第八章統計與概率的簡單應用
本章小結
知識梳理
專題1體會樣本估計總體的思想，用樣本的平均數、方差來估計總體的平均數和方差.
命題熱點趨向：近幾年來，各地越來越重視用樣本估計總體的考查，具體的考法主要是通過設定分析樣本的資料來估計和推測總體的合理性，作出合理的推斷或大膽的猜測．
解題思路梳理：結合具體問題，明確總體和樣本，根據樣本的資料確定樣本的平均數、方差等，然後用這些統計量估計總體相應的資料．
【例1】（2014·江蘇南京）為了了解某市120000名初中學生的視力情況，某校數學興趣小組，並進行整理分析．
（1）小明在眼鏡店調查了1000名初中學生的視力，小剛在鄰居中調查了20名初中學生的視力，他們的抽樣是否合理？並說明理由．
（2）該校數學興趣小組從該市
七、八、九年級各隨機抽取了1000名學生進行調查，整理他們的視力情況資料，得到如下的折線統計圖．
（第3題圖）
請你根據抽樣調查的結果，估計該市120000名初中學生視力不良的人數是多少？
精析：（1）根據學生全部在眼鏡店抽取，樣本不具有代表性，只抽取20名初中學生，那麼樣本的容量過小，從而得出答案；
（2）用120000乘以初中學生視力不良的人數所佔的百分比，即可得出答案．
解答：（1）他們的抽樣都不合理；
因為如果1000名初中學生全部在眼鏡店抽取，那麼該市每個學生被抽到的機會不相等，樣本不具有代表性；
如果只抽取20名初中學生，那麼樣本的容量過小，樣本不具有廣泛性；
（2）根據題意得：
×120000=72000（名），
該市120000名初中學生視力不良的人數是72000名．
點評：此題考查了折線統計圖，用到的知識點是用樣本估計總體和抽樣調查的可靠性，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的資訊是解決問題的關鍵．
專題3對日常生活中的某些資料發表自己的看法.
命題熱點趨向：統計離不開生活，生活也離不開統計，近幾年中考的統計類考題，常常選取學生日常生活的情境，讓考生通過資料發表自己的看法，這類考題常常也將適當的計算融入進來．
解題思路梳理：通過對統計量的理解，結合實際生活的例子，發表自己的看法，要注意資料的**和處理方法，這樣才能科學判斷，有些資料的獲取就不科學，這樣就不能僅憑片面的資料進行推測．
【例2】（2014南通）九年級（1）班開展了為期一周的「敬老愛親」社會活動，並根據學生做家務的時間來評價他們在活動中的表現，老師調查了全班50名學生在這次活動中做家務的時間，並將統計的時間（單位：小時）分成5組：
a.0.5≤x＜1 b.
1≤x＜1.5 c.1.
5≤x＜2 d.2≤x＜2.5 e.
2.5≤x＜3；並製成兩幅不完整的統計圖（如圖8-6）：
圖8-6
請根據圖中提供的資訊，解答下列問題：
（1）這次活動中學生做家務時間的中位數所在的組是c；
（2）補全頻數分布直方圖；
（3）該班的小明同學這一周做家務2小時，他認為自己做家務的時間比班裡一半以上的同學多，你認為小明的判斷符合實際嗎？請用適當的統計知識說明理由．
分析：（1）可根據中位數的概念求值；
（2）根據（1）的計算結果補全統計圖即可；
（3）根據中位數的意義判斷．
解：（1）c組的人數是：50×40%=20（人），
b組的人數是：50-3-20-9-1=7（人），
把這組資料按從小到大排列為，由於共有50個數，第25、26位都落在1.5≤x＜2範圍內，則中位數落在c組；（2）根據（1）得出的資料補圖如圖8-7：
圖8-7
（3）符合實際．
設中位數為m，根據題意，m的取值範圍是1.5≤m＜2，
∵小明幫父母做家務的時間大於中位數，
∴他幫父母做家務的時間比班級中一半以上的同學多．
點評：本題考查讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取資訊的能力．利用統計圖獲取資訊時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
專題3 根據統計結果作出合理的判斷和**，比較清晰地表達自己的觀點.
命題熱點趨向：選取貼近學生生活的實際問題，給出通過調查得到的資料，為了對所提的問題作出合理的判斷和**，就要選取統計量，通過統計量進行富有說服力的觀點闡述，不過對同一資料，可能會因人而異(分析問題的角度不一樣，個人考慮問題的側重點不一樣)，產生不同的觀點．
解題思路梳理：理解各個統計量(平均數、極差、方差、眾數、中位數等)的本質含義是作出合理判斷和**的前提．以上概念不能僅僅限於計算出結果，更重要的在實際問題中的意義，當然要力求全面、客觀地考慮問題．
【例3】甲、乙兩名射擊選手各自射擊十組，按射擊的時間順序把魅族射中靶的環數值記錄下表：
（1）根據上表資料，完成下列分析表；
（2）如果要從甲、乙兩名選手中選擇乙個參加比賽，應選哪乙個？為什麼？
精析：根據題中給出的資料分別計算出甲、乙兩人的平均數、眾數、中位數、方差、極差，然後根據所得資料進行比較.
解答：（1）眾數甲：98 ；乙：98
中位數乙：96.5
極差乙：13
（2）選擇甲，甲的成績較乙相對穩定.
點評：專題4 根據概率估算.
命題熱點趨向：隨機現象與事件發生的可能性大小是概率中有關概念的核心，通過對簡單隨機事件的概率的計算，考查對隨機現象的理解.同時，通過利用實驗的方法來估計概率，正確理解頻率與概率之間的關係也是每年中考考點．
解題思路梳理：掌握簡單隨機事件的概率的計算方法，理解列表或畫樹狀圖的意義的基礎上計算事件發生的概率，從而解答問題．如果已知概率，可根據概率的意義運用方程思想求解.
【例4】（2014·浙江溫州）乙個不透明的袋中裝有20個只有顏色不同的球，其中5個黃球，8個黑球，7個紅球．
（1）求從袋中摸出乙個球是黃球的概率；
（2）現從袋中取出若干個黑球，攪勻後，使從袋中摸出乙個球是黑球的概率是．求從袋中取出黑球的個數．
精析：（1）由乙個不透明的袋中裝有20個只有顏色不同的球，其中5個黃球，8個黑球，7個紅球，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先設從袋中取出x個黑球，根據題意得列方程解答．
解答：（1）20個球裡面有5個黃球，故；
（2）設從袋中取出（，且為整數）個黑球，則此時袋中總共還有個球，黑球剩個．
∵從袋中摸出乙個球是黑球的概率是，
∴，解得（經檢驗，符合實際）．
答：從袋中取出黑球2個，可使得從袋中摸出乙個黑球的概率是．
點評：這類概率估算題一般都是根據概率的概率列方程求解.
專題5利用概率解決一些實際問題，如判斷遊戲規則是否公平.
命題熱點趨向：現實生活中存在著大量隨機現象，初中數學的概率內容與現實生活緊密相連，因此中考關注考查學生在現實情境中運用概率知識和方法計算簡單隨機事件的概率，為決策判斷提供依據等這些綜合運用能力．
解題思路梳理：首先要會求解簡單隨機事件的概率，會通過列表或畫樹狀**決問題，其次要理解概率在解決問題中意義，如對一些現象作出了合理的解釋、對一些遊戲活動公正性進行評判、對某項活動是否「合算」進行評判等．
【例5】（2014雲南）某市「藝術節」期間，小明、小亮都想去**茶藝表演，但是只有一張茶藝表演門票，他們決定採用抽卡片的辦法確定誰去，規定如下：將正面分別標有數字1、2、3、4的四張卡片（除數字外其餘都相同）洗勻後，背面朝上放置在桌面上，隨機抽出一張記下數字後放回，重新洗勻後背面朝上放置在桌面上，再隨機抽出一張記下數字，如果兩個數字的和為奇數，則小明去；如果兩個數字的和為偶數，則小亮去。
（1）請用列表或畫樹形圖（樹狀圖）的方法表示抽出的兩張卡片上的數字和的所用可能出現的結果；
（2）你認為這個規則公平嗎？請說明理由.
精析：求得兩人獲勝的概率，若相等則公平，否則不公平．
解答：（1）畫樹狀圖如下：
有樹狀圖可知共出現了16種等可能的結果.
(2)出現的奇數有8個，則p（和為奇數）＝＝；p（和為偶數）＝＝.
p（和為奇數）＝p（和為偶數）
∴遊戲公平.
點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重複不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合於兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．
專題6 概率與統計綜合
命題熱點趨向：資料的描述和概率是中考的乙個熱點問題，尤其是概率是中考中經常與其他的知識相結合．
解題思路梳理：解答這一型別的基本方法是根據統計圖尋找出有用的資訊，再分別計算出其他的資料，解答相關問題．然後根據概率的計算方法計算出相應的概率．樹形圖或列表的方法是解決概率經常運用的方法．
【例6】（2014四川內江）為推廣陽光體育「大課間」活動，我市某中學決定在學生中開設a：實心球．b：立定跳遠，c：
跳繩，d：跑步四種活動專案．為了了解學生對四種專案的喜歡情況，隨機抽取了部分學生進行調查，並將調查結果繪製成如圖8-13①②的統計圖．請結合圖中的資訊解答下列問題：
（1）在這項調查中，共調查了多少名學生？
（2）請計算本項調查中喜歡「立定跳遠」的學生人數和所佔百分比，並將兩個統計圖補充完整；
（3）若調查到喜歡「跳繩」的5名學生中有3名男生，2名女生．現從這5名學生中任意抽取2名學生．請用畫樹狀圖或列表的方法，求出剛好抽到同性別學生的概率．
圖8-13
精析：（1）用a的人數除以所佔的百分比，即可求出調查的學生數；
（2）用抽查的總人數減去a、c、d的人數，求出喜歡「立定跳遠」的學生人數，再除以被調查的學生數，求出所佔的百分比，再畫圖即可；
（3）用a表示男生，b表示女生，畫出樹形圖，再根據概率公式進行計算即可．
解答：（1）根據題意得：
15÷10%=150（名）．
答；在這項調查中，共調查了150名學生；
第八章單元小結
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