2023年最新中考數學題集考前衝刺開放型問題
一、選擇題
1．(2011·蘭州)如圖所示的二次函式y＝ax2＋bx＋c的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條資訊：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a－b<0；(4)a＋b＋c<0.你認為其中錯誤的個數有( )
a．2個 b．3個 c．4個 d．1個
答案 d
解析 (1)由圖象知，該函式圖象與x軸有兩個交點，
∴△＝b2－4ac＞0，故本選項正確；
(2)由圖象知，該函式圖象與y軸的交點在(0,1)，∴c＜1，故本選項錯誤；
(3)由圖象知，對稱軸x＝－＞－1，又函式圖象的開口方向向下，∴a＜0，∴－b＜－2a，即2a－b＜0，故本選項正確；
(4)由圖象知，當x＝1時，y＝a＋b＋c＜0，∴a＋b＋c＜0，故本選項正確；
綜上所述，其中錯誤的是(2)，故選d.
2．(2010·南通)在平面直角座標系xoy中，已知點p(2,2)，點q在y軸上，△pqo是等腰三角形，則滿足條件的點q共有( )
a．5個 b．4個 c．3個 d．2個
答案 b
解析本題只給出了p(2,2)，o(0,0)兩個點的座標，另外乙個點的位置未知，可通過簡單的畫圖，確定點q在y軸上的位置．注意到線段po可以為腰，也可以為底，當線段po為腰時，分別以o、p為圓心，po為半徑作圓與y軸的交點位置即為q的位置，可以在數軸上找出三個點，當以po為底時，作po的垂直平分線與y軸的交點也是q點的位置，可找出乙個，故點q有4個．
3．(2009·瀋陽)如圖，ac是矩形abcd的對角線，e是邊bc延長線上一點，ae與cd交於點f，則圖中相似三角形共有( )
a．2對 b．3對 c．4對 d．5對
答案 c
解析 △adf∽△ecf∽△eba，△abc∽△cda，共4對．
4．如圖，ab是⊙o的直徑，點c在⊙o上，cd⊥ab，de∥bc，則圖中與△abc相似的三角形的個數為( )
a．4個 b．3個 c．2個 d．1個
答案 a
解析分別是△ade、△cde、△bcd、△acd.
5．在等腰△abc中，ab＝ac，中線bd將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊是( )
a．7 b．11
c．7或11 d．7或10
答案 c
解析設ad＝cd＝x，bc＝y則ab＝2x，分類討論：①②
解得故底邊是7或11.
二、填空題
6．(2011·邵陽)請寫出乙個解為x＝2的一元一次方程
答案答案不唯一，如x－2＝0,2x＝4等．
7．(2010·畢節)請寫出含有字母x、y的五次單項式只要求寫乙個)．
答案答案不唯一，例如x2y3，x3y2等．
8．如圖所示，e、f是矩形abcd對角線ac上的兩點，試新增乙個條件使得△adf≌△cbe.
答案不唯一，如：af＝ce，ae＝cf，∠adf＝∠cbe等．
9．(2009·**)如圖，四邊形abcd是平行四邊形，使它為矩形的條件可以是
答案答案不唯一，如ac＝bd，∠adc＝90°等．
10．(2010·益陽)如圖，反比例函式y＝的圖象位於第
一、三象限，其中第一象限內的圖象經過點a(1,2)，請在第三象限內的圖象上找乙個你喜歡的點p，你選擇的p點座標為
答案答案不唯一，x、y滿足xy＝2且x<0，y<0均可．
三、解答題
11．如圖，正方形oabc的面積是4，點b在反比例函式y＝(k>0，x<0)的圖象上，若點r是該反比例函式圖象上異於點b的任意一點，過點r分別作x軸，y軸的垂線，垂足為m、n.從矩形omrn的面積中減去其與正方形oabc重合的面積，記剩餘部分的面積為s，則當s＝m(m為常數，且0解 (1)如圖，若r在點b的左邊，設r(x0，y0)，由題意，得k＝4.故x0y0＝4，由反比例函式的幾何意義可得，四邊形rmad的面積為s(s＝m)，即am·mr＝m，am＝－2－x0，mr＝－y0，故(2＋x0)·y0＝m,2y0＋x0y0＝m,2y0＋4＝m，y0＝，故x0＝，故此時r.
(2)若r在點b的右邊，同理r.
綜上，可得點r的座標為
或.12．(2011·綦江)在如圖的直角座標系中，已知點a(1,0)、b(0，－2)，將線段ab繞點a按逆時針方向旋轉90°至ac.
(1)求點c的座標；
(2)若拋物線y＝－x2＋ax＋2經過點c.
①求拋物線的解析式；
②在拋物線上是否存在點p(點c除外)使△abp是以ab為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點p的座標；若不存在，請說明理由．
解 (1)過點c作cd⊥x軸，垂足為d，
在△acd和△bao中，有∠cad＋∠bao＝90°，∠abo＋∠bao＝90°，∴∠cad＝∠abo.又∵∠adc＝∠aob＝90°，ca＝ab，∴△acd≌△bao，∴cd＝oa＝1，ad＝bo＝2，∴點c的座標為(3，－1)．
(2)①∵拋物線y＝－x2＋ax＋2經過點c(3，－1)，
∴－1＝－×32＋3a＋2，解得a＝.
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋2.
②解法一：
i) 當a為直角頂點時 ，延長ca至點p1，使ap1＝ac＝ab，則△abp1是以ab為直角邊的等腰直角三角形．
過點p1作p1e⊥x軸， ∵ap1＝ac，∠eap1＝∠dac，∠p1ea＝∠cda＝90°，∴△ep1a≌△dca，∴ae＝ad＝2, ep1＝cd＝1，∴可求得p1的座標為(－1,1)．
經檢驗點p1在拋物線上，因此存在點p1滿足條件；
ii) 當b為直角頂點時，過點b作直線l⊥ba，在直線l上分別取bp2＝bp3＝ab，得到以ab為直角邊的等腰rt△abp2和等腰rt△abp3.作p2f⊥y軸，同理可證△bp2f≌△abo，
∴p2f＝bo＝2, bf＝oa＝1，可得點p2的座標為(－2，－1)，經檢驗p2在拋物線上，因此存在點p2滿足條件．
同理可得點p3的座標為(2，－3)，經檢驗p3不在拋物線上，故不存在滿足條件的點p3.
綜上，拋物線上存在點p1(－1,1)，p2(－2，－1)兩點，使得△abp1和△abp2是以ab為直角邊的等腰直角三角形．
解法二：
i) 當點a為直角頂點時，易求出直線ac的解析式為y＝－x＋，由
解之可得p1(－1,1)(已知點c除外)．
作p1e⊥x軸於e，則ae＝2, p1e＝1, 由勾股定理有ap1＝＝.又∵ab＝，∴ap1＝ab，∴△p1ab是以ab為直角邊的等腰直角三角形；
ii)當b點為直角頂點時，過b作直線l∥ac交拋物線於點p2和點p3，易求出直線l的解析式為：
y＝－x－2，由
解得x1＝－2或x2＝4.
∴p2(－2，－1)，p3(4，－4)．
作p2f⊥y軸於f，同理可求得bp2＝＝ab，∴△p2ab是以ab為直角邊的等腰直角三角形．
作p3h⊥y軸於h，可求得bp3＝＝2≠ab，∴△abp3不是等腰直角三角形，∴點p3不滿足條件．
綜上，拋物線上存在點p1(－1,1)，p2(－2，－1)兩點，使得△abp1和△abp2 是以ab為直角邊的等腰直角三角形．
13．(2011·荊州)如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形oabc與cdef的邊oc、oa所在直線為x軸、y軸建立平面直角座標系(o、c、f三點在x軸正半軸上)．若⊙p過a、b、e三點(圓心在x軸上)，拋物線y＝x2＋bx＋c經過a、c兩點，與x軸的另一交點為g，m是fg的中點，正方形cdef的面積為1.
(1)求b點的座標；
(2)求證：me是⊙p的切線；
(3)設直線ac與拋物線對稱軸交於n，q點是此對稱軸上不與n點重合的一動點，①求△acq周長的最小值；②若fq＝t，sδacq＝s，直接寫出s與t之間的函式關係式．
解 (1)如圖甲，連線pe、pb，設pc＝n.
∵正方形cdef面積為1，∴cd＝cf＝1.
根據圓和正方形的對稱性知op＝pc＝n，
∴bc＝2pc＝2n.
而pb＝pe，pb2＝bc2＋pc2＝4n2＋n2＝5n2.
又pe2＝pf2＋ef2＝(n＋1)2＋1，
∴5n2＝(n＋1)2＋1.
解得n1＝1，n2＝－(捨去)．
∴bc＝oc＝2.
∴b點座標為(2,2)．
(2)如圖甲，由(1)知a(0,2)，c(2,0)．
∵a、c在拋物線上，
∴解之，得：
∴拋物線的解析式為y＝x2－x＋2.
∴拋物線的對稱軸為x＝3，即ef所在直線．
∵c與g關於直線x＝3對稱，∴cf＝fg＝1.
∴mf＝fg＝.
在rt△pef與rt△emf中，
＝，＝＝，
∴＝.∵∠pfe＝∠efm＝90°，
∴△pef∽△emf.
∴∠epf＝∠fem.
∴∠pem＝∠pef＋∠fem＝∠pef＋∠epf＝90°.
∴me與⊙p相切．
(3)①如圖丙，延長ab交拋物線於a′，連ca′交對稱軸x＝3於q，連線aq，
則有aq＝a′q，△acq周長的最小值為(ac＋a′c)的長．
∵a與a′關於直線x＝3對稱，a(0,2)，
∴a′(6,2)．
又∵c(2,0)，
∴a′c＝＝2，
而ac＝＝2.
∴△acq周長的最小值為2＋2；
②當q點在f點上方時，s＝t＋1；
當q點**段fn上時，s＝1－t；
當q點在n點下方時，s＝t－1.
2023年中考數學複習考點跟蹤訓練41開放型問題
考點跟蹤訓練41 開放型問題 一 選擇題 1 2011 蘭州 如圖所示的二次函式y ax2 bx c的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條資訊 1 b2 4ac 0 2 c 1 3 2a b 0 4 a b c 0.你認為其中錯誤的個數有 a 2個 b 3個 c 4個 d 1個 答案 d 解析 1 由...
2023年中考數學複習考點跟蹤訓練1實數及其運算
考點跟蹤訓練1 實數及其運算 一 選擇題 1 2011 金華 下列各組數中，互為相反數的是 a 2和 2 b 2和 c 2和 d.和2 答案 a 解析只有符號不同的兩個數，叫做互為相反數 2 2011 台州 在 0 1 2這四個數中，最小的數是 ab 0 c 1d 2 答案 d 解析數的大小比較，正...
2023年中考數學複習考點跟蹤訓練41開放型問題
考點跟蹤訓練41 開放型問題 一 選擇題 1 2011 蘭州 如圖所示的二次函式y ax2 bx c的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條資訊 1 b2 4ac 0 2 c 1 3 2a b 0 4 a b c 0.你認為其中錯誤的個數有 a 2個 b 3個 c 4個 d 1個 答案 d 解析 1 由...