第27章證明 2
§ 27.1 證明的再認識 2
閱讀材料 5
圖形中的「裂縫」 5
§27.2 用推理方法研究三角形 6
1. 等腰三角形 6
2. 角平分線 8
3. 線段的垂直平分線 9
4. 逆命題、逆定理 11
§ 27 .3用推理方法研究四邊形 14
1. 平行四邊形 14
2. 矩形、菱形 16
3. 正方形 17
4. 等腰梯形 18
5. 中位線 20
6. 反證法 21
閱讀材料 22
《幾何原本》 22
小結 23
複習題 24
課題學習 25
中點四邊形 25
邏輯推理是研究數學的乙個重要的基本方法，幾何學的研究充分運用了這一
方法．這就是中國古代偉大的科學家徐光啟與他翻譯的《幾何原本》．
我們已經學習了許多幾何圖形的性質，在認識這些圖形的性質時，常常採用看一看、畫一畫、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜等方法，並在實驗、操作中對它們作出解釋，這是研究幾何圖形性質的一種基本方法．同時我們也學習了用邏輯推理的方法去探索一些幾何圖形所具有的性質．例如我們曾經遇到如下問題：
如圖27.1.1，在平行四邊形abcd中，已知點e和點f分別在ad和bc上，且ae＝cf，鏈結ce和af，試說明四邊形afce是平行四邊形．
解由於平行四邊形對邊平行，可得
ad∥bc，
即ae∥cf，
又ae＝cf，
由於一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以四邊形afce是平行四邊形．
其中「由於平行四邊形對邊平行，所以ad∥bc」以及「由於一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，從ae∥cf，ae＝cf，即可推出四邊形afce是平行四邊形」都是邏輯推理．邏輯推理的方法是研究數學的乙個重要的基本方法．
邏輯推理需要依據，我們試圖用最少的幾條基本事實作為邏輯推理的最原始的依據，因此在第24章中，給出了如下的公理：
（1） 一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等．
（2） 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行．
（3） 如果兩個三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊，或三邊）分別對應相等，那麼這兩個三角形全等．
（4） 全等三角形的對應邊、對應角分別相等．
我們還提到，等式、不等式的有關性質以及等量代換也是邏輯推理的依據．
我們可以在這些公理與依據的基礎上，用邏輯推理的方法去證明幾何圖形的有關命題，並將證得的可以作為進一步推理依據的真命題稱為定理．第24章中已經用邏輯推理的方法證明了有關平行線的一些命題，下面將繼續用邏輯推理的方法證明幾何圖形的有關命題．
回憶你是怎樣知道三角形的內角和是180°的呢？
當時我們通過畫不同的三角形，測量出它們的內角，然後算得各個三角形的三個內角和為180°，或將任乙個三角形的三個內角拼在一起（如圖27.1.2），發現三角形的三個內角的和等於180°．
圖27.1.2
用測量的方法能保證每次畫出的三角形的三個內角的和正好等於180°嗎？用觀察的方法能保證三個內角拼成的角一定是平角嗎？為了確保精確無誤，人們發現了以下的證明方法．
如圖27.1.3，任意作乙個三角形abc，延長線段ab到d，並經過點b作be∥ac．由於be∥ac，於是根據「兩直線平行，內錯角相等」，可知∠c＝∠2，根據「兩直線平行，同位角相等」，可知∠a＝∠1，由於a、b、d三點在同一條直線上，因此根據平角的定義，∠1＋∠2＋∠abc＝180°，所以∠a＋∠abc＋∠c＝180°．於是可知，不論三角形的形狀如何，它的三個內角的和等於180°．
為了一目了然地把上述證明過程表達出來，我們把證明的每一步的依據寫在所得到結論後面，這樣上述的證明過程就可以用如下的證明格式表示．
已知：△abc．
求證：∠a＋∠b＋∠c＝180°．
證明： 如圖27.1.3，延長線段ab到d，過點b畫be∥ac．因為
be∥ac （畫圖），
所以 ∠a＝∠1 （兩直線平行，同位角相等），
∠c＝∠2 （兩直線平行，內錯角相等），
又因為 ∠1＋∠2＋∠abc＝180° （平角的定義），
所以 ∠a＋∠abc＋∠c＝180° （等量代換）．
我們把「三角形的內角和等於180°」作為定理．利用這個定理，通過推理，可以得到「n邊形的內角和等於（n－2）×180°」這個定理． 例求證： 三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和．
已知： 如圖27.1.4，∠cbd是△abc的乙個外角．
求證： ∠cbd＝∠a＋∠c．
證明： 因為
∠a＋∠abc＋∠c＝180° （三角形的內角和等於180°），
所以 ∠a＋∠c＝180°－∠abc （等式的性質）．
又因為 ∠abc＋∠cbd＝180° （平角的定義），
所以 ∠cbd＝180°－∠abc （等式的性質）．
因此 ∠cbd＝∠a＋∠c （等量代換）．
由於上述命題也經常需要用來作為判斷其他命題真假的依據，因此我們把上述命題也作為定理．
思考有了「三角形的內角和等於180°」這條定理後，你能證明直角三角形的兩個銳角之間所具有的數量關係嗎？
練習1. 求證：直角三角形的兩個銳角互餘．
2. 求證：四邊形的內角和等於360°；五邊形的內角和等於540°．
3. 已知乙個多邊形的內角和等於1 080°，求這個多邊形的邊數．
習題27.1
1. 利用「n邊形的內角和等於（n－2）×180°」這個結論，證明：任意多邊形的外角和等於360°．
2. 已知乙個多邊形的內角和等於外角和的兩倍，求這個多邊形的邊數．
3. 求證：有兩個角及其中一角的對邊分別對應相等的兩個三角形全等（簡寫成「角角邊」或「a.a.s.」）．
4. 如圖，已知ad＝ae， ∠b＝∠c，求證： △abd≌△ace．
幾何圖形的割補問題，有時會使人不知所措．下面的圖形問題就是出現在薩姆·勞埃德（sam loyd）的《趣題大全》（cyclopedia of puzzles）中的乙個趣題：將圖1按所畫粗線條剪開，再按圖2拼合．方格線的面積增加了乙個平方單位．
圖1圖2
為什麼面積會增加了？
這是視覺上的錯覺欺騙了我們．實際上，當圖1剪成四塊拼成圖2時，中間有乙個平行四邊形的縫隙，如圖3中的abcd，它的面積正好為1．也就是說a、b、c三點及a、d、c三點都不在一條直線上，圖形中出現了「裂縫」，而圖2中誤以為它們都在同一條直線上．這就說明了證明的重要性．
後來，有人將圖4中的三角形區域按所畫的粗線條剪開，再按圖5重新拼合，結果在三角形的內部出現了乙個「黑洞」．
你能對圖4和圖5中的現象作出解釋嗎？
在第9章中我們已經知道，如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）．這是識別三角形是否是等腰三角形的乙個重要的方法．
回憶你是怎樣知道等腰三角形的這個識別方法的呢？
如圖27.2.1，在△abc中，∠b＝∠c．當時是用刻度尺找出邊bc的中點d，鏈結ad，然後沿ad對折，經過觀察ab與ac完全重合，於是得到ab＝ac．
你想過沒有，為什麼當△abc沿ad對折時，ab與ac完全重合？為了說明這個問題，我們可以用邏輯推理的證明方法．
已知： 如圖27.2.1，在△abc中，∠b＝∠c．
求證： ab＝ac．
分析要證明ab＝ac，可設法構造兩個全等三角形，使ab、ac分別是這兩個全等三角形的對應邊，於是想到畫∠bac的平分線ad．
證明畫∠bac的平分線ad．
在△bad和△cad中，
∠b＝∠c （已知），
∠1＝∠2 （畫圖），
ad＝ad （公共邊），
所以bad≌△cad （a.a.s.）． 所以 ab＝ac （全等三角形的對應邊相等）．
於是得到：
等腰三角形的判定定理如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等．（簡寫成「等角對等邊」）
我們還可以用邏輯推理的方法得到等腰三角形的性質：
等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個底角相等．（簡寫成「等邊對等角」）
等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．（簡寫成「等腰三角形的三線合一」）
我們曾經通過畫圖、比較，發現： 如果兩個直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對應相等，那麼這兩個直角三角形是全等的．現在有了等腰三角形的性質定理，就可以用邏輯推理的方法證明這個結論的正確性．
已知： 如圖27.2.2，在△abc和△aˊbˊcˊ中，∠acb＝∠aˊcˊbˊ＝90°，ab＝aˊbˊ，ac＝aˊcˊ．
華東師大版初中數學電子教材 第23章 一元二次方程
第23章一元二次方程 2 23.1 一元二次方程 3 23.2 一元二次方程的解法 4 閱讀材料 13 23.3 實踐與探索 14 小結 16 複習題 17 綠苑小區規劃設計時，準備在每兩幢樓房之間，安排面積為900平方公尺的一塊長方形綠地，並且長比寬多10公尺，那麼綠地的長和寬各為多少？設寬為x公...
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4.3 立體圖形的表面展開圖 4.4 平面圖形 閱讀材料七巧板 4.5 最基本的圖形 點和線 1.點和線 2.線段的長短比較 4.6 角 1.角 2.角的比較和運算 3.角的特殊關係 4.7 相交線 1.垂線 2.相交線中的角 4.8 平行線 1.平行線 2.平行線的識別 3.平行線的特徵 小結 複...
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課題 性格的直角座標系 研究原形 華師大版八年級 下 第18章 函式及其圖象 第二節 函式的圖象 中的平面直角座標系。研究目標 1 進一步認識平面直角座標系各部位的名稱 定義 2 能熟練畫出平面直角系，並準確說出各個象限名稱 3 引導學生從各方面去探索自我 認識自我 4 引導學生觀察 關懷他人，並能...