湖南省各地市2023年高考數學最新聯考試題分類大彙編
第14部分:複數、推理與證明
一、選擇題：
1. （湖南省師大附中2010屆高三第七次月考理科）已知複數(i為虛數單位），則複數在復平面上所對應的點位於 （ b ）[**:學科網][**:z*xx*
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限[**:z|xx|**:學科網]
【解析】因為，則對應的點位於第二象限，故選b.[**:學科網]
1. （湖南省師大附中2010屆高三第七次月考文科）已知複數(是虛單位)，若，則的虛部是d ）
abcd. [**:z§xx§
【解析】由，得，即.又，則.
所以，其虛部為，故選d.
1．（湖南省懷化市2023年高三第二次模擬考試統一檢測理科）複數的共軛複數對應的點在復平面的（ b
a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限
1．（湖南省懷化市2023年高三第二次模擬考試統一檢測文科）是複數為純虛數的（ b ）[**:學*科*網]
a．充分不必要條件b．必要不充分條件[**:學科網zxxk]
c．充要條件d．既不充分又不必要條件[**:學科網]
1．（湖南省長沙市四縣2010屆高三調研聯考文科）若複數，則（d）
ab．1cd．
1．（湖南省2023年高考適應性測試理科）複數的虛部是c ）
abcd．
1. （湖南省岳陽市2010屆高三教學質量檢測試題二理科）已知是虛數單位，等於a ）
a -1b 1c i d -i[**:學+科+網][**:學科網zxxk]
二、填空題：
15．（湖南省長沙一中、雅禮中學2010屆高三3月聯考理科）下面的陣列均由三個數組成，它們是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(an，bn，cn)．
（1）請寫出cn的乙個表示式，cn
（2）若數列的前n項和為mn，則m10用數字作答）[**:學科網][**:z*xx*
【解析】cn = n + 2n；2101 由1，2，3，4，5，……猜想an = n；由2，4，8，16，32，……猜想bn = 2n；由每組數都是「前兩個之和等於第三個」猜想cn = n + 2n．從而m10 = (1 + 2 + … + 10) + (2 + 22 + … + 210) =
9．（湖南省湘潭市2010屆高三第三次模擬考試理科）若複數
13. （湖南省岳陽市2010屆高三教學質量檢測試題二理科）記等差數列的前n項和sn, 利用倒序求和的方法得：；類似的，記等比數列的前n項的積為tn，且bn>0 )，試模擬等差數列求和的方法，
可將tn表示成首項b1，末項bn與項數n的乙個關係式，即公式tn
9．（湖南省長沙市一中2010屆高三第九次月考理科）已知複數z滿足(i為引數單位)，則複數z的實部與虛部之和為 ．
12．（湖南省長沙市一中2010屆高三第九次月考理科）公比為4的等比數列中，若tn是數列的前n項積，則有仍成等比數列，且公比為4100；模擬上述結論，在公差為3的等差數列中，若sn是的前n項和，則有也成等差數列，該等差數列的公差為300
三、解答題
21．（湖南省湘潭市2010屆高三第三次模擬考試理科）（本題滿分13分）[**:學.科.網z.x.x.k]
已知數列的各項均是正數，其前n項和為，其中p為正常數，且，[**:學科網zxxk]
（i）求數列的通項公式；[**:學_科_網]
（ii）設數列項和為，是否存在正整數m，使得對於恆成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，說明理由；
（iii）試證明：當
21．解：（1）由題設知 ………………1分
即， ………………3分
可見，數列的等比數列，
………………4分
（2）………………6分
依題意要使恆成立，只需
解得所以m的最小值為1 ………………8分
（3）………………9分
由柯西不等式有：
所以 ………………11分
又 …………13分
（其它解法仿照給分）
19. （湖南省師大附中2010屆高三第七次月考理科）(本題滿分13分)
把所有正整數按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示
的數表，其中第行共有個正整數.設（i、j∈n*）表示
位於這個數表中從上往下數第i行，從左往右數第j個數.
（ⅰ）若＝2010，求i和j的值；[**:學+科+網z+x+x+k]
（ⅱ）記n*)，試比較與的大小，並說明理由.
【解】（ⅰ）因為數表中前i－1行共有個數，則第i行的第乙個數是，所以2分）
因為，＝2010，則i－1＝10，即i＝114分）
令，則5分）
（ⅱ）因為，則n6分）[**:學科網zxxk]
所以.所以. （7分）
檢驗知，當，2，3時，，即. （8分）
猜想：當時9分）
證法一：當時,
12分）[**:學|科|網]
綜上分析，當時，；當時13分）
證法二：① 當時，，所以成立.（10分）
② 假設當時，不等式成立，即.
則.因為，
所以，即當時，猜想也正確.
由①、②得當時,成立.
綜上分析，當時，；當時， . （13分）
20．（湖南省長沙市一中2010屆高三第九次月考理科）（本小題滿分13分）已知函式f (x) = eg(x)，g (x) = (e是自然對數的底)，
（1）若函式g (x)是(1，+∞)上的增函式，求k的取值範圍；
（2）若對任意的x＞0，都有f (x)＜x + 1，求滿足條件的最大整數k的值；
（3）證明：ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln[1 + n (n + 1)]＞2n – 3 (n∈n*)．
20．【解析】（1）設因為g (x)是(1，+∞)上的增函式，[****:學科網]
所以g′(x)＞0，得到k＞ – 1；所以k的取值範圍為(–14分
（2）由條件得到f (1)＜2猜測最大整數k = 2， …5分
現在證明對任意x＞0恆成立，[**:z*xx*
等價於設
故x∈(0，2)時，h′(x)＜0，當x∈(2，+∞)時，h′(x)＞0，
所以對任意的x＞0都有h (x)≥h (2) = ln3 + 1＞2，即對任意x＞0恆成立，[**:學#科#網]
所以整數k的最大值為28分[**:學科網zxxk]
（3）由（2）得到不等式
ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln[1 + n (n + 1)] ＞
＞所以原不等式成立12分
14複數 推理與證明
2011年高考試題解析數學 理科 分項版 一 選擇題 1.2011年高考山東卷理科2 複數z 為虛數單位 在復平面內對應的點所在象限為 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 4.2011年高考浙江卷理科2 把複數的共軛複數記作，若，為虛數單位，則 a b c d 答案 a 解析 故...
專題14 複數 推理與證明
2011年高考試題解析數學 理科 分項版 一 選擇題 1.2011年高考山東卷理科2 複數z 為虛數單位 在復平面內對應的點所在象限為 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 4.2011年高考浙江卷理科2 把複數的共軛複數記作，若，為虛數單位，則 a b c d 答案 a 解析 故...
推理證明與複數
1 演繹推理是 特殊到一般的推理 特殊到特殊的推理 一般到特殊的推理 一般到一般的推理 2 下面幾種推理是合情推理的是 由圓的性質模擬得出球的有關性質 由直角三角形 等腰三角形 等邊三角形內角和是180 歸納出所有三角形的內角和都是 四邊形內角和是，五邊形內角和是，由此得出凸多邊形內角和是 3 觀察...