9-3推理與證明
基礎鞏固強化
1.(2011·江西文，6)觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72011的末兩位數字為( )
a．01 b．43 c．07 d．49
[答案] b
[解析] 75＝16807,76＝117649，又71＝07，觀察可見7n(n∈n*)的末二位數字呈週期出現，且週期為4，
∵2011＝502×4＋3，
∴72011與73末兩位數字相同，故選b.
2．設a、b、c∈r＋，p＝a＋b－c，q＝b＋c－a，r＝c＋a－b，則「pqr>0」是「p、q、r同時大於零」的( )
a．充分而不必要條件
b．必要而不充分條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要條件
[答案] c
[解析] 首先若p、q、r同時大於零，則必有pqr>0成立．
其次，若pqr>0，且p、q、r不都大於0，則必有兩個為負，
不妨設p<0，q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0與b∈r＋矛盾，故p、q、r都大於0.
3．(文)將正整數排成下表：
則在表中數字2014出現在( )
a．第44行第78列 b．第45行第78列
c．第44行第77列 d．第45行第77列
[答案] b
[解析] 第n行有2n－1個數字，前n行的數字個數為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．
2014－1936＝78，∴2014在第78列，選b.
(理)(2012·西安五校第一次模擬)已知「整數對」按如下規律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個「整數對」是( )
a．(7,5) b．(5,7)
c．(2,10) d．(10,1)
[答案] b
[解析] 依題意，把「整數對」的和相同的分為一組，不難得知每組中每個「整數對」的和為n＋1，且每組共有n個「整數對」，這樣的前n組一共有個「整數對」，注意到<60<，因此第60個「整數對」處於第11組(每個「整數對」的和為12的組)的第5個位置，結合題意可知每個「整數對」的和為12的組中的各對數依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個「整數對」是(5,7)，選b.
4．(文)(2011·紹興月考)古希臘人常用小石頭在沙灘上擺成各種形狀來研究數．比如：
他們研究過圖1中的1,3,6,10，…，由於這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1,4,9,16，…這樣的數為正方形數．下列數中既是三角形數又是正方形數的是( )
a．289 b．1024 c．1225 d．1378
[答案] c
[解析] 將三角形數記作an，正方形數記作bn，則an＝1＋2＋…＋n＝，bn＝n2，
由於1225＝352＝，故選c.
(理)n個連續自然數按規律排成下表：
根據規律，從2012到2014的箭頭方向依次為( )
a．↓→ b．→↑ c．↑→ d．→↓
[答案] a
[解析] 觀察圖例可見，位序相同的數字都是以4為公差的等差數列，故從2012至2014，其位序應與相同，故選a.
5．(2012·長春調研)模擬「兩角和與差的正弦公式」的形式，對於給定的兩個函式：s(x)＝ax－a－x，c(x)＝ax＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正確的運算公式是( )
①s(x＋y)＝s(x)c(y)＋c(x)s(y)；
②s(x－y)＝s(x)c(y)－c(x)s(y)；
③2s(x＋y)＝s(x)c(y)＋c(x)s(y)；
④2s(x－y)＝s(x)c(y)－c(x)s(y)．
a．①② b．③④ c．①④ d．②③
[答案] b
[解析] 經驗證易知①②錯誤．依題意，注意到2s(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，s(x)c(y)＋c(x)s(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2s(x＋y)＝s(x)c(y)＋c(x)s(y)；同理有2s(x－y)＝s(x)c(y)－c(x)s(y)．綜上所述，選b.
6．(文)定義某種新運算「」：s＝ab的運算原理為如圖的程式框圖所示，則式子54－36＝( )
a．2 b．1
c．3 d．4
[答案] b
[解析] 由題意知54＝5×(4＋1)＝25,36＝6×(3＋1)＝24，所以54－36＝1.
(理)若定義在區間d上的函式f(x)，對於d上的任意n個值x1、x2、…、xn，總滿足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nf，則稱f(x)為d上的凹函式，現已知f(x)＝tanx在上是凹函式，則在銳角三角形abc中，tana＋tanb＋tanc的最小值是( )
a．3 b. c．3 d.
[答案] c
[解析] 根據f(x)＝tanx在上是凹函式，再結合凹函式定義得，tana＋tanb＋tanc≥3tan＝3tan＝3.故所求的最小值為3.
7．設f(x)定義如表，數列滿足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，則x2014的值為________.
[答案] 1
[解析] 由條件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知是週期為6的週期數列，∴x2014＝x4＝1.
8．(文)(2012·陝西文，12)觀察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……照此規律，第五個不等式為
[答案] 1＋＋＋＋＋<
[解析] 本題考查了歸納的思想方法．
觀察可以發現，第n(n≥2)個不等式左端有n＋1項，分子為1，分母依次為12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數列，因此第n個不等式為1＋＋＋…＋<，
所以第五個不等式為：
1＋＋＋＋＋<.
[點評] 在用歸納法歸納一般性結論的時候，要養成檢驗意識．
(理)(2011·台州模擬)觀察下列等式：
(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，
(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，
(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，
(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，
……由以上等式推測：對於n∈n*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，則a2
[答案] n(n＋1)
[解析] 由給出等式觀察可知，x2的係數依次為1,3,6,10,15，…，∴a2＝n(n＋1)．
9．(文)如圖數表滿足：(1)第n行首尾兩數均為n；(2)表中遞推關係類似楊輝三角下一行除首尾兩數外，每乙個數都是肩上兩數之和．記第n(n>1)行第2個數為f(n)，根據數表中上下兩行資料關係，可以得到遞推關係：f(n並可解得通項f(n
[答案] f(n)＝f(n－1)＋n－1；f(n)＝
[解析] 觀察圖表知f(n)等於f(n－1)與其相鄰數n－1的和．
∴遞推關係為f(n)＝f(n－1)＋n－1，
∴f(n)－f(n－1)＝n－1，
即f(2)－f(1)＝1，
f(3)－f(2)＝2，
f(4)－f(3)＝3，
…f(n)－f(n－1)＝n－1，
相加得f(n)＝.
(理)觀察下列等式：
①cos2α＝2cos2α－1；
②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推測，m－n＋p
[答案] 962
[解析] 由題易知：m＝29＝512，p＝5×10＝50
m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，
∴m＋n＋p＝162.∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.
10．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求證：＋≤2.
[證明] 要證＋≤2，
只需證a＋＋b＋＋2≤4，
又a＋b＝1，故只需證≤1，只需證(a＋)(b＋)≤1，只需證ab≤.
∵a>0，b>0,1＝a＋b≥2，∴ab≤，故原不等式成立.
能力拓展提公升
11.(文)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在r上的函式f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函式，則g(－x)＝( )
a．f(x) b．－f(x)
c．g(x) d．－g(x)
[答案] d
[解析] 觀察所給例子可看出偶函式求導後都變成了奇函式，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函式，∵g(x)＝f ′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，選d.
(理)甲、乙兩位同學玩遊戲，對於給定的實數a1，按下列方法操作一次產生乙個新的實數：由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，如果出現兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把a1乘以2後再加上12；如果出現乙個正面朝上，乙個反面朝上，則把a1除以2後再加上12，這樣就可得到乙個新的實數a2.對實數a2仍按上述方法進行一次操作，又得到乙個新的實數a3.
當a3>a1時，甲獲勝，否則乙獲勝．若甲獲勝的概率為，則a1的取值範圍是( )
a．[－12,24]
b．(－12,24)
c．(－∞，－12)∪(24，＋∞)
d．(－∞，－12]∪[24，＋∞)
[答案] d
[解析] 因為甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，出現的可能情形有4種：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作後，得到兩種新數的概率是一樣的．
故由題意得
即4a1＋36，a1＋18，a1＋36， a1＋18出現的機會是均等的，由於當a3>a1時甲勝，且甲勝的概率為，故在上面四個表示式中，有3個大於a1，∵a1＋18>a1，a1＋36>a1，故在其餘二數中有且僅有乙個大於a1，由4a1＋36>a1得a1>－12，由a1＋18>a1得，a1<24，故當－12 知識清單 1 函式的最值的定義 函式y f y 定義域為a，若存在y0 a，使得對任意的y a，恒有成立，則稱為函式的最小 大 值。2.求函式最值的方法 求最值與求值域一般相同,最值問題更具綜合性和靈活性 1 配方法 用於二次函式，或可通過換元法轉化為二次函式的最值問題 2 判別式法 運用方程思想，... 精品題庫試題 理數 1.2014山東,4,5分 用反證法證明命題 設a,b為實數,則方程x3 ax b 0至少有乙個實根 時,要做的假設是 a.方程x3 ax b 0沒有實根 b.方程x3 ax b 0至多有乙個實根 c.方程x3 ax b 0至多有兩個實根 d.方程x3 ax b 0恰好有兩個實根... 2010屆高考二輪複習跟蹤測試 推理與證明 數學試卷 注意事項 1.本卷共150分，考試時間100分 2.題型難度 難度適中 3.考察範圍 推理與證明 4.試題型別 選擇題10道，填空題4道，簡答題6道。5.含有詳細的參 6.試卷型別 高考二輪複習專題訓練 一 選擇題 1.平面內有4個圓和1條拋物線...高三總複習講義函式與方程
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