方法1 三點定型法
要證明的比例式的四條線段恰好是兩個三角形的對應邊時，可直接用三點定型法找相似三角形．
1．已知：如圖，∠abc＝∠ade.求證：ab·ae＝ac·ad.
2．(濱州中考)如圖，△abc中，∠abc＝2∠c，bd平分∠abc交ac於d.求證：ab·bc＝ac·bd.
方法2 等線段代換法
從要證的結論難以找到相似三角形時，往往可用相等的線段去替換結論中的某些線段，再用三點定型法找相似三角形．
3．已知：如圖，abcd中，e是cb延長線上一點，de交ab於f.求證：ad·ab＝af·ce.
4．如圖，在△abc中，點d，e在邊bc上，且△ade是等邊三角形，∠bac＝120°，求證：de2＝bd·ce.
5．如圖，已知在△abc中，ab＝ac，ad是bc邊上的中線，cf∥ba，bf交ad於p點，交ac於e點．求證：bp2＝pe·pf.
方法3 等比代換法(找中間比)
要證明的比例式無法直接通過平行或相似證出時，往往要找中間比進行過渡．
6．如圖，在△abc中，點d、e、q分別在ab、ac、bc上，且de∥bc，aq交de於點p.求證：＝.
7.如圖，△abc中，∠acb＝90°，cd⊥ab於d，e為ac的中點，ed、cb的延長線交於點f，求證：＝.
8．已知如圖，d是△abc的邊ab上一點，de∥bc，交邊ac於點e，延長de至點f，使ef＝de，連線bf，交邊ac於點g，連線cf.
(1)求證：＝；
(2)如果cf2＝fg·fb，求證：cg·ce＝bc·de.
方法4 等積代換法(找中間積)
常用到基本圖形的結論找中間積．
9．如圖，在△abc中，ad⊥bc於d，de⊥ab於e，df⊥ac於f，求證：ae·ab＝af·ac.
10．(崇明中考)如圖，△abc中，點d、e分別在bc和ac邊上，點g是be邊上一點，且∠bad＝∠bgd＝∠c，連線ag，求證：＝.
11．如圖，在△abc中，ad，bf分別是bc，ac邊上的高，過d作ab的垂線交ab於e，交bf於g，交ac的延長線於h，求證：de2＝eg·eh.
參***
小專題(十) 等積式與比例式的證明
針對訓練
1．證明：∵∠abc＝∠ade，∠a＝∠a，∴△abc∽△ade.∴＝，即ab·ae＝ac·ad.
2.證明：∵∠abc＝2∠c，bd平分∠abc，∴∠abd＝∠dbc＝∠c.
又∵∠a為公共角，∴△abc∽△adb.∴＝，即ab·bc＝ac·bd. 3.
證明：在abcd中，∠a＝∠c，ab＝cd，ad∥bc，∴∠adf＝∠e.∴△adf∽△ced.
∴＝.∴＝，即ad·ab＝af·ce. 4.
證明：∵△ade是等邊三角形，∴de＝ad＝ae，∠ade＝∠aed＝60°.∴∠adb＝∠aec＝120°，∠b＋∠bad＝60°.
又∵∠bac＝120°，∴∠b＋∠c＝60°.∴∠bad＝∠c.∴△abd∽△cae.
∴＝.∴＝，即de2＝bd·ce. 5.
證明：連線pc.在△abc中，ab＝ac，d為bc中點，∴ad垂直平分bc.
∴pb＝pc.∴∠pbc＝∠pcb.∵ab＝ac，∴∠abc＝∠acb.
∴∠abc－∠pbc＝∠acb－∠pcb，即∠abp＝∠acp.∵cf∥ab，∴∠abp＝∠f.∴∠acp＝∠f.
又∵∠epc＝∠cpf，∴△pce∽△pfc.∴＝.∵pc＝pb，∴＝，即pb2＝pe·pf.
6.證明：在△abq中，由於dp∥bq，∴∠adp＝∠b.
又∠dap＝∠baq，∴△adp∽△abq.∴dp∶bq＝ap∶aq.同理△aep∽△acq，∴pe∶qc＝ap∶aq.
∴dp∶bq＝pe∶qc. 7.證明：
∵∠acb＝90°，cd⊥ab，∴∠a＋∠acd＝∠acd＋∠bcd，∠acb＝∠bdc＝90°.∴∠a＝∠bcd.∴△abc∽△cbd.
∴＝，即＝.又∵e為ac中點，∴ae＝ce＝ed.∴∠a＝∠eda.
∵∠eda＝∠bdf，∴∠fcd＝∠bdf.又∠f為公共角，∴△fdb∽△fcd.∴＝.
∴＝. 8.證明：
(1)∵de∥bc，∴△ade∽△abc，△efg∽△cbg.∴＝，＝.又∵de＝ef，∴＝.
∴＝.(2)∵cf2＝fg·fb，∴＝.又∵∠cfg＝∠cfb，∴△cfg∽△bfc.
∴＝，∠fce＝∠cbf.又∵df∥bc，∴∠efg＝∠cbf.∴∠fce＝∠efg.
又∵∠feg＝∠cef，∴△efg∽△ecf.∴＝＝.∴＝，即cg·ce＝bc·de.
9.證明：∵ad⊥bc，de⊥ab，∴∠adb＝∠aed＝90°.
∴∠ade＋∠bde＝∠ade＋∠dae.∴∠bde＝∠dae.∴△ade∽△abd.
∴＝，即ae·ab＝ad2.同理：△adf∽△acd.
∴af·ac＝ad2.∴ae·ab＝af·ac. 10.
證明：∵∠bgd＝∠c，∠gbd＝∠cbe，∴△bgd∽△bce.∴＝，即bg·be＝bc·bd.
又∵∠bad＝∠c，∠abd＝∠cba，∴△abd∽△cba.∴＝，即bc·bd＝ab2.∴bg·be＝ab2，即＝.
11.證明：∵ad，bf分別是bc，ac邊上的高，de⊥ab，∴∠adb＝∠bed＝90°.
∴∠ade＋∠bde＝90°，∠ade＋∠ead＝90°.∴∠bde＝∠ead.∴△aed∽△deb.
∴de2＝ae·be.又∵∠hfg＝90°，∠bge＝∠hgf，∴∠ebg＝∠h.∵∠beg＝∠hea＝90°，∴△beg∽△hea.
∴＝，即eg·eh＝ae·be.∴de2＝eg·eh.
比例式與等積式
1 知識點分析 判定定理1 如果乙個三角形的兩個角與另乙個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩個三角形相似 簡述為 兩角對應相等，兩三角形相似 判定定理2 如果乙個三角形的兩條邊和另乙個三角形的兩條邊對應成比例，並且夾角相等，那麼 這兩個三角形相似 簡述為 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似 判定定...
等積式證明的常用方法
等積式的證明是初中幾何非常常見的題型，同時也是令許多學生頭疼的一種題型，特別是在一些圖形複雜，線段較多的題目中，往往令人眼花瞭亂無從下手。等積式的證明有沒有技巧呢？其實只要我們冷靜分析，我們將會發現許多等積式的證明也是有規律可循的。常用方法一 三點定形法 例1 如圖 在rt abc中，於d，e為ac...
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