1. 如圖，點p在圓o直徑ab的延長線上，且pb＝ob＝2，pc切圓o於c點，cd⊥ab於d點，求pc和cd的長．
解：由切割線定理得pc2＝pb·pa＝12，∴ pc＝2，鏈結oc，則oc＝op，
∴ ∠p＝30°，
∴ cd＝pc＝.
2. 如圖，ac為圓o的直徑，弦bd⊥ac於點p，pc＝2，pa＝8，求tan∠acd的值．
解：由相交弦定理和垂徑定理得bp2＝pc·pa＝16，bp＝4.∵ ∠acd＝∠abp，∴ tan∠acd＝tan∠abp＝＝＝2.
3. 如圖，點a，b，c是圓o上的點，且ab＝4，∠acb＝45°，求圓o的面積．
解：(解法1)鏈結oa、ob，則∠aob＝90°.
∵ ab＝4，oa＝ob，
∴ oa＝2，則s圓＝π×(2)2＝8π.
(解法2)2r＝＝4 r＝2，則s圓＝π×(2)2＝8π.
4. 如圖，點b在圓o上， m為直徑ac上一點，bm的延長線交圓o於n，∠bna＝45°，若圓o的半徑為2，oa＝om，求mn的長．
解：∵ ∠bna＝45°，∴ ∠boa＝90°.∵ om＝2，bo＝2，∴ bm＝4.∵ bm·mn＝cm·ma＝(2＋2)(2－2)＝8，∴ mn＝2.
5. 如圖，已知p是圓o外一點，pd為圓o的切線，d為切點，割線pef經過圓心o，若pf＝12，pd＝4，求圓o的半徑長和∠efd的大小．
解：由切割線定理，得pd2＝pe·pf pe＝＝＝4 ef＝8，od＝4.∵ od⊥pd，od＝po，∴ ∠p＝30°，∠pod＝60°，∴∠pde＝∠efd＝30°.
1. 圓周角定理
(1) 圓周角定理：圓周角的度數等於其所對弧度數的一半．
(2) 推論1：同弧(或等弧)上的圓周角相等．同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．
(3) 半圓(或直徑)上的圓周角等於90°.反之，90°的圓周角所對的弦為直徑．
2. 圓的切線
(1) 圓的切線的性質與判定
① 切線的定義：當直線與圓有2個公共點時，直線與圓相交；當直線與圓有且只有1個公共點時，直線與圓相切，此時直線是圓的切線，公共點稱為切點；當直線與圓沒有公共點時，直線與圓相離．
② 切線的判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．
③ 切線的性質定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑．
④ 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線長相等．
(2) 弦切角
① 弦切角的定義：頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角稱為弦切角．
② 弦切角定理：弦切角的度數等於所夾弧的度數的一半．
③ 推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．
3. 相交弦定理
相交弦定理：圓的兩條相交弦，被交點分成的兩段的積相等．
4. 切割線定理
(1) 割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓的交點的兩條線段的積相等．
(2) 切割線定理：從圓外一點引圓的一條割線與一條切線，切線長是這點到割線與圓的兩個交點的線段的等比中項．
5. 圓內接四邊形
(1) 圓內接四邊形性質定理：圓內接四邊形對角互補．
(2) 圓內接四邊形判定定理：如果四邊形的對角互補，則此四邊形內接於圓．
[備課札記]
題型1 探求角的關係
例1 如圖，ab是圓o的直徑，弦bd、ca的延長線相交於點e，ef垂直ba的延長線於點f.求證：∠dea＝∠dfa.
證明： 鏈結ad，因為ab為圓的直徑，所以∠adb＝90°.又ef⊥ab，∠efa＝90°，所以a、d、e、f四點共圓．所以∠dea＝∠dfa.
(2011·南通三模)如圖，圓o的直徑ab的延長線與弦cd的延長線相交於點p，e為圓o上一點，ae＝ac，求證：∠pde＝∠poc.
證明：因為ae＝ac，ab為直徑，故∠oac＝∠oca＝∠oae.所以∠poc＝∠oac＋∠oca＝∠oac＋∠oae＝∠eac.又∠eac＝∠pde，所以∠pde＝∠poc.
題型2 求線段長度
例2 如圖所示，圓o的兩弦ab和cd交於點e，ef∥cb，ef交ad的延長線於點f，fg切圓o於點g.
(1) 求證：△def∽△efa；
(2) 如果fg＝1，求ef的長．
(1) 證明：因為ef∥cb，所以∠bce＝∠fed.
又∠bad＝∠bcd，所以∠bad＝∠fed.
又∠efd＝∠efd，所以△def∽△efa.
(2) 解：由(1)得＝，即ef2＝fa·fd.因為fg是切線，所以fg2＝fd·fa，所以ef＝fg＝1.
如圖，圓o是等腰三角形abc的外接圓，ab＝ac，延長bc到點d，使cd＝ac，鏈結ad交圓o於點e，鏈結be與ac交於點f.
(1) 判斷be是否平分∠abc，並說明理由；
(2) 若ae＝6，be＝8，求ef的長．
解：(1) be平分∠abc.
∵ cd＝ac，∴ ∠d＝∠cad.
∵ ab＝ac，∴ ∠abc＝∠acb.
∵ ∠ebc＝∠cad，∴ ∠ebc＝∠d＝∠cad.
∵ ∠abc＝∠abe＋∠ebc，∠acb＝∠d＋∠cad，
∴ ∠abe＝∠ebc，即be平分∠abc.
(2) 由(1)知∠cad＝∠ebc＝∠abe.
∵ ∠afe＝∠abe，
∴ △aef∽△bea.∴＝.
∵ ae＝6，be＝8，
∴ ef＝＝＝.
題型3 證明線段相等
例3 如圖，在△abc中，已知cm是∠acb的平分線，△amc的外接圓交bc於點n.若ac＝ab，求證：bn＝2am.
證明： 在△abc中，因為cm是∠acb的角平分線，所以＝.
又已知ac＝ab，所以＝.①
又ba與bc是圓o過同一點b的割線，
所以bm·ba＝bn·bc，即＝.②
由①②可知，＝，所以bn＝2am.
如圖，圓o的直徑ab＝2，c是圓o外一點，ac交圓o於點e，bc交圓o於點d，已知ac＝ab，bc＝4，求△ade的周長．
解：∵ ab是圓o的直徑，∴ ad⊥bc.
又ac＝ab，∴ ad是△abc的中線．
又bc＝4，∴ bd＝dc＝2，
∴ ad＝＝4.
由ce·ca＝cd·cb，得ce＝.
∴ ae＝2－＝.
由∠dec＝∠b＝∠c，所以de＝dc＝2.
則△ade的周長為6＋.
題型4 證明線段成比例
例4 如圖，在△abc中，∠b＝90°，以ab為直徑的圓o交ac於d，過點d作圓o的切線交bc於e，ae交圓o於點f.求證：
(1) e是bc的中點；
(2) ad·ac＝ae·af.
證明：(1) 鏈結bd，因為ab為圓o的直徑，所以bd⊥ac.又∠b＝90°，所以cb切圓o於點b且ed切圓o於點d，因此eb＝ed，所以∠ebd＝∠edb，∠cde＋∠edb＝90°＝∠ebd＋∠c，所以∠cde＝∠c，得ed＝ec，因此eb＝ec，即e是bc的中點．
(2) 鏈結bf，顯然bf是rt△abe斜邊上的高，可得△abe∽△afb，於是有＝，
即ab2＝ae·af，同理可得ab2＝ad·ac，
所以ad·ac＝ae·af.
如圖，pa切圓o於點a，割線pbc交圓o於點b、c，∠apc的角平分線分別與ab、ac相交於點d、e，求證：
(1) ad＝ae；
(2) ad2＝db·ec.
證明：(1) ∠aed＝∠epc＋∠c，∠ade＝∠apd＋∠pab.因為pe是∠apc的角平分線，所以∠epc＝∠apd.
又pa是圓o的切線，故∠c＝∠pab.所以∠aed＝∠ade.所以ad＝ae.
(2) △pce∽△pad＝.△pae∽△pbd＝.又pa是切線，pbc是割線pa2＝pb·pc ＝.故＝.又ad＝ae，所以ad2＝db·ec.
1. (2013·廣東)如圖，ab是圓o的直徑，點c在圓o上，延長bc到d使bc＝cd，過c作圓o的切線交ad於e.若ab＝6，ed＝2，求bc的值．
解：依題意易知△abc∽△cde，所以＝，又bc＝cd，所以bc2＝ab·de＝12，從而bc＝2.
2. (2013·重慶)如圖，在△abc中，∠c＝90°，∠a＝60°，ab＝20，過c作△abc的外接圓的切線cd，bd⊥cd，bd與外接圓交於點e，求de的長．
解：延長ba交切線cd於m.因為∠c＝90°，
所以ab為直徑，所以半徑為10.鏈結oc，則oc⊥cd，且oc∥bd.
因為∠oac＝60°，所以∠aoc＝60°，∠obe＝60°，
即be＝ob＝10且∠m＝30°.
所以om＝2oc＝20，所以am＝10.
所以bd＝(am＋ab)＝＝15，
即de＝bd－be＝15－10＝5.
3. (2013·江蘇)如圖，ab和bc分別與圓o相切於點d、c，ac經過圓心o，且bc＝2oc.求證：ac＝2ad.
選修4 1幾何證明選講
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