等積式證明的常用方法

等積式的證明是初中幾何非常常見的題型，同時也是令許多學生頭疼的一種題型，特別是在一些圖形複雜，線段較多的題目中，往往令人眼花瞭亂無從下手。

等積式的證明有沒有技巧呢？其實只要我們冷靜分析，我們將會發現許多等積式的證明也是有規律可循的。

常用方法一：三點定形法

例1 如圖：在rt△abc中，°於d，e為ac的中點，ed的延長線交cb的延長線於點p，求證：.

分析：先把轉化為比例式，在比例式左邊線段pd、pb的端點分別為點p、d、b，由點p、d、b可確定△pbd，同理由比例式右邊的線段pc、pd的端點p、c、d可確定△pcd. 所以要證明等積式，只需要證明比例式，要證明，由三點定形法只需要證明△∽△pcd即可.

證明：°°又ac的中線，°

又°°°又△∽△pcd

注：三點定形法證明等積式的一般步驟：

1．先把等積式轉化為比例式；

2．觀察比例式的線段確定可能相似的兩個三角形；

3．再找這兩個三角形相似所需的條件.

常用方法二：找相等的量（比、線段、等積式）替換

例2 如圖：已知梯形abcd中，ab∥cd，ac、bd交於點o，be∥ad交ac的延長線於點e，求證：

分析：要證明，只需要證明即可，但oa、oc、oe在一條直線上，不能直接用三點定形法來證明，但可以用中間比。由題意可知：，從而可證.

證明：∵ be∥ad

又∵ ab∥cd

例3 已知：等腰△abc中，於d，cg∥ab，bg分別交ad、ac於e、f，求證：.

分析：在中，線段be、ef、eg在一條直線上，但可以找相等的線段來替換，由等腰三角形性質可知，ad為bc的垂直平分線，故，從而轉化為證，也就是證它們確定的△cef和△gec相似.

證明：鏈結ec

，ad垂直平分bc

，即∥ab又∴ △cef∽△gec

例4 如圖，已知ce是rt△abc斜邊ab上的高，在ec的延長線上取一點p，鏈結ap，垂足為g，交ce於d，求證：.

分析：在中，線段ce、pe、de在一條直線上無法直接用「三點定形法」來證，並且也找不到相等的比、線段來替換，但我們可以用相等的等積式來替換，可以先證：，再證.

證明：°，°又°°又

△aec∽△ceb

°，°°

在△pae中，°°又°

△pea∽△bed

注：當要證明的比例式中的線段在同一條直線上時，可以用相等的比、相等的線段、相等的等積式來替換相應的量，把看似無路可走的題目盤活，從而達到「車到山前疑無路，柳暗花明又一村」的效果.

常用方法三：利用相似三角形的性質

例5 如圖，rt△abc中，°，於點d，的平分線ae交cd於點f，交cb於點e.

求證：.

分析：觀察中的四條線段，發現af、ae在一條直線上，而且沒有相等的量（比、線段、等積式）可替換，但af、ae分別是△acd和△abc的內角平分線，cd、cb也是△acd和△abc的邊，所以只要證明△acd∽△abc即可.

證明：°又°又

△cda∽△bca

注：相似三角形的對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等於相似比，我們可以利用這些性質來證明有關的等積式往往會起到事半功倍的效果！