第一部分講解部分
一、專題詮釋
開放**型問題，可分為開放型問題和**型問題兩類．
開放型問題是相對於有明確條件和明確結論的封閉型問題而言的，它是條件或結論給定不完全、答案不唯一的一類問題．這類試題已成為近年中考的熱點，重在考查同學們分析、探索能力以及思維的發散性，但難度適中．根據其特徵大致可分為：條件開放型、結論開放型、方法開放型和編制開放型等四類．
**型問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結論，需要經過推斷，補充並加以證明的一類問題．根據其特徵大致可分為：條件**型、結論**型、規律**型和存在性**型等四類．
二、解題策略與解法精講
由於開放**型試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構思精巧，具有相當的深度和難度，所以要求同學們在複習時，首先對於基礎知識一定要複習全面，並力求紮實牢靠；其次是要加強對解答這類試題的練習，注意各知識點之間的因果聯絡，選擇合適的解題途徑完成最後的解答．由於題型新穎、綜合性強、結構獨特等，此類問題的一般解題思路並無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：
1．利用特殊值（特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規律．
2．反演推理法（反證法），即假設結論成立,根據假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致．
3．分類討論法．當命題的題設和結論不惟一確定，難以統一解答時，則需要按可能出現的情況做到既不重複也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結論綜合歸納得出正確結果．
4．模擬猜想法．即由乙個問題的結論或解決方法模擬猜想出另乙個類似問題的結論或解決方法，並加以嚴密的論證．
以上所述並不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時，應更注重數學思想方法的綜合運用．
三、考點精講
（一）開放型問題
考點一：條件開放型：
條件開放題是指結論給定，條件未知或不全，需探求與結論相對應的條件．解這種開放問題的一般思路是：由已知的結論反思題目應具備怎樣的條件，即從題目的結論出發，逆向追索，逐步探求．
例1：（2011江蘇淮安）在四邊形abcd中，ab=dc，ad=bc.請再新增乙個條件，使四邊形abcd是矩形.你新增的條件是寫出一種即可)
分析：已知兩組對邊相等，如果其對角線相等可得到△abd≌△abc≌adc≌△bcd，進而得到，∠a=∠b=∠c=∠d=90°，使四邊形abcd是矩形．
解：若四邊形abcd的對角線相等，
則由ab=dc，ad=bc可得．
△abd≌△abc≌adc≌△bcd，
所以四邊形abcd的四個內角相等分別等於90°即直角，
所以四邊形abcd是矩形，
故答案為：對角線相等．
評注：此題屬開放型題，考查的是矩形的判定，根據矩形的判定，關鍵是是要得到四個內角相等即直角．
考點二：結論開放型：
給出問題的條件，讓解題者根據條件探索相應的結論並且符合條件的結論往往呈現多樣性，這些問題都是結論開放問題．這類問題的解題思路是：充分利用已知條件或圖形特徵，進行猜想、模擬、聯想、歸納，透徹分析出給定條件下可能存在的結論，然後經過論證作出取捨．
例2：（2011天津）已知一次函式的圖象經過點（0，1），且滿足y隨x的增大而增大，則該一次函式的解析式可以為
分析：先設出一次函式的解析式，再根據一次函式的圖象經過點（0，1）可確定出b的值，再根據y隨x的增大而增大確定出k的符號即可．
解：設一次函式的解析式為：y=kx+b（k≠0），
∵一次函式的圖象經過點（0，1），
∴b=1，
∵y隨x的增大而增大，
∴k＞0，
故答案為y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函式）．
評注：本題考查的是一次函式的性質，即一次函式y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y隨x的增大而增大，與y軸交於（0，b），當b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上．
考點三：條件和結論都開放的問題：
此類問題沒有明確的條件和結論，並且符合條件的結論具有多樣性，因此必須認真觀察與思考，將已知的資訊集中分析，挖掘問題成立的條件或特定條件下的結論，多方面、多角度、多層次探索條件和結論，並進行證明或判斷．
例3：（2010玉溪）如圖，在平行四邊形abcd中，e是ad的中點，請新增適當條件後，構造出一對全等的三角形，並說明理由．
分析：先連線be，再過d作df∥be交bc於f，可構造全等三角形△abe和△cdf．利用abcd是平行四邊形，可得出兩個條件，再結合de∥bf，be∥df，又可得乙個平行四邊形，那麼利用其性質，可得de=bf，結合ad=bc，等量減等量差相等，可證ae=cf，利用sas可證三角形全等．
解：新增的條件是連線be，過d作df∥be交bc於點f，構造的全等三角形是△abe與△cdf．理由：∵平行四邊形abcd，ae=ed，
∴在△abe與△cdf中，
ab=cd，
∠eab=∠fcd，
又∵de∥bf，df∥be，
∴四邊形bfde是平行四邊形，
∴de=bf，
又ad=bc，
∴ad﹣de=bc﹣bf，
即ae=cf，
∴△abe≌△cdf．（答案不唯一，也可增加其它條件）
評注：本題利用了平行四邊形的性質和判定、全等三角形的判定、以及等量減等量差相等等知識．
考點四：編制開放型：
此類問題是指條件、結論、解題方法都不全或未知，而僅提供一種問題情境，需要我們補充條件，設計結論，尋求解法的一類題，它更具有開放性．
例4：（2023年江蘇鹽城中考題）某校九年級兩個班各為玉樹**災區捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人數比1班的人數少10%．請你根據上述資訊，就這兩個班級的「人數」或「人均捐款」提出乙個用分式方程解決的問題，並寫出解題過程．
分析：本題的等量關係是：兩班捐款數之和為1800元；2班捐款數-1班捐款數=4元；1班人數=2班人數×90%，從而提問解答即可．
解：解法一：求兩個班人均捐款各多少元？
設1班人均捐款x元，則2班人均捐款（x+4）元，根據題意得
·90%=
解得x=36 經檢驗x=36是原方程的根
x+4=40
答：1班人均捐36元，2班人均捐40元
解法二：求兩個班人數各多少人？
設1班有x人，則根據題意得
4= 解得x=50 ，經檢驗x=50是原方程的根
90x % =45
答：1班有50人，2班有45人．
評注：對於此類編制開放型問題，是一類新型的開放型問題，它要求學生的思維較發散，寫出符合題意的正確答案即可，難度要求不大，但學生容易犯想當然的錯誤，敘述不夠準確，如單位的問題、符合實際等要求，在解題中應該注意防範．
（二）**型問題
考點五：動態探索型：
此類問題結論明確，而需**發現使結論成立的條件的題目．
例5：（2011臨沂）如圖1，將三角板放在正方形abcd上，使三角板的直角頂點e與正方形abcd的頂點a重合，三角扳的一邊交cd於點f．另一邊交cb的延長線於點g．
（1）求證：ef=eg；
（2）如圖2，移動三角板，使頂點e始終在正方形abcd的對角線ac上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：
（3）如圖3，將（2）中的「正方形abcd」改為「矩形abcd」，且使三角板的一邊經過點b，其他條件不變，若ab=a、bc=b，求的值．
分析：（1）由∠geb+∠bef=90°，∠def+∠bef=90°，可得∠def=∠geb，又由正方形的性質，可利用sas證得rt△fed≌rt△geb，則問題得證；
（2）首先點e分別作bc、cd的垂線，垂足分別為h、i，然後利用sas證得rt△fei≌rt△geh，則問題得證；
（3）首先過點e分別作bc、cd的垂線，垂足分別為m、n，易證得em∥ab，en∥ad，則可證得△cen∽△cad，△cem∽△cab，又由有兩角對應相等的三角形相似，證得△gme∽△fne，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．
解：（1）證明：∵∠geb+∠bef=90°，∠def+∠bef=90°，
∴∠def=∠geb，
又∵ed=be，
∴rt△fed≌rt△geb，
∴ef=eg；
（2）成立．
證明：如圖，過點e分別作bc、cd的垂線，垂足分別為h、i，
則eh=ei，∠hei=90°，
∵∠geh+∠hef=90°，∠ief+∠hef=90°，
∴∠ief=∠geh，
∴rt△fei≌rt△geh，
∴ef=eg；
（3）解：如圖，過點e分別作bc、cd的垂線，垂足分別為m、n，
則∠men=90°，
∴em∥ab，en∥ad．
∴△cen∽△cad，△cem∽△cab，
∴，∴，即，
∵∠ief+∠fem=∠gem+∠fem=90°，
∴∠gem=∠fen，
∵∠gme=∠fne=90°，
∴△gme∽△fne，
∴，∴．
評注：此題考查了正方形，矩形的性質，以及全等三角形與相似三角形的判定與性質．此題綜合性較強，注意數形結合思想的應用．
考點六：結論**型：
此類問題給定條件但無明確結論或結論不惟一，而需探索發現與之相應的結論的題目．
例6：（2011福建省三明市）在矩形abcd中，點p在ad上，ab=2，ap=1．將直角尺的頂點放在p處，直角尺的兩邊分別交ab，bc於點e，f，連線ef（如圖①）．
（1）當點e與點b重合時，點f恰好與點c重合（如圖②），求pc的長；
（2）**：將直尺從圖②中的位置開始，繞點p順時針旋轉，當點e和點a重合時停止．在這個過程中，請你觀察、猜想，並解答：
①tan∠pef的值是否發生變化？請說明理由；
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