高教社杯全國大學生數學建模競賽
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2吳曉凡
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日期： 年月日
賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：
本文圍繞地區創新評價問題，建立了主成分分析模型，時序全域性主成分分析法模型，利用spss實現了從縱向的時間維度及橫向的空間維度兩方面對不同時間不同地區的創新能力進行量化評價。
對於問題一和二，用主成分分析法進行求解。首先提取資料異數值進行處理，然後根據區域創新能力評價體系，確立一級指標和二級指標，選取相關指標，對逆向指標正向化處理，並且對所有指標資料標準化處理，然後利用spss對所有資料降維處理，得出各年地區創新能力分類排名和綜合排名。
對於問題三，建立時序立體資料表，對多維動態資料系統給出時序全域性主成分分析模型及較為詳細的計算步驟。首先對逆向指標正向化，並用spss對所有指標標準化。進行因子分析通過kmo和bartlett檢驗，篩選出6個因子，得到成分得分係數矩陣，求出總得分，可在時間空間上動態描述區域經濟差異。
對於問題四，可通過模型一的主成分分析法求解，根據區域創新能力評價體系尋找北京、上海、廣州、深圳、天津、青島、杭州等7個城市的資料，通過spss降維處理得出各個城市創新能力分數並排序，相對排名和富比士中國大陸創新能力城市排行中的排名做相關性檢驗。
考慮到要實現總體性、多層次的評價目標，本文根據創新能力評價體系對不同城市不同指標做出了得分求解和排名，實現了從時空上多層次地對城市創新能力進行多指標綜合評價。
21世紀以來，隨著以提供知識和資訊為主的服務經濟逐漸取代工業經濟，建立創新型城市成為了乙個國家或地區的發展戰略之一。創新是城市發展最直接有效的途經，憑藉其創造性、整合性和開放性，有利於提高城市競爭力，最終實現經濟可持續發展的目標。雖然反映綜合實力的地區創新能力問題一直是討論的熱點，但同時從時間以及空間兩方面客觀評價地區的創新能力一直沒有達成共識。
附件給出了某3年我國20個地區與創新能力評價有關的指標，根據這些指標或者指標之間的相互關係，請自行科學地挑選或者構造有用的評價指標，通過數學模型，建立乙個創新能力評價體系，討論以下問題：
1.模型（或評價體系）要求實現總體性、多層次的評價目標。
2.根據建立的模型，分別對各年進行20個地區間的創新能力排序。
3.改進問題1和問題2中建立的模型，從縱向的時間維度以及橫向的空間維度兩方面同時對20個地區3年的創新能力進行比較分析。也即要求改進的模型能夠進行同一年份的地區間比較，同一地區不同年份的自身比較，以及不同年份、不同地區間的相互比較。
4.以北京、上海、廣州、深圳、天津、青島、杭州6個城市為例，尋找相應的資料指標，評價模型的科學性以及實用性。
總體性，多層次反映乙個地區創新能力是我們要解決的核心問題。針對此問題，在對異常資料進行處理和所有資料標準化後，用主層分分析法對同一年份不同地區進行比較，通過降維得到主成分累計貢獻率達80%以上的主成分量化代表多個指標，並通過做出可以分析三個年份的模型，從而建立評價體系，對20各地區進行分析，得出總分，進行排名。
對於問題三，要求改進模型一，實現從縱向的時間維度以及橫向的空間維度兩方面同時對不同地區三年間的創新能力進行比較分析，針對此問題，將資料變換為時序立體資料表，利用時序主成分分析法對所有資料進行因子分析，其中kmo值大於0.7，適合做因子分析，經過15次旋轉收斂後得到代表性更強的公共因子和特殊因子以代表整體指標，從而建立評價體系，得到不同地區不同年份的創新能力評分，並對已分類的一級指標得分進行計算比較，實現多層次總體性評價地區的創新能力。
對於問題四，在尋找各類二級指標的資料後進行模型一的主成分分析，算出在模型一下的得分及排名，並與其真實排名進行相關性檢驗以求證模型的科學性及實用性。
1、地區創新能力主要受所給指標以及處理過後指標的影響，其他因素影響不大
2、所有資料均是真實可靠的
3、2023年美元兌人民幣為1:6.3125
第i個樣本第j個指標
相關係數矩陣
特徵值特徵向量
方差貢獻率
第i個樣本第j個主成分
為了後面建模與程式設計的方便，在建立此模型前，我們有必要做一些準備工作。
5.1資料預處理
在對附件中的資料進行觀察時，發現有些資料異常和缺失：
（1） 第1年「新產品出口」中地區19和20的資料缺失
（2） 在「科技機構中基礎研究支出佔r&d支出比例」和「科技機構r&d支出中企業資金比例」指標的資料為「0」的比重3年平均達83.3%和85%。
為了減少缺失與異常資料對結果的影響，做了如下處理：
（1） 取第2年「新產品出口」中地區19和20的資料為中間值進行處理，但所得結果地區20為負數，改用與「出口總額」等比例計算。
（2） 刪除「科技機構中基礎研究支出佔r&d支出比例」和「科技機構r&d支出中企業資金比例」指標
5.2指標構造和篩選
根據國家統計局資料[1]對區域創新能力的相關指標進行處理，如捨棄、加總、取比重等，以及分類。分為創新環境、創新投入、創新產出、創新成效4類一級指標和21個二級指標，如表1：
6.1模型一的建立
該模型針對問題一，二，僅考慮同一年份不同地區的創新能力評分。
，並且這些根據實際選取的綜合指標能夠盡可能多的反映原指標的資訊。由於選取構建的二級指標較多，而且存在相關性，所以本文根據選這些指標，運用主成分分析法，得出對同一年份地區各自關於4類一級指標的綜合分數和總指標的綜合分數，對地區的創新能力進行分層次和總體評價。
步驟如下：
6.1.1逆向指標的正向化
在多指標綜合評價中，指標的趨勢與量綱會影響到結果的準確性，所以必須對所有指標的同趨勢化和無量綱化。在21個指標中，「單位gdp能耗」和「單位工業增加值能耗」為逆向指標，取其倒數進行正向化，即
其中，標準化資料的相關係數矩陣：
其中相關矩陣的特徵根和特徵向量，令
求得特徵根
特徵根貢獻率
累計貢獻率
令，求得相應的特徵向量並確定主成分個數，通常用作為納入標準，或者使得累計貢獻率達80%或85%以上。當時，說明該主成分的解釋力度還不如直接引入乙個原變數的平均解釋力度大，而，說明前m個主成分包含原始資料的資訊總量已達80%，用這m個主成分代表原來的p個指標評價有足夠的把握。計算每個樣本的主成分得分，第i個樣本在第j個主成分上的得分為：
單個主成分的總得分為所有樣本的加總。
以主成分的貢獻率為權重, 構造綜合得分函式：
，其中4類一級指標各自的得分可由各自樣本的m個主成分得分求得。
運用excel對附件進行資料處理和指標篩選與構建後，取倒數將「單位gdp能耗」和「單位工業增加值能耗」兩個逆向指標正向化。
運用spss軟體對分別對3年資料進行降維處理，得到表2-1，表2-2，表2-3（表2-2，表2-3見附錄）的關於每個主成分的特徵值以及方差貢獻率：
由表2-1 分析可知，第一 、第二 、第三，第四，第五，第六個主成分累計貢獻率已高於85%，前6個因子可以反映第一年原始資料的大部分資訊。提取前6個因子作為公共因子，進一步通過計算得到6個主成分的特徵向量。
從表2-2，2-3分析可知，前五個主成分累計貢獻率已大於80%，前5個因子可以反映第二年，第三年的大部分資訊，因此提前前5個因子作為公共因子。
按特徵值大於1作為納入標準，對於第1年前6個特徵值大於1的主成分，第2年和第3年前5個主成分，其累計貢獻分別已達87.303%、82.403%和81.
758%，提取的這些主成分能夠反映原指標的絕大部分資訊。
通過spss得到主成分的載荷向量後除以特徵值即得每個主成分特徵向量，得表2-4, 2-5,2-6（表2-5,2-6見附錄）顯示的各標準化指標的係數矩陣。
各主成分得分就是特徵向量即係數乘以相應的標準化資料，再對主成功得分以各個主成分的方差貢獻率為係數( 權重)進行加權求和，最後求出4類一級指標的各自得分，排名，以及總體綜合得分和排名（表2-7）。
根據結果分析，
（1）只有在各個方面，包括創新環境、投入、產出、成效上具有綜合優勢，才能獲得高的綜合能力評價。如地區2各方面處於領先地位，優勢明顯，在創新能力評價上位居第一。反觀地區6，雖然在創新投入方面排名靠前，但其他方面能力較弱，綜合排名不高。
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