得出：
上面三個例子的共同特點是：物體個數比抽屜個數多乙個，那麼有乙個抽屜至少有2個這樣的物體。從而得出：
抽屜原理1：把多於n個的物體放到n個抽屜裡，則至少有乙個抽屜裡有2個或2個以上的物體。
再看下面的兩個例子：
（4）把30個蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個抽屜中的蘋果數都小於等於5？
（5）把30個以上的蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個抽屜中的蘋果數都小於等於5？
解答:（4）存在這樣的放法。即：每個抽屜中都放5個蘋果；（5）不存在這樣的放法。即：無論怎麼放，都會找到乙個抽屜，它裡面至少有6個蘋果。
從上述兩例中我們還可以得到如下規律：
抽屜原理2：把多於m×n個的物體放到n個抽屜裡，則至少有乙個抽屜裡有m＋1個或多於m＋l個的物體。
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