摘要雨量預報對農業生產、城市工作和生活、洪澇和地質災害等有著重要作用，但準確、及時地對雨量作出預報是乙個十分困難的問題，廣受世界各國關注。我國某地氣象台和氣象研究所正在研究6小時雨量預報方法，即每天晚上20點預報從21點開始的4個時段（21點至次日3點，次日3點至9點，9點至15點，15點至21點）在某些位置的雨量，這些位置位於東經120度、北緯32度附近的53×47的等距網格點上。同時設立91個觀測站點實測這些時段的實際雨量，由於各種條件的限制，站點的設定是不均勻的。
準確率計算公式1 )
絕對誤差計算公式2 )
相對誤差計算公式3 )
進行了誤差對比分析。
利用模糊數學中的綜合評判法建立了模糊評分模型：
（4）(4)式為第i個站點，第j級降雨預報的模糊評分計算公式。
計算了模糊評分,其結果為：
從上表中可看出，兩種預報方法在對雨量預報效果評估上的模糊評分都在85分以上，85這一數值是客觀的，可信的，說明這兩種預報方法是可行的，得出第一種方法在誤差、正確率、模糊評分上都略佔優勢。公式(4)中考慮了公眾對雨量等級預報的敏感程度，從計算結果看，公眾對於題中所分等級的預報是可以接受的。
一、問題的提出
雨量預報對農業生產和城市工作和生活有重要作用，但準確、及時地對雨量作出預報是乙個十分困難的問題，廣受世界各國關注。我國某地氣象台和氣象研究所正在研究6小時雨量預報方法，即每天晚上20點預報從21點開始的4個時段（21點至次日3點，次日3點至9點，9點至15點，15點至21點）在某些位置的雨量，這些位置位於東經120度、北緯32度附近的53×47的等距網格點上。同時設立91個觀測站點實測這些時段的實際雨量，由於各種條件的限制，站點的設定是不均勻的。
氣象部門希望建立一種科學評價預報方法好壞的數學模型與方法。氣象部門提供了41天的用兩種不同方法的預報資料和相應的實測資料。
雨量用公釐做單位，小於0.1公釐視為無雨。
(1) 請建立數學模型來評價兩種6小時雨量預報方法的準確性；
(2) 氣象部門將6小時降雨量分為6等：0.1—2.
5公釐為小雨，2.6—6公釐為中雨，6.1—12公釐為大雨，12.
1—25公釐為暴雨，25.1—60公釐為大暴雨，大於60.1公釐為特大暴雨。
若按此分級向公眾預報，如何在評價方法中考慮公眾的感受？
二、問題的背景與分析
雖然我國幅員遼闊，地形複雜，但降水量的空間分布仍有一定規律。由於受季風影響，我國降水量的地域分布總的趨勢是:從東南沿海向西北內陸逐漸減少。
台灣、福建、海南、廣東、浙江等省年降水量一般在1500～2000公釐(台灣省部分地方可超過4000公釐)，長江中下游地區在1200～1400公釐，淮河流域和秦嶺山地在750～1000公釐，黃河下游、渭河流域在500～750公釐，其他一些地方大部分在200～500公釐，區域性地方達750～1000公釐。在塔里木盆地等沙漠乾旱地區，年降水量僅有幾十公釐，其中新疆的托克遜年最少，降水量只有幾公釐。而台灣的最多降水量達8409公釐。
我國降水量季節分配的特點是夏季最多，冬季最少，春、秋季介於兩者之間。大的雨帶一般5月中旬出現在華南地區，6月中旬北推到長江流域，7月中旬北推到淮河流域以北，至8月下旬到9月上旬開始雨帶又逐步往南推移。隨著我國經濟的快速發展，氣象資訊越來越受到廣泛的關注，無論是人民的生活，還是經濟建設，從城市保障到商業活動都與氣象資訊息息相關。
向社會提供準確及時的氣象資訊是我們的宗旨；滿足人民對氣象資訊的多種需求是我們的目標。因此，準確的對雨量預報，有著十分重要的意義。
我們建立的這個數學模型就是本著對雨量預報的準確度出發，從誤差、準確率、模糊評分等這三個因素來全面評價雨量預報的準確性，而比較兩種預報方法哪一種更準確。
三、模型的假設與約定
1． 假設兩種預報方法本身所產生的系統誤差不予考慮；
2． 假設所用的實測資料的測量誤差不予考慮；
3． 假設所取資料具有普遍性；
4． 假設所選站點的分布在區域內具有隨機性和普遍性；
5． 假設所選站點的經緯分布測量準確；
6． 因為網格均勻分布的，但實測站點的分布由於受地形影響，不能均勻分布，我們忽略站點位置與網格點的距離差別。
四、符號的說明及名詞定義
：準確率；
： 絕對誤差；
：相對誤差；
： 預報雨量；
： 實測雨量；
r： 正確的量級預報次數；
m：預報次數；
：第i個站點，第j級降雨預報的模糊評分；
：預報等級；
：實測等級；
：j級降雨的最大誤差，它由各個等級降雨量的上、下限相減得來。
五、模型建立與求解
為了對這兩種預報方法進行客觀、準確的評估，我們將建立以下兩種模型。
1． 誤差分析模型：
本文將利用以下公式計算誤差：
1 )2 )3 )
對於本題所給出的龐大資料，我們從中隨機選取了某十個站點，在所給網點中篩選出與其相對應的最佳網格點，將網格點的**值作為該站點的**值，並連續選取6月18日至6月27日的各個時段兩種不同方法的**值，將其與實測值進行比較，計算出絕對誤差、相對誤差和準確率。
利用公式(2)進行絕對誤差計算，結果如表1所示：
表1：6-18～6-27兩種預報方法的絕對誤差分析(單位：mm)
利用公式(3)進行相對誤差計算，結果如表2所示：
表2：6-18 ～6-21兩種預報方法的相對誤差分析
利用公式(1)進行準確率計算，結果如表3所示:
表3：6-18 ～6-27兩種預報方法的準確率分析
從以上三個表中，我們可以通過各個階段，不同時間內方法1和方法2的絕對誤差、相對誤差和準確率的對比，兩種預報方法的準確率達到55%以上，具有一定的可信性，得出方法1在較短時間段內具有較高的可信度。
2． 糊評分模型：
為了更客觀地反映預報雨量方法的可信性和準確性，本文將利用模糊數學中的模糊綜合評判的方法，建立模糊評分模型。
雨量預報是把乙個動態變化的過程作為乙個研究系統，模糊數學把這種研究系統稱為論域，用u表示。由於雨量的預報是由多種因素組成的，這些因素是u的元素，記為，對於預報中的每乙個具體要素肯定是u的乙個子集合，記為a、b、c…。任意給出乙個子集合ａ，對於任意元素ｕ，要麼ａ，要麼ａ，二者必居其一，這是集合性質要求的，也是理想化的數學抽象，為了描述和處理事物的模糊關係，模糊數學把「屬於」關係進一步量化，即集合ａ中的乙個某乙個元素對ａ不是「屬於」或「不屬於」關係，而是可以不同程度的「屬於」和不同程度的「不屬於」，即用隸屬度來刻畫這種程度。
隸屬函式值域［0，1］，即隸屬度取值為在0與1之間，本文為了分析方便，將值域設為［0，100］，「屬於」關係用函式關係表示，將論域與值域相對應，這樣就形成子集合ａ唯一確定的乙個對映，它們一一對應。其特點是在諸多的「屬於」關係的評價指標基礎上進行加權平均，得出乙個無量綱的綜合評價值，然後比較綜合評價值的大小，對受到多個因素制約的事物或物件做出乙個總的評價，這就是所謂的綜合評判問題，根據所給條件，給每乙個物件給予乙個評判指標，稱之為模糊評分。
**氣象台根據模糊綜合評判原理，得出計算第i個流域第j級降雨預報的模糊評分公式：
(4)式中為預報等級，為實測等級，為j級降雨的最大誤差，它由等級降雨量上、下限相減得來。我們利用此公式計算各站點的各級降雨預報的模糊評分。模糊評分的數值與三個因子有關：
預報等級j，等級誤差和該等級最大等級誤差max(j)，該式包括兩項：第一項「60」為有雨預報正確的基礎分，第二項為等級預報的加權分，規定它的最低分為60。
當預報和實況等級一致而數值不等時也有誤差，這樣計算出來的模糊評分精度不夠高，即它只表示某一預報等級貼近等級的程度。為了模糊評分更加精確，我們用絕對誤差代替等級誤差，公式(4)寫為
(5)利用公式（5）計算的模糊評分精度有所提高，此模糊評分表示某乙個等級預報貼近實況數值的程度，根據誤差大小計算的模糊評分，表示預報貼近實況的程度，分值越高，預報越接近實況。規定：當絕對誤差大於最大等級誤差max(j)時，公式(5)中第二項為0,為了評定雨量級的預報，當預報的數值屬於某個量級時，就認為預報了該等級的雨量。
為了誤差的統計，用到以下兩個公式：
第i個站點模糊評分（n為降雨等級數）
6)第j級降雨模糊評分為（t為站點數）
7)利用公式(5)、(6)、(7)進行模糊評分計算，結果如表4所示：
表4：6-18 ～6-27兩種預報方法的模糊評分
從表4看出，兩種預報方法的模糊評分都在85分以上，可信度比較高，方法1略好一點。
公眾對於低等級雨量預報較為敏感，隨著雨量的增大，公眾的敏感度也降低，當雨量大至某乙個數量（例如20mm），公眾對雨量的預報將不再敏感，通俗的說，當雨量在無雨、小雨和中雨之間，公眾要求對雨量的預報更加準確。當雨量大到暴雨以上的程度時，公眾對於雨量級的預報要求有所降低，這時雨量預報的誤差可以偏大些。題目當中所定的無雨、小雨、中雨、大雨、暴雨、大暴雨的最大誤差分別為：。
在計算模糊評分的公式中，公式中第二項正好符合公眾感受的要求，無雨、小雨時，值較小，的變化對模糊評分的計算影響較大，誤差範圍要求不能過大；當達到暴雨以上級別時，值較大， 的變化對模糊評分的計算影響相對較小，誤差範圍可以適當放大。從計算結果看，按題中所劃等級向公眾預報，較符合公眾的感受。
雨量預報方法的評價
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