(姓名：張旺龍學號：308081183 專業：流體力學)
引言:描述流體運動的兩種方法――拉各朗日方法和尤拉方法
設流體質點在空間中運動，我們的任務就是確定描寫流體運動的方法並且將它用數學式子表達出來。在流體力學中描寫運動的觀點和方法有兩種，即拉各朗日方法和尤拉方法。拉各朗日方法，著眼於流體質點。
設法描述出每個流體質點自始至終的運動過程，即它們的位置隨時間變化的規律。如果知道了所有流體質點的運動規律，那麼整個流體運動的狀況也就清楚了。尤拉方法的著眼點不是流體質點而是空間點。
設法在空間中的每一點上描述出流體運動隨時間的變化狀況。如果，每一點的流體運動都已知道，則整個流體的運動狀況也就清楚了。
一拉格朗日方法
現在我們將上述描寫運動的拉各朗日觀點和方法用數學式子表達出來，為此首先必須用某種數學方法區別不同的流體質點。通常利用初始時刻流體質點的座標作為區分不同流體質點的標誌。設初始時刻時，流體質點的座標是（a,b,c），它可以是曲線座標，也可以是直角座標，重要的是給流體質點以標號而不在於採取什麼具體的方式。
我們約定採用a,b,c三個數的組合來區別流體質點，不同的a,b,c代表不同的質點。於是流體質點的運動規律數學上可表示為下列向量形式：
1）其中是流體質點的失徑。在直角座標系中，有
2）變數a,b,c,t稱為拉各朗日變數。在式（2）中，如果固定a,b,c而令t改變，則得某一流體質點的運動規律。如果固定時間t而令a,b,c改變，則得同一時刻不同流體質點的位置分布。
應該指出，在拉各朗日觀點中，失徑函式的定義區域不是場，因為它不是空間座標的函式，而是質點標號的函式。
現在從（1）式出發來求流體質點的速度和加速度。假設由（1）式確定的函式具有二階連續偏導數。速度和加速度是對於同一質點而言的單位時間內位移變化率及速度變化率，設，分別表示速度向量和加速度向量，則
3）4）
既然對同一質點而言，a,b,c不變，因此上式寫的是對時間t的偏導數。在直角座標系中，速度和加速度的表示式是5）及
6）二尤拉方法
現在來介紹描寫流體運動的另一種觀點和方法，即尤拉方法。和拉各朗日方法不同，尤拉方法不同，尤拉方法的著眼點不是流體質點而是空間點。設法在空間中的每一點上描述出流體運動隨時間的變化狀況。
如果，每一點的流體運動都已知道，則整個流體的運動狀況也就清楚了，那麼應該用什麼物理量來表現空間點上流體運動的變化情況呢？因為不同時刻將有不同流體質點經過空間某固定點，所以站在固定點上就無法觀測和記錄掠過的流體質點以前和以後的詳細歷史。也就是說我們無法象拉各朗日方法那樣直接測量出每個質點的位置隨時間的變化情況。
雖然如此，不同時刻經過固定點的流體質點的速度是可以測出的，這樣採用速度向量來描寫固定點上流體運動的變化狀況就是十分自然的了。考慮到上面所說的情形，尤拉方法中流體質點的運動規律數學上可表示為下列向量形式：
7）在直角座標系中有：
8）要完全描述運動流體的狀況還需要給定狀態函式壓力、密度、溫度等
9）變數，稱為尤拉變數，當固定，t改變時，（7）式中的函式代表空間中固定點上速度隨時間的變化規律，當t 固定，改變時，它代表的是某一時刻中速度在空間的分布規律。應該指出，有（7）式確定的速度是定義在空間點上的，它們是空間點的座標的函式，所以我們研究的是場，如速度場，壓力場、密度場等。因此當我們採用尤拉觀點描述運動時，就可以廣泛地利用場論的知識。
若場內函式不依賴於失徑則稱之為均勻場；反之稱為不均勻場。若場內函式不依賴時間t 則稱為定常場，反之稱不定常場。
三隨體導數
3.1 定義求解
假定速度函式（7）具有一階連續偏導數，現在從（7）式出發求質點的加速度，設某質點在場內運動，其運動軌跡為。在t 時刻，給質點位於點，速度為，過了時間後，該質點運動於點，速度為。根據定義，加速度的表示式是
10）從（10）式可以看到，速度的變化亦即加速度的獲得主要是下面兩個原因引起的。一方面，當質點由點運動點時，時間過去了，由於場的不定常性速度將發生變化。另一方面與此同時點在場內沿跡線移動了距離，由於場的不均勻性亦將引起速度的變化。
根據這樣的考慮，將（10）的右邊分成兩部分
11)右邊第一項當時，因此它是，這一項代表由於場的不定常性引起的速度變化，稱為區域性導數或就地導數；右邊第二項是，它代表由於場的不均勻性引起的速度變化，稱為位變導數或對流導數，其中代表沿方向移動單位長度引起的速度變化，而如今在單位時間內移動了的距離，因此方向上的速度變化是。這樣總的速度變化即加速度就是區域性導數和位變導數之和，稱之為隨體導數。於是有
12）從場論中得知
其中是曲線的單位切向向量。考慮到，得
13）這就是向量形式的加速度的表示式。
在直角座標系中採取下列形式
14）3.2 級數求解
從級數展開角度來求解尤拉下的加速度的表示式，用尤拉方法描述流場時，
一、某空間點上的流體質點的速度是時間的函式，所以速度隨時間變化，
二、原來在某空間點上的流體質點經過了後到達了另一空間點，若這兩點的速度不同，那麼由於遷移，它也會有速度的變化。
設在時刻，位於點的乙個微團具有速度。經後，該微團移到。令
經過後，變成了，即
的高階項 （15）
略去高階項，僅保留一階項，得
即16）
此式右側第一項是微團在處其速度隨時間的變化率，即當地導數或區域性導數。後三項是由於微團流向不同的領點是而出現的速度變化率，即遷移導數。總的稱為流體質點的隨體導數。
同樣，也有這樣的隨體導數
3.3 微分求解
隨體導數的求解還可以通過直接微分的方式得到。設與軌跡相對應的運動方程是
或於是速度函式可寫成
17）對做復合函式微分，並考慮到
即於是得到
18）上述將隨體導數分解為區域性導數和位變導數之和的方法對於任何向量和任何標量都是成立的，此時有
19)20)
四兩種流動描述方法之間的關係
尤拉方法在數學處理上的最大困難是方程式的非線性，而拉各朗日方法中的加速度項則為線性。但是直接應用拉各朗日型的基本方程解決流體力學問題是困難的，因此在處理流動問題是，常常必須用拉各朗日的觀點而卻應用尤拉觀點的方法，這裡就必須研究拉各朗日與尤拉兩種系統之間的變化關係。為此引用雅克比行列式（jacobian）。
21)拉各朗日變數與尤拉變數可以互換的唯一條件是：
雅克比行列式的時間導數：
22)例1 討論不可壓縮流體的數學表示
根據定義，質點的密度在運動過程中不變的流體的稱為不可壓縮流體。換而言之，對於不可壓縮流體而言，密度的隨體導數為零，即
這就是不可壓縮流體的數學表示。應該特別指出，不可壓縮流體的數學表示和不可壓縮勻質流體的數學表示＝常數是不同的，不能把它們混為一談。表示每個質點的密度在它運動的全過程中不變。
但是這個質點的密度和那個質點的密度可以不同，因此不可壓縮流體的密度不一定是常數，只有既為不可壓縮流體同時又是勻質時密度才是處處時時都是同一常數。這個事實也可推導如下：（不可壓縮），（勻質），根據隨體導數的表示式，可知：
，於是＝常數。
五跡線、流線
跡線是流體質點在空間中運動時所描繪出來的曲線。流星在夜空劃出的一道光線，五光十色的煙火圖案是跡線的例子，跡線給出了同一質點在不同時刻的空間位置和速度方向。
如果流體運動速度已經給出，即，則跡線方程可通過求解下列微分方程組而得到
23)或
式中t是自變數，都是t的函式。積分後在所得到的表示式中消去時間t後即得到跡線的方程。
流線是某一瞬時流場內一條想象的曲線，該曲線上各點的速度方向和曲線在該點的切線方向重合。這裡定義的流線類似於物理學中定義的電場線和磁場線，它們都是利用向量線來幾何地表示乙個向量場。流線是在同一時刻由不同流體質點所組成的曲線，它給出該時刻不同流體質點的運動方向。
應該著重指出流線是某一瞬時的曲線，另一瞬時若流場改變了，通過同一點的流線也會改變。
設是流線上某點的線元，而是該點的速度向量，根據流線定義，和相互平行，於是
由上式可得24)
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