在數學的研究領域中，求解方程是乙個重要的知識點，而證明方程根的存在性又是求解方程的關鍵一步.本文利用連續函式的介值定理，費馬定理，微分中值定理，函式的單調性，最大值與最小值定理，泰勒公式，積分中值定理七種方法來解決這一問題，並給予了相應的方法步驟，例題簡析及結論.
1 利用連續函式的介值定理
1.1 知識回顧：
介值性定理：設函式在閉區間上連續，且,若為介於與之間的任何實數《或》,則至少存在一點,使得.
根的存在定理:若函式在閉區間上連續，且與異號即,則至少存在一點，使得.
1.2 方法步驟：
（1）構造合適的輔助函式；
（2）選取合適的區間，使輔助函式在區間兩端點的函式值不同或符號異號；
（3）由介值性定理或根的存在定理得出結論.
1.3 例題簡析：
例1. 設在上連續，且滿足,證明在區間內，方程至少有一根.
分析： 通過引入乙個輔助函式,把原來要證明的變為,這就相當於證明方程的根的存在問題，這種證明方法常見.
證明：令.
由於, 所以，對任何有.進而, .
若或,則取或,於是方程至少有一根或.
若與,則由根的存在性定理得：存在使得,即
於是，方程在至少有一根.
綜上可得，在閉區間內，方程至少有一根.
2 利用費馬定理
2.1 知識回顧:
費馬定理:設函式在點的某領域內有定義,且在點可導,若點為的極值點,則必有.
2.2 例題簡析:
例2.設函式在上連續,在可導,且,試證明:對任意的實數必至少存在一點使得.
分析：若能確定某一函式在給定閉區間上的最優值必在該區間內部達到，則由費馬定理即刻可以斷定方程在該區間內部有一實根.
證明：欲證的結論等價於證明方程
在內至少存在一實根，則構造輔助函式.
顯然在上連續，在內可導，且有
則函式在開區間內點處的函式值大於其在端點處函式值與
即知在閉區間上的連續函式的最大值必定能在開區間內部的某一點處取到，於是由費馬定理得
因，則原命題成立.
2.3 結論：
利用費馬定理證明方程根的存在性方法是：找乙個函式，使，證明在某點處取到極值且存在.由費馬定理知：，即 .
3 利用微分中值定理
3.1 知識回顧：
(1)羅爾中值定理：若函式滿足如下條件：
（i）在區間上連續
ii)在區間內可導
iii）
則在內至少存在一點，使得.
（2）拉格朗日中值定理：若函式滿足如下條件：
(i)在閉區間上連續
ii)在開區間內可導
則在內至少存在一點，使得=.
（3）柯西中值定理：設函式和滿足
（i）在區間上都連續
(ii) 在區間內都可導
（iii）和不同時為零
(iv)
則存在, 使得=.
3.2 方法步驟：
（1）根據題設條件，分析運用哪個中值定理；
（2）靈活，恰當的構造輔助函式;
（3）驗證輔助函式是否滿足微分中值定理的條件；
（4）得出結論.
3.3 例題簡析：
例3. 設函式在區間上連續，在內可導，證明方程
在內有根.
分析：從證明的目標可發現等式左邊分子為-,若令，則方程左邊為是某一函式在兩個不同點處的值，可聯想到拉格朗日中值定理，且恰好==.
證明：作輔助函式,則
在上滿足拉格朗日中值定理的條件，從而在內至少存在一點，使=
由於=可見即於是方程在內至少有一根.
例4. 設函式在上有二階導數，且=0，試證方程在區間內有根.
分析：所給問題為導函式在區間內某點值的問題，可以考慮利用微分中值定理證明，如果將要證明的結論變形為(1-)-2=0,由此認定= 2,如果取,但是在上不滿足羅爾定理條件.如果將上式兩端同乘以非零函式,使=0,且=,則可取,從而可設.
證明：設,由題設條件可知在上連續，在內可導， 由羅爾定理可知，存在,使得
=0由於1，可知 =0
即方程=在區間內有根.
3.4 結論：
有關導數在區間內某點處值的關係式常可以考慮利用微分中值定理證明.
（1）如果關係式中出現某函式的導數在兩個不同點處的值，常需兩次利用羅爾中值定理或拉格朗日中值定理來證明.
（2）如果關係式中出現某函式的二階導數在某點處值，常可考慮對該函式的導函式利用羅爾中值定理或拉格朗日中值定理來證明.
（3）如果某關係式中出現兩個函式的導數在某點處值，常可考慮利用柯西中值定理來證明.
（4）如果某關係式中出現兩個函式的導數在兩個不同點處值，常可考慮兩次利用柯西中值定理與拉格朗日中值定理證明.
4 利用函式的單調性
4.1 知識回顧：
單調性定理：設在區間(可以是開區間，可以是閉區間，也可以是半開半閉區間，也可以是無窮區間)上連續，在內部可導（不需要在端點可導）
1）若內部，≥0，則在區間上遞增.
2）若內部，≤0，則在區間上遞減.
3）若內部， =0，則在區間上是常數函式.
4）若內部，＞0，則在區間上嚴格遞增.
5）若內部，＜0，則在區間上嚴格遞減.
4.2 方法步驟：
求具體連續函式在其定義域上或指定的區間上有幾個零值點的步驟：
（1）求函式的定義域；
（2）求出導數等於零或導數不存在的點；
（3）列表;
（4）討論每個嚴格單調區間兩端函式（或極限）值的情況;
（5）結論.
4.3 例題簡析:
例6. 證明方程在區間內有且僅有兩個不同的實根.
證明: 由，
.設求出f(x) 的單調區間,由於令得且無導數不存在的點,下面列表
由在(0,e)內嚴格遞減且在兩端點函式(極限)值異號,知在(0,e)僅有乙個根,在內嚴格遞增且在兩端點函式(極限)值異號,知在內僅有乙個根,故原方程在內有且僅有兩個實根.
例7. 證明若,則方程的任一非零解至多有乙個零點.
分析：可考慮用反證法，利用導函式是單調函式這一性質找出矛盾.
證明：反證法
設,是原方程的乙個非零解的兩個相鄰的零點，不妨設<,且在區間,內.由導數定義，
而由已知條件即是單調增函式，故矛盾.
因此，方程的任一非零解至多有乙個零點.
4.4 結論：
（1）利用閉區間上連續函式的介值性定理證明方程根的存在性，這是最常見的證明方法，而在討論方程根的唯一性問題時，常常利用函式的單調性.
（2）若在區間上連續且嚴格單調，則在內至多有乙個零點.若函式在兩端點的函式（或極限）值同號，則無零點.若函式在兩端點的函式（或極限）值異號，則有乙個零值點.
（3）求具體連續函式在定義域內零值點的個數：首先求出的嚴格單調區間的個數，若有個嚴格單調區間，則至多有個不同的零值點.至於具體有幾個，按照（2）研究每個嚴格單調區間是否有乙個零值點.
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